[obm-l] Exercicio Topologia
Qual é o número máximo de pontos que pode ter um subespaço X contido em R² para que nele induza a métrica d(x,y) = sqrtx-y,x-y? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite
Galera, não consegui resolver a seguinte questão: Para todo r real, defina n(r)=#((m,n)∈ Z² | m²+n² r²) Calcule o limite: limite n(r)/r²r-infinito -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros
Para a primeira eu fiz assim: 3*2^m + 1 = n² Se m=0 então 4=n² e n=+-2 Se m=1 não temos soulucoes(basta checar!) Se m1 então basta observar que n=2k+1 é ímpar, então 3*2^m = 4k²+4k = 3*2^(m-2) = k(k+1) Como o lado esquerod é multiplo de 3 o lado direito tambem deve ser, logo temos duas opções i)k=3t, e então 2^(m-2) = t(3t+1), logo t=2^a e 3t+1 = 3*2^a + 1= 2^b,ou ainda 2^a(2^(b-a) - 3)=1 logo 2^a = 1 e 2^(b-a) -3 = 1 então a=0 e b=3. Voltando nas equações anteriores temos que t=1, m=4 e n=7, que é solução da eq. originial. ii)k=3t-1, e então 3*2^(m-2)=t(3t-1), logot=2^a e 3t-1 = 3*2^a - 1 = 2^b, ou ainda -2^b + 3*2^a = 1 = 2^a(3-2^(b-a))=1 então 2^a=1 e 3-2^(b-a) = 1 então a=0 e b=1. Voltando nas equações anteriores temos quem=3 e n=5 que é solução tambem. Em 26 de outubro de 2012 11:18, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: 1) Resolva a equação 3.2^m + 1 = n^2 2) x^2 + y^2 + z^2 = 8t - 1 Eu estou tentando e não sai.Obrigado pela atenção.
[obm-l] Re: [obm-l] Essa é difícil!!!
Divida em duas partes, uma com n=2t par e outra com n=2t+1, obeservando que 1+2+...+n = n(n+1)/2. Para cada um dos casos prove que n divide a soma e n+1 tambem divide, tentando fatorar. Em 26 de outubro de 2012 20:58, Vanderlei * vanderma...@gmail.comescreveu: Prove que a soma 1^k + 2^k + 3^k +...+n^k, em que n é um natural qualquer e k é ímpar, é divisível por 1 + 2 + 3 + ... + n. Não consegui pessoal.
Re: [obm-l] OBM 2011
Uma ideia legal é tomar o numero chapa C = 55...534343434...34, com k²-r cincos, r três e r quatros. Tomando k²= n(k+1)², e 0=r=2k. Tome n= 2k-r+2r e a soma dos digitos de C é S(C)=5²(k²-r) + (3²+4²)r=5²k² acho que é isso Em 14 de outubro de 2012 10:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.comescreveu: Em 14 de outubro de 2012 08:38, Athos Couto athos...@hotmail.com escreveu: Bem, na verdade são (n+8)!/n!8! somas, até porque 9^n/9! nem número inteiro (também cheguei a pensar que era isso...) é. Realmente, não entendi seus argumentos Bernardo. E que teorema é esse? um teorema de Bezout nos afirma que todo natural grande pode ser escrito como somas de vários m^2 e n^2. Também tentei por indução: Se d é o maior divisor comum de a e b, existem inteiros X,Y tal que Xa+Yb=d. Em especial, se a,b são primos entre si qualquer natural pode ser escrito como uma combinação linear de a,b. Para naturais suficientemente grandes, eles podem ser escritos usando apenas adições. Numa sequencia de n-1 números você terá: (n+7)!/(n-1)!8! somas diferentes. Supomos que alguma(s) seja(m) quadrado(s) perfeito(s). Deixe-me quebrar a linha de pensamento: Também pensei no seguinte: (m+1)^2 - m^2 = 2m+1 Se pudéssemos relacionar esse fato com a indução... Voltando à indução: Formaríamos (n+8)!/n!8! números. Na verdade teríamos formado (n+7)!/n!7! a mais do que da última coluna. Se alguém conseguir continuar... não consegui ver mais nada. Acho que esse não é o caminho.. Date: Sun, 14 Oct 2012 01:24:09 -0400 Subject: Re: [obm-l] OBM 2011 From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/10/13 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Eu pensei em alguma indução, mas fala sério, tem que somar com alguma propriedade legal. Se pudéssemos fazer algo com ALPHA*m^2+BETA*n^2, em que m e n são primos entre si, um teorema de Bezout nos afirma que todo natural grande pode ser escrito como somas de vários m^2 e n^2. Que tal contar? Entre ... e ... as somas dos quadrados dos dígitos variam de n a 81n. Por outro lado, as somas possíveis são 9^n / 9! (descontando a ordem). Logo deve haver um monte que coincidem. Mas acho que, com um pouquinho de sorte, para n suficientement grade, temos praticamente todos os valores possíveis entre n e 81n. Deve ter um número aí no meio que seja um quadrado. Por exemplo, ([sqrt(n)] + 1)^2 é com certeza menor do que 4n para n 1. Chutando com um computador: para n suficientemente grande, todos os números entre n+14 e 64n são factíveis. Provavelmente deve ser até melhor do que isso no upper bound. O lower bound é mais fácil: você tem um monte de 1. Trocar 1 por 2 aumenta três, 1 por 3 aumenta 8. Fazer n+14 = n+8+3+3. n+15 é trocar 1 por 4. Fazer n+13 não dá, porque as combinações com 8 e 3 não permitem. Mas o real problema é achar um quadrado perto de n, o mais próximo pode ser ainda bm longe. Imagine n = 1^2 + 1. O próximo está a 2*sqrt(n) de distância... hum, e você pode somar 8 ou 3, e se sqrt(n) é grande o suficiente, Bézout, acabou. (Você tem n casas para alterar, e 8 e 3 são maoires do que 2, e n sqrt(n)). O único caso ruim em que o próximo quadrado é justamente n+13 (que não podemos fazer), o quadrado seguinte está a 2*sqrt(n+13) + 1 de distância, e o Bézout garante que podemos fazer todas os inteiros entre 7*2 e 8*n - 7*2 (ou algo próximo a isso), se tivermos no máximo n termos para escolher entre 3 e 8, e o crescimento linear é mais do que suficiente. Agora, basta provar para os casos em que n é pequeno, mas a gente já fez! Quem se aventura a provar que dá pra fazer quase todos os números? Eu aposto que tem a ver com a^2 + b^2 = (a-1)^2 + (b+1)^2 + 2(a-b-1). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda em Polinomios
Não consigo fazer a seguinte questão: Mostre que se P(x) e Q(x) são polinômios de coeficientes inteiros tais que P(x)/Q(x) é inteiro para infinitos valores inteiros de x então Q(x) divide P(x).
[obm-l] Soma de primos
Não consigo resolver o seguinte exercicio: Seja S_n a soma dos n primeiros primos, prove que sempre existe um quadrado perfeito entre S_k e S_(k+1).
[obm-l] Não consigo resolver
Estou com alguns problemas aqui que não estão saindo e agradeceria bastante ajuda. 01. Encontre todos os números ''n'' naturais tais que n² não seja divisor de n! 02.Prove que dentre quaisquer cinco reais y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, existem dois que satisfazem: 0= (y_i - y_j)/(1+(y_i)(y_j)) =1.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Não consigo provar
Então no caso geral eu sempre vou ter que um poligono de lados a1,...an. e angulos A1,...,AN vale a relação: (a1)exp(iA1) +(a2)exp(iA2)+...+(AN)exp(iAN)=0 certo? Em 15 de abril de 2012 12:18, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.brescreveu: Soh para ficar mais explicito, o primeiro lado, portanto o segundo vehrtice estao no eixo dos reais. --- Em *sáb, 14/4/12, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com * escreveu: De: Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Não consigo provar Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 14 de Abril de 2012, 19:18 Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
[obm-l] Não consigo provar
Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
Re: [obm-l] Problemas dificeis
João o gabarito ta dando 252 2012/3/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Para o b pense assim Sendo a, b, c, d, e, f a quantidade de vezes que aparecem os numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 na quina (x1, x2, x3, x4, x5) respectivamente Temos que o problema se resume a encontar as solucoes nao negativas de a+b+c+d+e+f=5 que eh nada mais que C(10, 6) =210 Se nao errei em nenhuma passagem acho q eh isso []'s joao -- Date: Mon, 19 Mar 2012 21:47:45 -0300 Subject: [obm-l] Problemas dificeis From: heitor.iyp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 1-Dados 2n pontos no espaço,n1, prove que: i) Se eles forem ligados por n²+1 segmentos Mostrque no minimo um triangulo é formado. ii) é possivel ligar 2n pontos por meio de n² segmentos sem que qualquer triangulo seja formado. 2- Quantas são as soluções inteiras de: 1=x1=x2=x3=x4=x5=6
Re: [obm-l] Problemas dificeis
Obrigado a todos! Em 21 de março de 2012 23:40, marcelo rufino de oliveira marcelo_ruf...@hotmail.com escreveu: Na 2ª questão faça assim: y1 = x1 y2 = x2 + 1 y3 = x3 + 2 y4 = x4 + 3 y5 = x5 + 4 Assim, escolher x1, x2, x3, x4, x5, x6 inteiros de modo que 1=x1=x2=x3=x4=x5=6 é equivalente a escolher 1 = y1 y2 y3 y4 y5 = 10. Para tanto, basta escolher 5 números de 1 a 10, ou seja, esta quantidade é igual a C(10, 5) = 252. Marcelo Rufino de Oliveira -- From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problemas dificeis Date: Wed, 21 Mar 2012 01:19:01 -0300 Para o b pense assim Sendo a, b, c, d, e, f a quantidade de vezes que aparecem os numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 na quina (x1, x2, x3, x4, x5) respectivamente Temos que o problema se resume a encontar as solucoes nao negativas de a+b+c+d+e+f=5 que eh nada mais que C(10, 6) =210 Se nao errei em nenhuma passagem acho q eh isso []'s joao -- Date: Mon, 19 Mar 2012 21:47:45 -0300 Subject: [obm-l] Problemas dificeis From: heitor.iyp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 1-Dados 2n pontos no espaço,n1, prove que: i) Se eles forem ligados por n²+1 segmentos Mostrque no minimo um triangulo é formado. ii) é possivel ligar 2n pontos por meio de n² segmentos sem que qualquer triangulo seja formado. 2- Quantas são as soluções inteiras de: 1=x1=x2=x3=x4=x5=6
[obm-l] Problemas dificeis
1-Dados 2n pontos no espaço,n1, prove que: i) Se eles forem ligados por n²+1 segmentos Mostrque no minimo um triangulo é formado. ii) é possivel ligar 2n pontos por meio de n² segmentos sem que qualquer triangulo seja formado. 2- Quantas são as soluções inteiras de: 1=x1=x2=x3=x4=x5=6
Re: [obm-l] Raizes da unidade
Entendi a ideia agora Jeferson, muito obrigado à você, ralph e ao joão. Em 6 de março de 2012 14:54, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Para o primeiro problema, considere a=x.exp(iA), b=y.exp(iB) e c=z.exp(iC). Note que Kr é a parte imaginária de S(r)=a^r+b^r+c^r. Seja Q(w) o polinômio (mônico) de grau 3 cujas raízes são a, b e c. Note que: Q(w)=w^3-S.w^2+D.w-P onde S=a+b+c=S(1) é real pois sua parte imaginária, K1, é nula; D=ab+ac+bc=(S(1)^2-S(2))/2 é real pois S(1) e S(2) são reais (já que K1=K2=0); P=abc=xyz exp(i(A+B+C)) é real pois A+B+C é múltiplo de pi (e x,y,z são reais). Em suma, Q(w) tem coeficientes reais. Agora, lembre que, para todo r natural, temos: S(r+3)-S.S(r+2)+D.S(r+1)-P.S(r)=0 ou seja S(r+3)=S.S(r+2)-D.S(r+1)+P.S(r) Como S(0)=3 é real, assim como S(1) e S(2), fica claro (já que os coeficientes da recorrência acima também são reais) que S(n) é real para todo n. Em outras palavras, Kn=0 para todo n natural. Abraço, Ralph Em 3 de março de 2012 17:02, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com escreveu: Não estou conseguindo resolver os seguintes problemas: 1) Sejam x,y,z,A,B,C reais tais que (A+B+C)/π é inteiro. Defina Kr = (x^r) sen (rA) +(y^r) sen (rB) + (z^r) sen (rC) Prove se K1 = K2 = 0 então Kn = 0 para todo n0 2)Seja (1+x+x²+x³+x^4)^496 = A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984 i)Determine MDC(A3,A8,...,A1983) ii)Prove que 10^340 A99210^347
Re: [obm-l] Raizes da unidade
Jeferson, como assim calcular a soma por numeros complexos? você fala fatorar em ((x^5 -1)/(x-1))^496 e abrir observando que são as raizes quintas da unidade diferentes de 1? Em 5 de março de 2012 17:43, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.comescreveu: A segunda questao eh de uma Shortlist da Imo romenia/8?, antes de tudo vc deve calcular a soma por numeros complexos A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984 que seu eu nao me engano dar (5^496-4)/3 (seria um otimo exercicio em outro momento provar que esta soma é inteira) voltando seja *d *o M.D.C de (A3,A8,...,A1983) como o M.D.C divide ambos tambem dividira a sua soma ou diferenca entre eles pelas propriedades de M.D.C, entao *d/ *(5^496-4)/3 porem este valor é impar entao *d é impar *o A1983=496 que é penultimo binomial (496/2) entao entao d/496=2^4.31 logo d=1 ou 31 entao devemos achar o resto de 5^496 por 31 ??? por Fermat temos que 5^30=1(mod31) entao (5^30)^16=1 (mod31)entao 5^480=1 (mod31) logo 5^496=5^16 (mod31) . ... . .. 5^16=5 ou -5 (mod 31) entao 5^16-4=1 ou -9 temos 5^496-4=1 ou -9 (mod31) entao *d *=1* * Em 3 de março de 2012 17:02, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com escreveu: Não estou conseguindo resolver os seguintes problemas: 1) Sejam x,y,z,A,B,C reais tais que (A+B+C)/π é inteiro. Defina Kr = (x^r) sen (rA) +(y^r) sen (rB) + (z^r) sen (rC) Prove se K1 = K2 = 0 então Kn = 0 para todo n0 2)Seja (1+x+x²+x³+x^4)^496 = A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984 i)Determine MDC(A3,A8,...,A1983) ii)Prove que 10^340 A99210^347
Re: [obm-l] Raizes da unidade
Douglas eles variam de 5 em 5. Em 4 de março de 2012 12:12, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: ** Qual a relacao entre os termos que estao dentro do parenteses onde é pra ser tirado o mdc,está estranho MDC(A3,A8,...,A1983), 3 depois 8 On Sat, 3 Mar 2012 17:02:55 -0300, Heitor Bueno Ponchio Xavier wrote: Não estou conseguindo resolver os seguintes problemas: 1) Sejam x,y,z,A,B,C reais tais que (A+B+C)/π é inteiro. Defina Kr = (x^r) sen (rA) +(y^r) sen (rB) + (z^r) sen (rC) Prove se K1 = K2 = 0 então Kn = 0 para todo n0 2)Seja (1+x+x²+x³+x^4)^496 = A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984 i)Determine MDC(A3,A8,...,A1983) ii)Prove que 10^340
[obm-l] Raizes da unidade
Não estou conseguindo resolver os seguintes problemas: 1) Sejam x,y,z,A,B,C reais tais que (A+B+C)/π é inteiro. Defina Kr = (x^r) sen (rA) +(y^r) sen (rB) + (z^r) sen (rC) Prove
[obm-l] Re: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas
2) Seja P o produto desejado: cos20*cos40*cos80 = P 2sen20*cos20*cos40*cos80 = 2P*sen20 sen40*cos40*cos80 = 2P*sen20 sen80*cos80 = 4P*sen20 sen160 = 8P*sen20 = P = 1/8 acho que é isso. Em 26 de julho de 2011 16:16, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Não estou conseguindo resolver: 1) Sejam u, v e w as raízes do polinômio x^3 -10x + 11.Determine o valor de arctg u + arctg v + arctgw 2) Prove que cos20*cos40*cos80 = 1/8 3) Prove que cossec 6 + cossec 78 - cossec 42 - cossec 66 = 8
