[obm-l] IMC
Oi pessoal da lista (e ola prof. Okakamo), Aqui estao alguns problemas da IMC do segundo dia. 01) Sejam A e B matrizes reais tais que AB + A + B = 0. Prove que AB = BA 02) Calcule o seguinte limite 2x / lim| (sin t)^m/t^n dt (m,n naturais) x-0+ / x 03) Seja A um subconjunto fechado de R^n e seja B o conjunto de todos os pontos b de R^n tais que existe exatamente um ponto a0 em A que: |a0 - b| = inf |a - b| a em A Prove que B eh denso em R^n. Infelizmente tenho que concordar com o prof. Okakamo sobre o que ocorreu na lista. Abracos, Humberto Silva Naves ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM-u Questao 5
Oi Cohen, Como vai? Resolvi a questão 5 assim, e acho que tá certo: Vamor provar que: Somatório com (\e^m/ = n \e^m+1/) de 1/a(n) 1/a(m + 1), com m um natural fixado, onde \x/ significa a parte inteira de x. Desta forma se a série converge para L, então: L = Somatório com n = 1 de 1/a(n) = Somatorio com m = 0 de Somatório com (\e^m/ = n \e^m+1/) de 1/a(n) Somatório com m = 0 de 1/a(m+1) = L, logo teríamos: L L, logo a série diverge. Para provar que: Somatório com (\e^m/ = n \e^m+1/) de 1/a(n) 1/a(m + 1), basta ver que se \e^m/ = n \e^m+1/, então a(n) = n * a(m+1) e como Somatório com i = a até b de 1/i ln(b+1) - ln(a) se a = 1. Logo: Somatório com (\e^m/ = n \e^m+1/) de 1/a(n) 1/a(m+1)*(ln(e^(m+1)) - ln (e^m)) = 1/a(m+1). Falow, Humberto. --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Como que o pessoal aqui da lista foi na Olimpiada Universitaria? O que voces acharam da prova? Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o maior inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx pode nem mesmo estar definido.. Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece ser bem dificil.. Alguma ideia? Considerando a dificuldade em saber o enunciado da 5, e a minha incapacidade de pensar na 6 (e um arrependimento por nao ter estudado em casa as anotacoes da aula de geometria projetiva da semana olimpica :) ), pude dedicar umas 3hs da minha prova a questao 4 (resolver x=sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))).. Depois de ficar tentando fatorar o polinomio resultante de se elevar tudo ao quadrado diversas vezes, acabei tendo a sorte de fazer x=2cosy (engracado q foi a mesma coisa q eu usei na obmu do ano passado.. 1+cosy = 2cos^2(y/2)..).. Mandem seus comentarios sobre a prova.. Abracos, Marcio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] OBM-u
Oi Shine,
Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é simétrica, ela é diagonalizável,
logo det A é o produto dos auto-valores de A.
Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores são positivos. Suponha,
por absurdo que um auto-valor v seja negativo. Pegue um vetor V não nulo, tal
que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde (T) significa transposto.
Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi = Somatório com
j variando de 1 até n de aij*vj = (m - 1) * vi = Somatorio com j i de aij
* vj e como |vj| = |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j i é menor
que 1, temos que |(m - 1) * vi| |Somatorio com j i de aij * vj|, um
absurdo
pois m 0.
Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) é o traço da
matriz A que é n, e todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade das
médias, o produto dos auto-valores é menor ou igual a 1, ou seja:
0 det A = 1.
Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra, mas não consegui, e pensei
que a solução oficial seria por projetiva.
Falow, Humberto
--- Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá amigos da lista!!
Bom, lá vão minhas impressões sobre a OBM-u 2002...
Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
problema 3 mais fácil que o 2.
Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 são bastante
adequados para alunos que estão no nível 3 (eu, em
particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) também
é adequado.
O segundo dia tinha problemas bem interessantes
também. No 5, eu resolvi com a definição a_n =
\prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
um errinho no final (só vi isso hoje!) com uma
estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1)
\epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
aparecem k e's.
O 4 eu demorei bastante para fazer pois não vi a
substituição trigonométrica de cara... depois de
encontrar um polinômio de grau 8, achar duas de suas
raízes e obter um polinômio de grau 6, demorei
bastante. Tanto é que na minha prova está escrito em
algum lugar vou fatorar esse polinômio de qualquer
jeito! :) Mas fatorei em dois polinômios de grau 3 e
finalmente resolvi com a substituição trigonométrica.
Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
umas idéias neles que parecem que vão para a frente.
[]'s
Shine
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[obm-l] Conjuntos Fechados
Oi, Li num livro de análise, que o conjunto dos irracionais não pode ser escrito como uma união enumerável de fechados. Como demostrar esse fato? Obrigado, Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Matriz de Vandermonde
Oi, É possível demonstrar que o determinante de Vandermonde é Produtório (0 = i j = n) de ((t_i) - (t_j)). Para ver isso, basta encarar o determinante como um polinômio em t_i, e ver que quando t_i = t_j, o polinômio se anula. Logo se os t_i's forem distintos, o determinante é diferente de 0. Falow, Humberto --- Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal da lista! Uma matriz de Vandermonde é uma matriz P da forma P_(i,j) = [t_(i-1)]^j onde i e j estão entre 0 e n um jeito mais explicito é o seguinte P = [ 1 t_0 (t_0)^2 (t_0)^3 ... (t_0)^n ] [ 1 t_1 (t_1)^2 (t_1)^3 ... (t_1)^n ] [ ... ] [ 1 t_n (t_n)^2 (t_n)^3 ... (t_n)^n ] Eu não estou conseguindo demonstrar que se os t_i's são todos distintos então a matriz P é inversível. Alguém demonstra? Obrigado pela futura ajuda Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Russas
--- Henrique Lima Santana
[EMAIL PROTECTED] escreveu:Olá
pessoal,
Olhem estas questões:
1. Para os inteiros positivos x e y é verdadeira a
igualdade : 3x^2
+x=4y^2+y. Mostre que x-y é um quadrado perfeito.
2.Seja ABC um triangulo retangulo de hipotenusa AC
.Sabendo que sobre o lado
BC existem pnts D e E tais que BÂD=DÂE=EÂC e
EC=2BD . Determineos angulos
do triangulo.
3.Eliminando-se o 2000º algarismo an expansão
decimal da fração 1/p,p
primo5, obtemos a fração a/b; mostre q p|b.
Se alguém puder me dar uma luz eu agradeço!
[]´s
H!
Olá Pessoal,
1.Seja k = x - y; Temos: k^2+k(6y+1)=y^2 =
(2k+6y+1)^2 = (6y+1)^2 + (2y)^2. (Terna pitagórica)
Mas mdc(2y, 6y+1)=1, logo existem a, b inteiros
tais que:
(1) 6y+1 = a^2-b^2;
(2) 2y = 2ab;
(3) 2k+6y+1 = a^2+b^2;
Substituindo (1) em (3), temos: k = b^2, logo
x-y=k é quadrado perfeito!
3.Sabemos que a partir do 2001º dígito de 1/p e a
partir do 2000º dígito de a/b, a expansão decimal é a
mesma, ou seja:
{10^2000/p} = {10^1999*a/b}, onde {x} é a parte
fracionária de x. Logo 10^2000/p - 10^1999*a/b é
inteiro.
10^1999*(10b-ap)/pb e como p|ap e mdc(p,10)=1 =
p|b.
Falow, Humberto Silva Naves
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Re: [obm-l] alguém sabe?
--- Rui Viana [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos da lista, Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte problema : Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ? Bom, a principio x^x^x...=2 = x^2 = 2 = x = 2^(1/2) Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x = 4^(1/4) = 2^(1/2) ??? Então agente fez um teste e descobriu que (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge para 2 e não para 4 (não provamos isso) Daí agente decidiu tentar : Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n tem solução x=n^(1/n), faça f(n) = n^(1/n). Eu queria saber para que valor g(n) = f(n)^f(n)^f(n)... converge ?? Parece que pra 0n1/e g é uma função concava, 1/ene g(n)=n e depois para ne g(n) é convexa e converge para algum valor. Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre g(n) ? []'s, Rui L Viana F [EMAIL PROTECTED] _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] alguém sabe?
Olá Rui, Meu amigo Artur me apresentou esse problema na semana passada: Para x e^(1/e), temos x=e^(1/e+y), onde y 0 logo x^x = e^((1/e+y)*e^(1/e+y)) e^(e^(1/e+y-1)+y) , pois e^(1/e+y) 1. E como e^x 1 + x para todo x, temos e^(e^(1/e+y-1)+y) e^(1/e+2y). Por inducao se prova que: x^x^x^...^x e^(1/e+n*y) n vezes Logo a sequencia diverge, eh claro. para x = e^(1/e), temos: Utilizando a desigualdade e^x = 1 + (e-1)x, quando x =1 temos. e^(1/e) = 1 + (e-1)/e. (e^(1/e))^(e^(1/e)) = e^(1/e*(1+(e-1)/e)) e como: 1/e + (e-1)/(e^2) 1 temos e^(1/e*(1+(e-1)/e)) = 1+(e-1)/e + ((e-1)/e)^2. Por inducao concluimos que x^x^x^...^x = 1 + (e-1)/e + ((e-1)/e)^2 +...+((e-1)/e))^n = e, para todo n. Logo x^ converge e sabemos que converge para e. Mandei um e-mail inutil, desculpe! Abracos, Humberto Silva Naves --- Rui Viana [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos da lista, Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte problema : Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ? Bom, a principio x^x^x...=2 = x^2 = 2 = x = 2^(1/2) Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x = 4^(1/4) = 2^(1/2) ??? Então agente fez um teste e descobriu que (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge para 2 e não para 4 (não provamos isso) Daí agente decidiu tentar : Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n tem solução x=n^(1/n), faça f(n) = n^(1/n). Eu queria saber para que valor g(n) = f(n)^f(n)^f(n)... converge ?? Parece que pra 0n1/e g é uma função concava, 1/ene g(n)=n e depois para ne g(n) é convexa e converge para algum valor. Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre g(n) ? []'s, Rui L Viana F [EMAIL PROTECTED] _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Bijecao
Oi Daniel, Uma bijeção f:[0;1] - [0;1) seria: f(x) = x / 2 se x é da forma 1/2^n onde n é natural e f(x) = x caso contrario. Abraços, Humberto Silva Naves --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Alguém poderia me explicitar uma bijeção de [0;1] em (0;1)? O máximo q cheguei foi q isso é similar a uma bijeção de [0;1) em (0;1)... Abraços ao pessoal da lista, Daniel Uno = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Solucao
Oi Pessoal, Aqui vai a solucao (sem figuras) do problema. Achei a solucao do Carlos bem parecida com a minha. Obrigado pelas solucoes (e ideias de solucoes :-) enviadas! Falow Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ Problema: Prove que é impossível colocar dentro de um quadrado C de lado um, dois quadrados A e B (de lados a e b, respectivamente), sem superposição, com a + b 1. Solução: Primeiramente vamos provar um lema. Dizemos que o quadrado Q é tangente ao quadrado T, se: 1) Q está dentro de T (ou seja todo ponto de Q é também ponto de T); 2) Exite ponto P do bordo (em um dos lados) de Q que está em um lado L de T e também exite um ponto P' do bordo de Q que está em um lado L' de T, tal que L e L' são perpendiculares. (Obs: Neste caso dizemos que P e P' são pontos de tangência.) Lema: Se é possivel colocar os quadrados A e B dentro de C sem superposição, então é possível colocar esses dois quadrados dentro de C (sem superposição) de tal modo que A e B sejam tangentes à C. Demontração: Adotamos o par de eixos do nosso plano cartesiano sobre dois lados consecutivos de C. Se A e B já forem tangentes à C, então o problema acabou! Então assumimos que A não é tan- gente. Sabemos que não existe ponto em comum de A e B, pois não há superposição. Vamos agora seguir os passos abaixo: 1) Movemos o quadrado A para cima até que toque B ou que fique na iminência de sair de C (neste caso vamos para o passo 3). 2) Movemos o quadrado A para baixo até que toque B ou que fique na iminência de sair de C (neste caso vamos para o passo 3). (*)É claro que A não pode tocar B tanto no passo 1 (em X) quanto no passo 2 (em Y), pois então o segmento XY (que está em B, por convexidade) tocaria o quadrado A original (antes de ser movido). Logo o quadrado A ficara na iminência de sair (na direção vertical). Vide figura 01. Logo após: 3) Movemos o quadrado A para a esquerda até que toque B ou que fique na iminência de sair de C. 4) Movemos o quadrado A para a direita até que toque B ou que fique na iminência de sair de C. Pelo mesmo motivo de (*), A não pode tocar B tanto no passo 3 quanto no 4, logo ficará na iminência de sair (na direção horizontal) em algum dos passos (3 ou 4). Pronto, logo é possível mover A de modo que fique tangente!!! Analogamente B pode também ser movido de modo que fique tangente. Logo o lema é verdadeiro. Voltando à solução do problema: Suponha, por absurdo, que seja possível colocar A e B dentro de C sem superposição. Pelo Lema acima é possível colocar A e B de modo que A e B sejam tangentes à C. Temos então pelo menos quatro pontos de tangência. Dividimos em alguns casos: 1 - Os quatro pontos estão sobre os quatro lados de C: 1.1 - Se os pontos de tangência de A estão em dois lados paralelos de C (vide figura 02): Por convexidade, existe um ponto P que pertence à A e B simultaneamente, chegando à uma contradição: 1.2 - Se os pontos de tangência de A estão em dois lados perpendiculares de C (Figura 03): Vamos provar que o ponto P = (a, a) está no quadrado A. Basta provar que a distância de P aos lados do quadrado são menores ou iguais a a. Ou seja, basta verificar que: 1) |a/(a*sin(alfa))+a/(a*cos(alfa))-1|/sqrt((1/(a*sin(alfa)))^2+(1/(a*cos(alfa)))^2) = a 2) |a-a*cotg(alfa)-a*sin(alfa)|/sqrt(1+(cotg(alfa))^2) = a 3) |a-a*cotg(alfa)+a*cotg(alfa)*cos(alfa)|/sqrt(1+(cotg(alfa))^2) = a 4) |a-a*(sin(alfa)+cos(alfa))+a*tg(alfa)-a*tg(alfa)*sin(alfa)|/sqrt(1+(tg(alfa))^2) = a Alfa é o ângulo que o quadrado A faz com C. (0 = alfa Pi/2) Essas desigualdades são verdadeiras! E analogamente, P' = (1-b, 1-b) pertence à B. Como o centro do quadrado A é Ca = (a*sqrt(1/2)*sin(alfa+Pi/4), a*sqrt(1/2)*sin(alfa+Pi/4)) e o centro de B é Cb = (1-b*sqrt(1/2)*sin(beta+Pi/4), 1-b*sqrt(1/2)*sin(beta+Pi/4)), onde beta é o ângulo entre B e C. Logo, como a + b 1, o segmento PCa intersecta P'Cb, logo os qua- drados se intersectam, um absurdo! 2 - Os quatro pontos estão sobre três dos lados de C: (Figura 04 e Figura 05) Basta mover o quadrado A para a direita até tocar o lado direito de C. Se isso não for possível, mova o quadrado B para a direita até tocar o lado direito de C, isso é perfeita- mente possível, já que não da para mover o quadrado A. Aí caímos sobre o caso 1. 3 - Os quatro pontos estão sobre dois dos lados de C: (Figura 06) Movemos o quadrado mais afastado do vértice correspondente aos dois lados de tangência até o vértice oposto (Isso é claramente possível). Aí caímos sobre o caso 1.
A+B1
Oi Pessoal, O Problema não supoe que os lados sejam paralelos aos do quadrado de lado 1. Por falar nisso, a desigualdade que lhes falei funciona quando os lados dos quadrados (quadrados de lados a e b) forem paralelos (nao necessariamente paralelos aos lados do quadrado de lado 1 :-). Achei meio estranha a demonstracao do Paulo Santa Rita, ela ta certa??? Estranho!! Acho que acabei o problema, vou mandar para a lista logo logo, so deixa eu verificar e terminar de escrever, mas por favor me mandem uma outra solucao, se possivel. Abracos, Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/
Probleminha
Oi Pessoal, Sou novo aqui na lista, e estou propondo um probleminha legal que encontrei. Não o resolvi ainda, tentei por Geometria Analitica e chegou numa desigualdade, quando acabar mando a solucao (Como posso mandar uma figura atraves da lista). Problema: Prove que eh impossivel colocar dentro de um quadrado de lado 1, dois quadrados de lados a e b, com a+b1, sem superposicao. Esse problema foi proposto por P. Erdos e outro matematico que naum me lembro! Obrigado, Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/
