[obm-l] Problema da 18ª Olimpíada de Maio
Boa Tarde, No triângulo ABC, verificamos que B=2C e o A 90 . Seja M o ponto médio de BC. A perpendicular por C ao lado AC corta a reta AB no ponto D. Demonstre que AMB=DMC. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos que
(x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1 e o
caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos que
(x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Desigualdade
Boa Noite, (British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005) Sejam a,b e c reais positivos. Prove que (a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) Atenciosamente, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Pintando o tabuleiro
Boa Tarde, Alguém poderia ajudar-me nesta questão? Cada casa de um tabuleiro de n x n , com n maior ou igual a 3 , está pintada com uma cor dentre 8 cores diferentes. Para que valores de n podemos afirmar que alguma das seguintes figuras _ _ _ _ _ _ _ _|_| |_|_||_|_ _ |_|_| |_|_|_| |_|_ |_|_|_| _|_| |_| |_|_| |_| |_|_| incluídas no tabuleiro contém duas casas da mesma cor? Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Seis Pontos
Boa Noite, Alguém poderia ajudar-me no seguinte problema: Temos seis pontos de maneira que não haja três pontos colineares e que os comprimentos dos segmentos determinados por estes pontos sejam todos distintos. Consideramos todos os triângulos que têm seus vértices nesses pontos. Demonstre que um dos segmentos é, ao mesmo tempo, o menor lado de um desses triângulos e o maior lado de outro. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Pintando o tabuleiro
Boa noite, Não compreendi como prova-se que para o caso n=5 funciona. Como a partir das duas figuras colocadas no tabuleiro acima, podemos afirmar que haverá uma figura no tabuleiro que terá duas casas de mesma cor? Atenciosamente, Mariana Em 8 de maio de 2015 16:21, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Boa tarde! Na verdade elas podem ter uma casa como interseção. Todavia, sem alterar a resposta no primeiro caso. Em 8 de maio de 2015 15:39, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Boa tarde! Se há necessidade de terem duas casas com a mesma cor precisamos de no mínimo 9 casas (conceito de casa de pompos). Como toas as figuras tem uniformidade no número de casas, ou seja, 5. Basta garantir que coloquemos duas figuras que a condição está atendida, n= 5, Para o primeiro caso. Os outros fica para você determinar o valor de n mínimo de modo a colocar duas figuras abertas disjuntas no tabuleiro. Saudações, PJMS Em 8 de maio de 2015 14:35, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa Tarde, Alguém poderia ajudar-me nesta questão? Cada casa de um tabuleiro de n x n , com n maior ou igual a 3 , está pintada com uma cor dentre 8 cores diferentes. Para que valores de n podemos afirmar que alguma das seguintes figuras _ _ _ _ _ _ _ _|_| |_|_||_|_ _ |_|_| |_|_|_| |_|_ |_|_|_| _|_| |_| |_|_| |_| |_|_| incluídas no tabuleiro contém duas casas da mesma cor? Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Provar que é um paralelogramo
Boa Noite, Não consigo terminar o problema abaixo, alguém poderia me ajudar? Tentei resolver o problema a partir da ideia de que MNPQ é um paralelogramo e de que a mediana de um triângulo o divide em dois triângulos de mesma área. Imagino que seja útil relaciona as alturas dos triângulos de mesma área. Num quadrilátero convexo ABCD, sejam M, N, P e Q os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Se os segmentos MP e NQ dividem ABCD em quatro quadriláteros com a mesma área, demonstre que ABCD é um paralelogramo. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] N pontos
Boa noite, Estou com dúvida no seguinte problema, alguém poderia ajudar-me? Dados n pontos em uma circunferência se escreve ao lado de um deles um 1 e ao lado de cada um dos outros um 0. A operação permitida consiste em escolher um ponto que tenha um 1 e trocar o número desse ponto e também os números dos seus dois vizinhos, o da esquerda e o da direita (onde há 1 se escreve 0 e onde há 0 se escreve 1). a) Se n = 101, mostre que se pode conseguir, mediante uma sucessão de operações permitidas, que cada um dos n pontos tenha escrito 0. b) Se n = 102, mostre que é impossível obter todos 0. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Tabuleiro n x n
Boa noite, Estou com dúvida no seguinte problema, alguém poderia ajudar-me? Determine para quais números naturais n é possível cobrir completamente um tabuleiro de n × n dividido em casas de 1 × 1 com peças como a da figura, sem buracos nem superposições e sem sair do tabuleiro. Cada uma das peças cobre exatamente seis casas. Nota: As peças podem girar. _ |_|_ |_|_|_ |_|_|_| Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Circulo inscrito
Bom dia, Alguém poderia me ajudar no seguinte problema: O círculo, de centro O, inscrito no triângulo ABC é cortado pela mediana AD nos pontos X e Y . Sabendo que AC = AB+AD, determine a medida do ângulo XÔY. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria(Incentro)
Bom dia, Alguém poderia ajudar-me no problema a seguir? Seja I o incentro do triângulo ABC e D o ponto de interseção de AI com o círculo circunscrito de ABC. Sejam E e F os pés das perpendiculares baixadas a partir de I sobre BD e CD, respectivamente. Se IE + IF = AD/2 , determine o ângulo BÂC. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Circulo inscrito
Muito obrigada pela ajuda! Em 2 de maio de 2015 14:08, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Essa saiu por área...olha. 1)Se AB=c, AC=b, BC=a, logo AD=b-c, assim baixando a perpendicular tirada de O ao lado AD, a chamaremos de z. 2)Como a área de ABC é igua a p.r, onde p é o semiperímetro, e a área do triângulo ABD é igual a (1/2).(a/2).r+(1/2).c.r+(1/2).(b-c).z 3)Como a área do triÂngulo ABD vale a metade da área do triângulo ABC temos que (1/2).(a/2).r+(1/2).c.r+(1/2).(b-c).z=p.r/2, e logo após algumas contas encontraremos z=r/2. 4)Agora finalizando no triângulo XOY , teremos um ângulo de 120. Um grande abraço. Douglas Oliveira. Em 2 de maio de 2015 10:11, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Bom dia, Alguém poderia me ajudar no seguinte problema: O círculo, de centro O, inscrito no triângulo ABC é cortado pela mediana AD nos pontos X e Y . Sabendo que AC = AB+AD, determine a medida do ângulo XÔY. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria(Incentro)
Me ajudou muito. Obrigada! Em 2 de maio de 2015 10:13, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: 1) Opa, fiz aqui de um jeito não muito elegante, seja BD=CD=l, IE=x e IF=y, e seja o angulo BAC=2z, assim x+y=AD\2, mas no quadrilatero ACDB c.l+b.l=AD.a, l.(b+c)=AD.a. 2) Agora vamos calcular a área do quadrilátero ACDB de duas formas : (1\2).c.AD.sen(z)+(1\2).b.AD.sen(z)=l.x/2 + l.y/2 +(1/2).c.AI.sen(z) +(1/2).b.AI.sen(z), mas como AI=AD-l (prove isso, é fácil), temos (1/2).AD.sen(z).(b+c)=l.AD/4 + AI.sen(z)(b+c)/2 , logo (l/2)sen(z)(b+c)=l.AD/4, ou seja, sen(z)=AD/2(b+c) e cos(z)=a/2l, sen(z).cos(z)=1/4, assim 2z=30. OBS: Os lados AB=c, AC=b e BC=a. Um abraço. Douglas Oliveira. Em 2 de maio de 2015 09:22, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Bom dia, Alguém poderia ajudar-me no problema a seguir? Seja I o incentro do triângulo ABC e D o ponto de interseção de AI com o círculo circunscrito de ABC. Sejam E e F os pés das perpendiculares baixadas a partir de I sobre BD e CD, respectivamente. Se IE + IF = AD/2 , determine o ângulo BÂC. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Geometria
Boa tarde, Alguém poderia me ajudar no problema a seguir? Seja ABC um triângulo tal que AB + BC = 3AC. Sejam I o seu incentro e D e E os pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados AB e BC, respectivamente. Além disso, sejam K e L os simétricos de D e E com relação ao incentro I. Prove que o quadrilátero ACKL é inscritível. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema das caixas
Entendi. Obrigada Em 22/04/2015 10:50, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com escreveu: Acho q é 1169. Em 21 de abril de 2015 15:21, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa tarde, Alguém poderia me ajudar no problema a seguir? Temos 27 caixas em fila; cada uma delas contém pelo menos 12 bolinhas. A operação permitida é transferir uma bolinha de uma caixa para sua vizinha da direita, se essa vizinha da direita tem mais bolinhas. Dizemos que uma distribuição inicial das bolinhas é *feliz* se é possível, mediante uma sucessão de operações permitidas, fazer com que todas as bolinhas fiquem numa mesma caixa. Determine o menor número total de bolinhas de uma distribuição inicial feliz. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema das caixas
Boa tarde, Alguém poderia me ajudar no problema a seguir? Temos 27 caixas em fila; cada uma delas contém pelo menos 12 bolinhas. A operação permitida é transferir uma bolinha de uma caixa para sua vizinha da direita, se essa vizinha da direita tem mais bolinhas. Dizemos que uma distribuição inicial das bolinhas é *feliz* se é possível, mediante uma sucessão de operações permitidas, fazer com que todas as bolinhas fiquem numa mesma caixa. Determine o menor número total de bolinhas de uma distribuição inicial feliz. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Iniciantes da OBM
Boa tarde, Gostaria de saber que videos são indicados para estudar para as provas do nível 1 da OBM, já que os videos do POTI são para os níveis 2 e 3. Grata, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Geometria
Boa Noite, Alguém poderia me ajudar no problema a seguir? No triângulo ABC, AB = AC e BÂC = 20º. Um ponto D está sobre o lado AB e AD = BC. Calcule o ângulo BCD. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de pilhas
Boa Tarde, Alguém poderia, por favor, me auxiliar neste problema? Devemos distribuir 900 pedras em k pilhas, de modo que sejam satisfeitas as condições a seguir: (i) todas as pilhas têm quantidades distintas de pedras; (ii) se dividirmos uma das pilhas em duas pilhas não vazias, as k+1 pilhas resultantes não mais terão quantidades distintas de pedras. Ache o menor valor possível de k. Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Álgebra
Boa tarde, Não consigo resolver o problema a seguir, alguém poderia me ajudar? O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos. Prove que (a) é possível escrever dois algarismos após os algarismos das unidades deste número de modo que o inteiro resultante seja um quadrado perfeito. (b) se n12 então só existe uma maneia de escolher estes algarismos. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra
Perdão, Invés de n ser o produto de dois inteiros positivos, n é o produto de dois inteiros positivos consecutivos. Em 29 de outubro de 2014 20:03, g...@impa.br escreveu: Cara Mariana, Acho que há algum problema com o enunciado. Seja n=122=2.61. Se escrevemos dois algarismos após o algarismo das unidades de n obtemos um número entre 12200 e 12299. Como 110^2=1210012200 e 111^2=1232112299, nenhum desses números é um quadrado perfeito. Abraços, Gugu Quoting Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com: Boa tarde, Não consigo resolver o problema a seguir, alguém poderia me ajudar? O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos. Prove que (a) é possível escrever dois algarismos após os algarismos das unidades deste número de modo que o inteiro resultante seja um quadrado perfeito. (b) se n12 então só existe uma maneia de escolher estes algarismos. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Álgebra
Boa tarde, Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar? Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é o dobro de um quadrado perfeito. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra
Entendi, Muito obrigada! Em 20 de outubro de 2014 18:12, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Oi Mariana, Observe que c =-(a+b) e levando na expressão original teremos : a^4+b^4 + c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4. Desenvolvendo esta expressão , teremos como resultado : 2(a^4+b^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3) = 2(a^2+b^2+ab)^2, ok ? Abraços Pacini Em 20 de outubro de 2014 17:41, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa tarde, Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar? Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é o dobro de um quadrado perfeito. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
