Re: [obm-l] Probleminha bacana

2017-03-04 Por tôpico Leonardo Maia 
É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
métodos discretos.

A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o processo
de Poisson.

Leo

2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :

> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você. É
> tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>
> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
>> probabilidade.
>> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
>> integral.
>> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>>
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:
>>
>>> Ola Mauricio,
>>>
>>> Eu pensei assim:
>>>
>>> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é
>>> o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe
>>> em meia hora é 1-p.
>>>
>>> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
>>> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
>>> é1-0,64=0,36.
>>>
>>> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
>>> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
>>> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>>>
>>> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>>>
>>> Cgomes.
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
>>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>

 Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme
 e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo
 menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar
 pelo menos um peixe em meia hora?

 60%

 40%

 80%

 32%



 --
 Abraços,
 Mauricio de Araujo
 [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]


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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] [off] Ilustração de equações em uma lousa

2016-03-10 Por tôpico Leonardo Maia 
Estatística matemática, sem dúvida.

A função L é a de verossimilhança (likelihood). As integrais envolvidas
provavelmente (mal bati o olho e não fui pesquisar nada) envolvem um
procedimento de "expectation maximization" ou de construção da informação
de Fisher.

Leo

2016-03-10 2:55 GMT-03:00 Listeiro 037 :

>
> Olá a todos.
>
> Tenho uma dúvida que não sei onde posso esclarecer-me.
>
> Coloquei uma imagem no serviço do imgur para que possam ver. É só
> clicar no link.
>
> http://i.imgur.com/gBIwI1l.jpg
>
> A dúvida é se na imagem da lousa acima as equações fazem algum sentido,
> se no mínimo lembram alguma coisa com algum sentido, matematicamente
> falando. Se seriam, por exemplo, algo de Estatística ou Análise.
>
> Desde já agradeço.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Transformada inversa de laplace.

2016-03-03 Por tôpico Leonardo Maia 
Estude o teorema de convolução. Você deve achar facilmente a função
original cuja Laplace é 1/(1+s^2) e o que vc quer é o produto dela por ela
mesma. A função cuja Laplace é o produto de outras duas Laplaces é dada
pela integral de convolução das "originais" (iguais, neste seu caso).

[], Leo.

2016-03-03 16:24 GMT-03:00 Roger :

> Pessoal, boa tarde.
>
> Pode ser uma dúvida básica, mas se alguém puder indicar a resposta.
>
> Qual a transformada inversa de laplace de:
>
>  1/(1+s^2)^2
>
> [ ]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma dos números naturais

2016-03-03 Por tôpico Leonardo Maia 
https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

2016-03-03 14:24 GMT-03:00 Sávio Ribas :

> Vi uma palestra sobre isso (entre outras coisas) na última semana. O fato
> é que a Zeta(-1) = -1/12, onde Zeta(s) é a continuação analítica de 1 +
> 1/2^s + 1/3^s + ... para o plano complexo. Essa série só converge se a
> parte real de s é maior que 1, então não faz sentido fazer s = -1 e obter 1
> + 2 + 3 + ... = -1/12. Porém é verdade que alguns experimentos da física
> isso "se torna verdade", no sentido de que algum valor teórico era para dar
> algo que se comporta como 1 + 2 + 3 + ... mas na prática é medido -1/12. O
> exemplo dado na palestra foi de sobreposições de ondas com comprimentos 1,
> 1/2, 1/3, ..., mas a partir daqui não sei mais nada (física, né...).
>
> Em 3 de março de 2016 14:13, Pedro Henrique 
> escreveu:
>
>> Também achei isso mas existem diversos vídeos no YouTube q provam tal
>> afirmação.
>> Em 3 de mar de 2016 2:11 PM, "Alexandre Antunes" <
>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Essa afirmação parece estranha, pois a intuição parece indicar que essa
>>> soma tende para o infinito!
>>> Em 03/03/2016 13:54, "Pedro Henrique"  escreveu:
>>>
 Boa tarde!

 A um bom tempo atrás vi diversas explicações e também aplicações
 práticas na física sobre a soma dos números naturais ser igual a -1/12 mas
 não dei muita importância até que um aluno veio me questionar hj sobre a
 veracidade deste problema, portanto gostaria de saber de vcs se essa
 resposta está realmente correta e se n estiver quais contra-argumentos
 podem ser usados.

 Obrigado!

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Re: [obm-l] Como provar?

2014-12-06 Por tôpico Leonardo Maia 
Somar complexos é completamente equivalente a somar vetores no plano.

Soma nula de vetores equivale a um polígono (linha poligonal fechada). Se
são 3, é um triângulo.

Qual é o triângulo de lados congruentes?

[], Leo.

2014-12-06 15:40 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com:

 Os 3 complexos estão sobre a circunferência unitária de centro na origem.
 Através de  uma mesma rotação em cada um dos vetores correspondentes aos
 mesmos, podemos fazer com que um deles coincida com o real 1. Como os novos
 complexos continuam na circunferência unitária e as distância entre eles
 permanecem iguais às distâncias entre os complexos originais, podemos
 admitir, sem perda de generalidade, que z3 = 1, que tem argumento nulo.

 Sendo a1 e a2 os argumentos de z1 e de z2, temos então que

 cos(a1) + cos(a2) = -1
 sen(a1) + sen(a2) = 0

 Da 2a equação, temos que a2 = -a2 ou que a2 = pi + a1. Mas como esta
 segunda opção zera o 1o membro da 1a equação, temos que a2 = -a1. Isto
 conduz a que cos(a1) = -1/2.

 Concluímos assim que ou a1 = 2pi/3 e a2 = -2pi/3 ou o contrário. Em ambos
 os casos, temos exatamente os mesmos complexos, só mudam seus índices.

 Assim, os vetores destes 3 complexos estão igualmente defasados de  2pi/3.
 Logo, os respectivos afixos formam um triângulo equilátero.

 Artur Costa Steiner

 Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com
 escreveu:

 Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da
 circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas
 como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero?

 *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que*

 *z1 + z2 + z3 = 0*

 *|z1| = |z2| = |z3| = 1*

 *Então, geometricamente, temos:*

 *A) Uma reta;*

 *xB) Um triângulo equilátero;*

 *C) Um triângulo retângulo;*

 *D) Um único ponto;*
 *E) Nenhuma das alternativas anteriores.*

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[obm-l] Re: [obm-l] Somatório

2014-04-12 Por tôpico Leonardo Maia 
Em algum sentido, parece ser verdade!

Veja a seção smoothed asymptotics desta página da wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯

antes de consultar quem realmente entende

http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/

[], Leo.


2014-04-12 12:53 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta:

 http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893

 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que
 a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar
 na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar
 esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site?

 Obrigado!


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[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

2014-03-17 Por tôpico Leonardo Maia 
Vejo a razão com o Walter (apesar de um typo), e não com o Kleber.

Enxergo dupla contagem na solução do Kleber. Notem os dois espaços ao
redor da 1a. mulher entre as 3 já alocadas, por exemplo. Quando se contam
as possíveis posições da 4a. mulher, essas duas posições já são
consideradas entre as 8 possibilidades, correspondendo aos dois possíveis
ordenamentos de duas mulheres que eventualmente fiquem juntas ali. Depois,
 DE NOVO esses dois possíveis ordenamentos são contados no 4! das
mulheres. Overcounting!

Na solução do Walter, os dois fatores 4! estão corretos e devem ser
multiplicados pelo número de possíveis entrelaçamentos das filas de
homens e mulheres, que é dado pelo número de soluções da equação x1 + x2 +
x3 + x4 + x5 = 4 onde cada variável só pode valer 0 ou 1 (cada variável
corresponde ao número de homens na posição de cada espaço _ na solução do
Walter). São 5, e não C(5,2), tais soluções. O Walter deve ter pensado uma
coisa e escrito outra, pois o 2880 que julgo correto resulta do 5.

Saudações,
Leo.

On Monday, March 17, 2014, Kleber Bastos klebe...@gmail.com wrote:

 Pensei aqui o problema de uma forma diferente:

 Como os homens não podem ficar juntos, temos que ter pelo menos uma mulher
 entre dois homens. Então vamos colocar os 4 homens em fila, sempre com uma
 mulher enrte 2:

 H M H M H M H

  Para isso precisamos usar 3 mulheres. Isso é o mínimo que temos que ter.
 Mas ainda temos uma mulher para colocar na fila em qualquer lugar. Os
 lugares possíveis para essa última mulher são 8, onde vou colocar os traços:

 _ H _ M _ H _ M _ H _ M _ H _

  Então temos 8 maneiras diferentes de colocar a última mulher. Além
 disso, podemos trocar os homens de lugar entre si (que pode ser feito de P
 4 = 4! maneiras) e as mulheres de lugar enter si (que pode ser feito de P4 =
 4! maneiras).

 Portanto teremos:

 = 8 . 4! . 4!

 = 8 . 24 . 24= 4608

 Abraços, Kleber.
 Sent from my iPad

 On 17/03/2014, at 19:06, Walter Tadeu Nogueira da Silveira 
 wtade...@gmail.com javascript:_e(%7B%7D,'cvml','wtade...@gmail.com');
 wrote:

 Amigos,

 Na questão: De quantas maneiras podemos dispor 4 homens e 4 mulheres em
 uma fila, sem que dois homens fiquem juntos?

 Pensei em amarrar as mulheres e escolher posições onde os homens
 poderiam ocupar sem ficar dois juntos. Depois permutar homens e mulheres.

 _ M _ M _ M _ M _

 C(5,2). P4. P4 = 2880 formas diferentes.

 O gabarito da questão diz 4608. Mas não concordei com essa resposta.

 Alguém poderia ajudar. Muito obrigado.
 --
 Walter Tadeu Nogueira da Silveira


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Re: [obm-l] Probabilidade

2014-02-25 Por tôpico Leonardo Maia 
Não.

A resposta correta é (a), pois

p = 1 - (0.3*0.3*0.3) = 0.973


2014-02-25 10:58 GMT-03:00 João Sousa starterm...@hotmail.com:

  O gabarito dessa questão é B). Tá certo isso?



 Em uma grande empresa multinacional, existem 10 pessoas que ganham mais de
 R$ 20.000,00 , 20 que ganham entre R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00 e 70 que
 ganham menos de R$ 10.000,00. Se forem selecionadas três pessoas dessa
 empresa ao acaso, a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de R$
 10.000,00 é:



 a)  0,973

 b)  0,793

 c)   0,379

 d)  0,937

 e)  0,397

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Re: [obm-l] Probabilidade

2014-02-25 Por tôpico Leonardo Maia 
prob( 1 ou mais abaixo de 10 K) =
= 1 - prob(ninguém abaixo de 10 K) =
= 1 - prob(todos os 3 acima de 10 K) =
= 1 - [prob(um sorteado acima de 10 K)]^3
= 1 - [30/100]^3

Leo


2014-02-25 11:23 GMT-03:00 João Sousa starterm...@hotmail.com:

 Mas observe que na opção temos B) 0,793

 []'s

 João Sousa
 --
 Date: Tue, 25 Feb 2014 11:11:36 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Probabilidade
 From: lpm...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Não.

 A resposta correta é (a), pois

 p = 1 - (0.3*0.3*0.3) = 0.973


 2014-02-25 10:58 GMT-03:00 João Sousa starterm...@hotmail.com:

  O gabarito dessa questão é B). Tá certo isso?



 Em uma grande empresa multinacional, existem 10 pessoas que ganham mais de
 R$ 20.000,00 , 20 que ganham entre R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00 e 70 que
 ganham menos de R$ 10.000,00. Se forem selecionadas três pessoas dessa
 empresa ao acaso, a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de R$
 10.000,00 é:


 a)  0,973
 b)  0,793
 c)   0,379
 d)  0,937
 e)  0,397

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] indicação de l ivro de combinatória

2010-04-28 Por tôpico Leonardo Maia 
Oi.

O livro

http://www.sbm.org.br/pageviews.php?secao=cpm02,idcol=52

é tradicional, muito bom, mas é introdutório, não aborda todos os tópicos
que você mencionou. Já o livro do Prof. Plínio, da Unicamp,

http://www.lcm.com.br/index.php?Escolha=20Livro=L00580

parece ser exatamente o que você procura e prepara o caminho pro Concrete
Mathematics do trio GKP. Nunca usei a edição do link acima (1a. edição da
Editora Ciência Moderna, mas na verdade é a 4a. edição, pois a Editora da
Unicamp já havia editado 3 versões - todas esgotadas). Eu utilizei a 3a.
edição quando ministrei uma disciplina de matemática discreta na USP. Não
tem a riqueza do Concrete, mas é excelente para o nível escolhido pelos
autores.

Bons estudos,
Leo.


2010/4/28 Eduardo Vinicius eduvfsi...@gmail.com

 Dei uma olhada nesse do Knuth, mas ouvi comentários de que ele é muito
 difícil pra um pessoa que não tem muita experiência com matemática.

 Valeu pelas indicações galera, alguém conhece algum em português?

 Em 28 de abril de 2010 17:44, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:

 Eu sugiro fortemente o

 Concrete Mathematics, de Graham, Knuth e Patashnik. Tem tudo o que
 você pediu, e mais. É até hoje meu livro de referência sobre
 recorrências, fórmulas assintóticas e resolução de recorrências de
 todos os tipos. Acho que tem uma tradução, mas o original tem muitas
 piadinhas que tornam a leitura muito interessante. E ajudam você a
 sacar uma coisa a mais, ou ver se você realmente está acompanhando.

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa


 2010/4/28 Eduardo Vinicius eduvfsi...@gmail.com:
  Alguém poderia me indicar algum livro sobre combinatória e matemática
  discreta, de preferência em português?
 
  Há alguma tradução do livro Discrete and Combinatorial Mathematics: An
  Applied Introduction (de Ralph P. Grimaldi) ?
 
  Meu interesse principal são nos tópicos de funções geradoras, relações
 de
  recorrência e métodos de enumeração.
 
  Obrigado desde já,
  Eduardo Vinicius
 

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92

2009-05-05 Por tôpico Leonardo Maia 
Olá.

Eu não proporia essa solução para estudantes do nível médio, mas, se você
procura uma solução elegante e acha razoável a utilização de álgebra
linear, a questão admite uma solução trivial.

i) Teorema: det(A)=0  =  as colunas de A são LD (linearmente dependentes)

ii) A multiplicação de uma matriz nXn por um vetor-coluna nX1 equivale
simplesmente a promover uma combinação linear das colunas de A para obter um
novo vetor-coluna nX1.

iii) Se as colunas de A são LD, então, *por definição*, há uma combinação
linear (coeficientes dados pelos componentes de X) delas *não trivial* (pelo
menos um dos elementos de X não nulo) que resulta no vetor nulo. Isso
garante a veracidade da afirmação I.

iv) Se a afirmação II fosse verdadeira, as colunas de A constituir-se-iam em
uma base do espaço vetorial dos vetores-coluna 3 X 1. Porém, as colunas de A
são LD, de modo que elas não podem constituir uma base de tal espaço. Logo,
a afirmação II é falsa.

[], Leo.


2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br

 Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações:
 I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula.
 II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y.

 pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a
 segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez
 que a maneira que fiz ficou longa demais.

 Obrigado,

 Vanderlei

 OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta
 essa para minha coleção desde 1980.
 Valeu

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inte gral de exp(x^-2), por que é impossível?

2009-03-24 Por tôpico Leonardo Maia 
Pessoal,

o livro de Cálculo do Simmons (aquele azul e amarelo, famoso) traz uma
discussão introdutória sobre integrais indefinidas que não podem ser
expressas em termos de um número finito de funções elementares na seção
10.8, do volume 1.

Atenciosamente,
Leo.


2009/3/24 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com

 Eh, mas esta eh a integral da nota de aula eh DEFINIDA, de -Inf a
 +Inf. Esta dah para calcular passando por integrais duplas e
 coordenadas polares (este calculo eh belissimo, neh?).

 A integral INDEFINIDA (ou a integral definida F(x)=Int (0 a x)
 exp(-t^2) dt ) eh impossivel... bom, no sentido que o Leandro falou
 ali em cima: nao dah para escreve-la usando apenas as chamadas
 funcoes elementares (sin, cos, ln, exponenciais... esqueci alguma?)
 e somas, subtracoes, multiplicacoes, divisoes e raizes (FINITAS). Acho
 que o Cesar queria ver a demonstracao deste fato; infelizmente, eu nao
 a conheco... alias, nao tenho ideia de como seja esta demonstracao.

 Agora, se usarmos funcoes nao elementares, dah para escrever sim (por
 exemplo, usando a funcao erf, como disse o Bouskela, que por sua vez
 eh uma outra integral destas impossiveis, com aspas). Outra
 possibilidade para resolve-la (talvez o verbo correto aqui fosse
 re-escreve-la...) eh por serie de potencias.

 exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!-x^10/5!+...+(-1)^n . x^(2n)/n!+...

 F(x)=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/212-x^11/1320+...+(-1)^n.x^(2n+1)/((2n+1).n!)+...

 Reforcando de novo o que o Leandro disse, esta divisao entre funcoes
 elementares e nao-elementares eh um tanto arbitraria; quase dah
 para argumentar que a funcao F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt eh tao
 elementar quanto o seno, e tao dificil de calcular quanto o seno.
 Pense bem: como calcular F(1), e como calcular sin(1)? Eh mais uma
 questao de costume -- a gente mexe com o seno frequentemente, mas
 raramente com esta F que nem nome ganhou.

 Abraco,
   Ralph
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

2009-03-24 Por tôpico Leonardo Maia 
Thelio,

pense separadamente em cada caso com um número de algarismos pares bem
definido. Como um começo, note que só pode haver de 1 a 4 algarismos pares.

Leo

2009/3/24 Thelio Gama teliog...@gmail.com

 Prezados Mestres,
 minha cabeça embolou completamente com esse exercício. Agradeço se
 puderem me ajudar:

 Quantos são os números de 6 algarismos distintos que podemos formar de modo
 que um algarismo par esteja sempre ao lado de pelo menos um algarismo ímpar?

 Obrigado!
 Thelio

Re: [obm-l] Dúvida

2008-10-27 Por tôpico Leonardo Maia 
Caro Walter,

em um possível caminho, o raciocínio é decomposto em duas etapas. Na
primeira, atribuem-se posições no número aos algarismos que devem estar
presentes; posteriormente, atribuem-se os algarismos ainda livres às
posições restantes no número. O resultado é o produto dos resultados dessas
duas etapas (que também têm subetapas, veja).

etapa1
Quantas posições são possíveis para o algarismo 1? R: 4
Dado que o 1 já foi alocado, quantas posições são possíveis para o algarismo
2? R: 3

etapa 2
Dado que 1 e 2 já foram alocados, quantos algarismos podem ocupar a terceira
casa do número, qualquer que ela seja? R: 4 (são 3,4,5 e 6)
Quantos algarismos podem ocupar a casa final do número, dadas as ocupações
já realizadas? R: 3 (qualquer trinca formada a partir de 3,4,5,6 dependendo
da última escolha acima)

4.3.4.3=144

Atenciosamente,
Leo.

2008/10/27 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]

 Amigos, uma ajuda na solução desse problema.

 ( CEFET - PR ) A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos,
 escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é:
 A resposta oficial é 144 que encontrei com meus alunos da seguinte forma:

 1) Desnecessário o conjunto apresentar o 7 se não faria parte.
 2) Dividimos as situações em: só com o 1; só com o 2; com 1 e 2 aparecendo.

 Com a situação 2, temos: 60 + 60 + 24 = 144.

 Bom...qual a dúvida? O danado do e. Deveria ser ou? Colegas de trabalho
 disseram que com o e poderia ser feito sem partir nos casos expostos.

 Por favor, se puderem nos ajudar, agradeço.

 Abraços


 --
 Walter Tadeu Nogueira da Silveira

Re: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela

2008-07-24 Por tôpico Leonardo Maia 
Alternativa: a soma das áreas dos trapézios menores (determinados pela
paralela) é igual à área do trapézio original.

Leo

2008/7/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]:

   Observe a figura em anexo. Por semelhança temos o seguinte

 d/x = 18/y ,ou seja,

  18.x=d.y  (1)
  Analogamente
 d/[2d-(x+20)] = 18/[32-(20+y)]
  ou entao,
 d/18 = [32-(20+y)]/[2d-(x+20)]
  que por (1) resulta

  x.[32-(20+y)]=y.[2d-(x+20)]
   = 32x-x.(20+y)=2d.y-y.(x+20)
   = 32x-20x=2d.y-20y
   = 12x=y.(2d-20)
   = 6x=y.(d-10)
   = x/y=(d-10)/6
  Substituindo em (1)

  18(x/y)=d = 3(d-10)=d = 2d-30=0 = d=15

  e portanto 2d=30.

  inté,


 Citando Eduardo AM [EMAIL PROTECTED]:

  (EEAr) As bases de um trapezio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm.
 Traca-se uma paralela às bases. O comprimento desa paralela é o dobro de
 sua distância à base menor. A medida dessa paralela, em centímetros, é:
 a)... b)... c)... d)30

 Alguem poderia me explicar como chegar lah?
 Obrigado.

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =




 --
  Arlane Manoel S Silva
Departamento de Matemática
 Instituto de Matemática e Estatística-USP

Re: [obm-l] DESAFIO - função com infinitos pontos críticos (mínimo ou máximo)

2007-11-09 Por tôpico Leonardo Maia 
A função f dada por f(x) = x*sen(1/x) quando x!=0 e por f(0)=0 anula-se em
(infinitos) outros pontos além de zero no intervalo (-eps,eps). Além disso,
ela é contínua e, portanto, integrável. Assim, F pode ser qualquer primitiva
de f.

[]'s,
Leo.

On Nov 9, 2007 5:10 PM, André Rodrigues da Cruz [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 Alguém ai saberia me dizer se existe e exemplificar uma função F que:

 Para u_0 (ponto crítico de F ) contido em U aberto e para todo eps  0 tal
 que em toda bola aberta B_eps(u_0) tenha outros pontos críticos de F.

 Desafio lançado.

 Um abraço,

 --
 André Rodrigues da Cruz

Re: [obm-l] Desafio

2007-10-31 Por tôpico Leonardo Maia 
Oi, Vivian.

O fato é que você tem um grafo (ou seja, um conjunto de nós e um conjunto de
arestas ligando dois nós) bipartido (ou seja, há dois tipos de nós, e os nós
de um tipo só podem ser ligados por arestas a nós do outro tipo), com 3 nós
de um tipo (os nós A, L e E) e 3 nós do outro tipo (as 3 casas, cada uma
indexada por um número, por exemplo: 1, 2 e 3).

O desafio equivale à pergunta: existe um grafo bipartido 3 por 3 em que cada
nó de um tipo (as estações) esteja ligado aos 3 nós do outro tipo (as casas)
- tal grafo, com todas as arestas possíveis, é um grafo bipartido completo -
e que seja planar? Um grafo planar é um grafo que admite uma representação
gráfica no mesmo plano em que quaisquer duas arestas não se cruzam.

É um resultado clássico da teoria de grafos, cuja demonstração pode ser
encontrada em vários textos, que tal grafo (denotado por K_3,3) não é
planar.

Saudações,
Leo.

On 10/31/07, Vivi H. [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá Pessoal...

 Estava conversando com minha professora de cálculo sobre um desafio que é
 bem divulgado por aí. A maioria das pessoas afirma que tal desafio é
 impossível de se resolver, porém, minha professora falou que algumas pessoas
 falaram que o desafio é possível, mas não mostraram de que jeito é
 possível...
 Gostaria de saber o que vocês acham...

 Desafio:

 Você tem que levar água, luz e esgoto para 3 casas de uma cidade. As
 fornecedoras de água (A), luz (L) e esgoto (E) permitem que os canos
 distribuidores não sejam retos... São canos flexíveis e podem ser arrumados
 da forma que você desejar.

 Os canos JAMAIS podem se cruzar e/ou invadir a região interna de qualquer
 casa e de qualquer fornecedora.

 A profundidade de encanamentos sob os terrenos da cidade que a prefeitura
 tolera é única. Ou seja, assuma no esquema que todos os canos são como
 linhas no mesmo plano.

 Muito obrigada...

 Vivian

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Matemático resolve probl ema centenário e recusa US$ 1 milhão

2006-08-27 Por tôpico leonardo maia 
Fiquei pensando alguns minutos se valeria a pena envolver-me nessa disputa: investe-se algum tempo e o risco de ser mal compreendido é enorme... Mas tenho plena convicção de que tenho algo relevante a dizer.
As reações ao gesto do Perelman variaram do maluco ao nobre. Pessoalmente, eu diria apenas interessante ou curioso. Qualquer julgamento (para o bem ou para o mal) depende das convicções pessoais do inquisidor, construídas a partir das suas experiências de vida, únicas e incomunicáveis. Ou seja, cuidado para não enxergar apenas o que você quer ver... O próprio Perelman disse que ninguém deveria ter interesse em saber mais sobre ele, ele não quer ser exemplo de nada!
Creio que ninguém se envolve com o conhecimento sem paixão, pelo menos em um grau mínimo. Porém, mesmo que se trate de uma paixão ardorosa, isso não implica desprendimento de qualquer outro desejo. Muito já se escreveu sobre a diferença na mentalidade dos cristãos católicos (que condenam fortemente o acúmulo de capital) e a dos cristãos protestantes (que não demonizam o dinheiro ganho justamente). A Reforma surgiu desse conflito!
Preferências religiosas à parte, é indiscutível que a linha católica encontra eco em uma mentalidade muito comum nas ciências puras no Brasil, de que
qualquer trabalho mais aplicado ou que possa gerar dividendos seja
condenável. Acho particularmente nociva (para a própria Ciência e para a sociedade
em geral) essa postura. Tenho inúmeras críticas a valores e atitudes norte-americanas, mas é inquestionável que, no mundo em que vivemos, os EUA são o país que melhor sabe transformar conhecimento em riquezas. Não coincidentemente, o Brasil, subdesenvolvido, é péssimo nesse aspecto.
Aqui, muitos respeitáveis professores doutores digladiam-se em uma questionável disputa que dá a entender que a Matemática, que é uma só, divide-se em pura e aplicada, resultando em pouquíssimos pesquisadores envolvidos com aplicações. Enquanto isso, nos EUA ou em qualquer outro país desenvolvido, os pesquisadores que enfatizam aplicações atraem recursos e estudantes não só para suas áreas de atuação mas também para aquelas mais fundamentais, respeitando e sendo respeitados pelos pesquisadores com temas mais afastados do cotidiano.
Em resumo, no mundo em que vivemos, para tirar muitos países do ostracismo científico e da miséria, acima de tudo é preciso parar de demonizar quem tem outras ambições além das intelectuais. Arrisco dizer que o que irritou o Fernando não foi a
atitude do Perelman, mas sim a exaltação fervorosa dessa atitude, que praticamente implica na condenação do comportamento oposto.
Pelo menos comigo, foi o que ocorreu. Com todo o respeito, considero a frase quando se entrar no ramo da matemática subentende-se que você não está nem aí pra dinheiro e que o pouco que você ganha lhe torna uma pessoa feliz, porque você faz o que gosta e tem amor por isso muito parecida com uma pregação religiosa: o reino dos céus será seu, não importa o quanto você sofra aqui na Terra. Cada um tem o direito de acreditar no que quiser, mas tenho convicção (e parece que todos os estudos sobre o desenvolvimento sócio-econômico das nações vão nessa direção) de que essa postura não ajuda em nada o desenvolvimento da Matemática e do Brasil.
Notem, não condeno o Perelman, não condeno nenhuma pesquisa pura, não estou dizendo que só se deve fazer pesquisa aplicada. Só defendo a não-demonização de quem gosta de aplicações e/ou quer ganhar dinheiro com o conhecimento: isso pode ser benéfico para todos!
Respeitosamente,Leonardo P. Maia.On 8/27/06, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
O que está se louvando aqui é a postura, a atitude, a forma de encarar com amor e desprendimento, sem egoísmo, nem interesse, o espírito de sacrifício pelo bem da humanidade, coisa muito rara hoje em dia e que talvez ajudasse a tirar muitos países do ostracismo científico e da miséria. Ninguém aqui disse que está se candidatando a santo, apenas adimiramos algo que é nobre e raro, manifestando-se em abundância em um colega de profissão estrangeiro.Não é preciso se tornar uma Madre Teresa paradar uma parcela do nosso tempo, energia e amor àqueles que não têm acesso ao que para nós é facilmente obtido. Dividir o conhecimento é ainda mais nobre que dividir o alimento... e isso nós todos aqui já estamos fazendo de maneira magnífica e maravilhosa, não é?Eu, pessoalmente, se fosse desprendido como ele, aceitaria o dinheiro do Rei (que talvez o utilizasse de maneira fútil) e o empregaria para fazer mais pesquisas e também para auxiliar os menos favorecidos que apenas precisam de uma oportunidade e um gesto de amor para mostrarem ao mundo o quanto são capazes... Acho que o que a atitude dele nos ensina é que nem todos os homens agem somente por dinheiro ou por fama e nem por isso deixam de ser felizes ou deixam de fazer os outros felizes.


Grande abraço

Palmerim



Em 27/08/06, fernandobarcel [EMAIL PROTECTED]
 escreveu:
O assunto é offtopic, mas fiquei chocado com o que vai pela

Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

2006-08-23 Por tôpico leonardo maia 
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
[]'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote:
galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver:
Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)
sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será
tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not
theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your
cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora!http://br.acesso.yahoo.com
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

2006-08-23 Por tôpico leonardo maia 
Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia [EMAIL PROTECTED] wrote:
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:
soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
[]'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares 
[EMAIL PROTECTED] wrote:
galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver:

Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.
O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)
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Re: [obm-l] Poligonal no Plano

2006-08-10 Por tôpico leonardo maia 
Cláudio, creio que o enunciado está incompleto, a não ser que eu esteja completamente fora do ar. O ponto P_1 é a intersecção da parábola y=x^2 com uma das duas retas que passam por (1,0) e fazem 60 graus com o eixo x,

y = sqrt(3) . x - sqrt(3)ey = -sqrt(3) . x + sqrt(3).A intersecção só é possível no segundo caso, mas há duas soluções. Parece haver uma ambigüidade quanto à definição de P_1.[], Leo.
On 8/10/06, André Araújo [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
Claúdio,

uma solução seria tomando as projeções dos segmentos sobre o eixo x.
Pois bem, seja Q_(2n+1) a projeção de P_(2n+1) sobre o eixo x. O
comprimento da poligonal P_0Q_1P_2Q_3...Q(2n+1) quando n tende para
infinito é a distância de P_0 até a origem, ou seja, igual a 1. Só que
P_(2n)Q_(2n+1) = P_(2n)P_(2n+1)*cos 60 = P_(2n)P_(2n+1) =
2*P_(2n)Q_(2n+1). Assim o comprimento da poligonal
P_0P_1P_2P_3P_n, quando n tende a infinito é igual a 2.


[ ]'s
André Araújo.Em 10/08/06, claudio.buffara 

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Quão difícil é este problema?

Considere a seguinte sequência de pontos em R^2:
P_0 = (1,0)
P_1 = ponto da curva y = x^2 e vértice do triângulo equilátero P_0P_1P_2 cuja base P_0P_2situa-se sobre o eixo x.
P_2 = terceiro vértice do triângulo equilátero mencionado acima.
Daí em diante, teremos que, para n = 1,P_(2n), P_(2n+1)
e P_(2n+2) serão vértices de triângulos equiláteros cujas bases
(P_(2n)P_(2n+2)) situam-se sobre o eixo x e cujo terceiro vértice
(P_(2n+1)) situa-se sobre a curva y = x^2.
Calcule o comprimento da poligonal P_0P_1P_2P_3P_n, quando n tende a infinito.

[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] Contagem

2006-04-26 Por tôpico leonardo maia 
Caro Klaus,

comecemos pela segunda questão. Ande de trás para frente: há 3 números
que podem ocupar a última casa, n, n-1 ou n-2. O mesmo ocorre com a
penúltima casa, pois embora um dos números mencionados acima tenha sido
escolhido para ocupar a última casa, há uma nova possibilidade: n-3.
Sucessivamente, vc perde uma opção, mas ganha outra. Isso só não ocorre
com a casa 2 (só há duas opções, pois vc perde uma opção mas não ganha
outra) e com a casa 1 (só resta uma opção). Pelo princípio
multiplicativo, acabou.

Agora, a primeira questão. Como ela (e a anterior) são do livro do
Morgado e colaboradores, presumo que vc o tenha e já saiba calcular o
número de soluções de uma eq. cujas variáveis são inteiros não
negativos, mesmo quando há restrições (por exemplo, quando uma variável
precisa ser =1). Vou admitir esse fato para apresentar duas
soluções, uma baseada só nas técnicas daquele livro e outra baseada em
funções geradoras (ver Introd. à Anál. Comb., de Santos, Mello 
Murari, Ed. Unicamp). Talvez haja alguma solução + simples, as edições
+ recentes do Morgado et al trazem as soluções dos problemas (minha
edição é bem antiga).

1a. solução: um pouco braçal, se o problema fosse maior, complicaria;
prefiro o segundo método, mas mostro esta solução para vc poder
resolver o problema sem precisar de outro livro.

i) primeira possível configuração
_A_A_A_A_A_A_A_

Há 8 espaços em branco, que devem ser preenchidos pelos B's. Se x1 for
a qtdade de B's no 1o. espaço em branco, por exemplo, então queremos
saber qtas são as soluções de

x1+...+x8 = 7, sendo x1=0, x8=0, mas xi=1, com i=2,...,7
que é o mesmo número de soluções de

y1+...+y8=1, com yi=0 para todo i, que é C(8,7).

ii) segunda possível configuração

_AA_A_A_A_A_A_



Há 7 espaços em branco, que devem ser preenchidos pelos B's. Queremos
saber qtas são as soluções de



x1+...+x7 = 7, sendo x1=0, x7=0, mas xi=1, com i=2,...,6


que é o mesmo número de soluções de



y1+...+y7=2, com yi=0 para todo i, que é C(8,6), mas há C(6,1) formas de posicionar o bloco AA.

iii) terceira possível configuração


_AA_A_A_AA_A_





Há 6 espaços em branco, que devem ser preenchidos pelos B's. Queremos
saber qtas são as soluções de





x1+...+x6 = 7, sendo x1=0, x6=0, mas xi=1, com i=2,...,5




que é o mesmo número de soluções de





y1+...+y6=3, com yi=0 para todo i, que é C(8,5), mas há C(5,2) formas de posicionar os blocos AA.

iv) quarta e última possível configuração



_AA_AA_AA_A_







Há 5 espaços em branco, que devem ser preenchidos pelos B's. Queremos
saber qtas são as soluções de







x1+...+x5 = 7, sendo x1=0, x5=0, mas xi=1, com i=2,3,4






que é o mesmo número de soluções de







y1+...+y5=4, com yi=0 para todo i, que é C(8,4), mas há C(4,3) formas de posicionar os blocos AA.

v) FECHANDO: C(7,0).C(8,7) + C(6,1).C(8,6) + C(5,2).C(8,5) + C(4,3).C(8,4) = 1016.


2a. solução: só o esboço, pq não dá explicar aqui, veja o livro citado

a configuração geral dos B's é

_B_B_B_B_B_B_B_ 

onde os espaços vazios devem ser preenchidos pelos A's. Se x1, por exemplo, for a qtdade de A's no 1o. espaço em branco,

x1+...+x8=7, com xi = 0, 1 ou 2, no máximo, para i=1,...,8.

Dada a função geratriz g(x) = (1+x+x^2)^8 = [(1-x^3)^8].[(1-x)^(-8)] ,
o coeficiente de x^7 na expansão de Taylor de g(x) é a solução
procurada.

Espero ter sido claro (com exceção do último trecho...).

Abraços,
Leo.



On 4/25/06, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Quantas permutacoes de 7 letras A e 7 letras B, nas quais nao ha 3 letras A adjacentes, existem?   gab: 1016  Quantas
sao as permutacoes simples dos numeros 1,2,,n nas quais o elemento
que ocupa a k-esima posicao é maior que k-3, para todo k?  gab:2.3^(n-2)Quem puder me ajudar agradeco.
		 
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Re: [obm-l] Pbminhas de Probabilidade

2006-03-20 Por tôpico leonardo maia 
Roteiro para os cálculos logo abaixo:
- na 1a. passagem, lei da prob total;
- na 2a., definição de prob condicional;
- na 3a., para ter k meninos preciso ter  pelo menos k filhos;
- na 4a., a prob condicional é binomial e a outra foi dada no enunciado;
- na 5a., só rearranjei alguns termos.

P(k meninos) = 
= soma(n de 0 a infinito) P(k meninos e n filhos) =
= soma(n de 0 a infinito) P(k meninos | n filhos) . P(n filhos) =
= soma(n de k a infinito) P(k meninos | n filhos) . P(n filhos) =
= soma(n de k a infinito) [C(n,k).(1/2)^n] . [a.p^n] =

= a . soma(n de k a infinito) C(n,k).(p/2)^n

Aqui, há dois caminhos possíveis: resolver esse somatório na raça
(derivadas iteradas para tombar os coeficientes e gerar o coeficiente
binomial) ou usar funções geratrizes. Para mim, o segundo caminho
parece mais fácil. Portanto, sendo

g(z) = soma(k de 0 a infinito) 
P(k meninos) z^k,

segue que

g(z) =
= a . soma(k de 0 a infinito) soma(n de k a infinito) z^k . C(n,k) . (p/2)^n =
= a . soma(n de 0 a infinito) soma(k de 0 a n) z^k . C(n,k) . (p/2)^n =
= a . soma(n de 0 a infinito) [ (p/2)^n . soma(k de 0 a n) z^k . C(n,k) ] =
= a . soma(n de 0 a infinito) [ (p/2)^n . (1+z)^n ] =
= a . { 1 / ( 1 - [p(1+z)/2] ) } =
= [2a/(2-p)] . { 1 / ( 1 - [p/(2-p)]z ) } =
= [2a/(2-p)] . soma(i de 0 a infinito) C(-1,i) . [-p/(2-p)]^i . z^i =
= [2a/(2-p)] . soma(i de 0 a infinito) (-1)^i . [-p/(2-p)]^i . z^i =
= P(k meninos) = (2a . p^k) / [ (2-p)^(k+1) ],

e as justificativas são:

- na 1a. passagem, definição da função geratriz;
- na 2a., inversão da ordem dos somatórios (importantes questões de convergência estão sendo omitidas);
- na 3a., rearranjei um termo;
- na 4a., teorema binomial usual;
- na 5a., soma de série geométrica;
- na 6a., rearranjei termos;
- na 7a., teorema binomial generalizado;
- na 8a., coeficiente binomial generalizado;
- na 9a., da definição da função geratriz.

Recomendo àqueles não familiarizados com algumas das técnicas
mencionadas acima (funções geratrizes, teorema binomial generalizado,
coef. bin. generalizado), que dêem uma olhada no excelente livro
Introdução à Análise Combinatória, de Santos, Mello  Murari, Ed.
da Unicamp.

Espero ter sido claro. Abraços, Leo.

On 3/18/06, Rodrigo Guarino [EMAIL PROTECTED]
 wrote:Primeiramente gostaria de agradecer
ao Ronaldo Luiz e ao Marcelo Salhab pela atenção dada ao meu pbm de
probabilidade postada no dia 9 de Mar. Infelizmente
no entanto continuo sem saber como resolvê-lo, mas consegui acesso a
resposta, após encontrá-lo com um enunciado de demonstração em outro
livro. Agradeço já de antemão qualquer ajuda que possa ser dada.A nova versão é:Problema 1:=A
probabilidade que uma família possua exatamente n crianças é a*(p^n)
quando n=1 e 1 - a*p(1+p+p^2+) quando n = 0. Suponha que todas
as distribuições de sexo das n crianças tenham a mesma
probabilidade.Prove que aprobabilidade que uma família
possua exatamente k meninos é (2*a*p^k) / (2-p)^(k+1).   Além
desse tem um outro, que eu consegui chegar numa resposta, MAS que não
bate com o gabarito do livro. Novamente qualquer ajuda é bem vinda :-)Problema 2:  =A
probabilidade de um carro passar durante um segundo qualquer em uma rua
é p. Supondo que não exista interação entre o passar dos carros em
segundos diferentes e supondo também que o segundo é uma unidade de
tempo indivisível, assumimos que o modelo de tentativas de Bernouli
seja válido. Suponha agora que parapedestre pode atravessar a rua
somente se nenhum carro passar durante três segundos consecutivos. Ache
a probabilidade do pedestre ter que esperar exatamente por k = 0,1,2,3
e 4 segundos.Comentário: acertei para k = 0 e k = 1. Mas não estou conseguindo entender a resposta para k = 2 e k = 3.

		 
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Re: [obm-l] Uma Curva Interessante

2006-02-07 Por tôpico leonardo maia 
Caro Wagner, ainda não tentei resolver o problema, mas tenho a
impressão que ele pode estar bem posto, sim, pois a curva deve ter
comprimento fixo L. Parece-me que esse fato faz com que seu argumento
não se aplique, não? Se eu estiver correto, parece interessante essa
braquistócrona inversa.

Leonardo Maia

On 2/7/06, Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Paulo:Oi Pessoal:Esta eh facil. Faça um primeiro trecho quase, maisquase mesmo, horizontal e o restante do comprimentocaindo abruptamente até B. Como nesse primeiro trechoa inclinação pode ser tão pequena quanto se queira,
o tempo que a bolinha demora para percorre-lo pode serarbitrariamente grande.Logo, não existe a curva do tempo máximo.Abraços,Wagner.--From: Paulo Santa Rita 
[EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Uma Curva InteressanteDate: Tue, Feb 7, 2006, 2:14 PM
 Ola Pessoal, Alguem me propos o seguinte problema : Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao
 campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para ir de A para B. NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb  Xa e
 Yb  Ya. Tambem suponha que : distancia entre A e BL (Xb - Xa) + (Ya - Yb) Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra pensar nele, estou passando pra voces.
 Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1414,070206 _ Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo
 ou e-mail em seu PC. Acesse:http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Estatística

2005-11-07 Por tôpico leonardo maia 
A variável P a que ele se refere é contínua, com densidade f(p)=1. E,
como X é Bernoulli de parâmetro p, Prob(X=0 | p) = 1-p e Prob(X=1
| p) = p. Com isso,

Prob(x) = int[0,1] Prob(x|p) f(p) dp = ...

... int[0,1] (1-p) dp = 1/2, se x=0 ou

... int[0,1] p dp = 1/2, se x=1.

Pela definição de prob condicional,

f(p|x) = Prob(x|p) f(p) / Prob(x) = ...

... 2(1-p), se x=0 ou

... 2p, se x=1.

Espero que esteja claro. []'s, Leo.On 11/6/05, Luiz H. Barbosa [EMAIL PROTECTED] wrote:

Você quer a distribuição conjunta deP e X ?Se for...

P\X | 0 | 1 | P(p)|

O |1/4|1/4| 1/2|

1 |1/4|1/4| 1/2|

P(x) |1/2 |1/2 | 1|




-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: Lista de mat obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Sun, 6 Nov 2005 11:57:14 -0200 
Assunto: [obm-l] Estatística 

 Pessoal, estou com esse problema em distribuições conjuntas. Se alguém 
 puder me dar uma luz... 
 
 
 
 P tem distribuição uniforme em (0,1) e dado P=p, X tem distribuição de 
 Bernoulli com parâmetro p. Encontre a distribuição condicional de P dado 
 X. 
 
 
 
 Abraços!!

Re: [obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!

2005-11-04 Por tôpico leonardo maia 
Eu tinha pensado em marcar n após um número finito de lançamentos.
Mas seu raciocínio está perfeito e realmente é mais próximo do
(impreciso) enunciado.

[]'s,
Leo.On 11/3/05, Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
O que eu calculei (ou acho que calculei!) foi a probabilidade de que
uma dada sequencia crescente de numeros gerados pelo lancamento da
moeda contenha o numero n. Fiz isso porque o enunciado nao dava
nenhuma dica de haver uma ordem temporal no problema. Mas admito que
haja outras interpretacoes.

[]s,
Claudio.

on 03.11.05 16:32, leonardo maia at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Claudio, é preciso introduzir uma segunda variável t (o tempo, discreto) para que a questão

 Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém
 uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador
 marcar exatamente n pontos?

faça sentido. Você resolveu a recorrência

P(n) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2)

como se essas probabilidades fossem definidas no mesmo instante, o que não é verdade. A equação correta é

P(n,t) = (1/2)*P(n-1, t-1) + (1/2)*P(n-2, t-1).

Se você introduzir uma função geradora (ou geratriz) g, pode obter uma
recorrência (em t) para g, resolvê-la, e descobrir que P(n,t) é zero,
se nt ou n2t, e que, para t = n = 2t, vale

P(n,t) = [(1/2)^t] . C(t, n-t).

[]'s, Leo.


On 11/3/05, Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
on 03.11.05 11:27, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at
[EMAIL PROTECTED] wrote:

 Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém
 uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador
 marcar exatamente n pontos?

P(n) = P(n|n-1)*P(n-1) + P(n|n-2)*P(n-2) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2)
P(1) = 1/2 e P(2) = 1/2 + 1/4 = 3/4

Eq. caracteristica: t^2 = (t+1)/2 == 2t^2 - t - 1 = 0 ==
t = 1 ou t = -1/2 == 
P(n) = A + B*(-1/2)^n

P(1) = A - B/2 = 1/2
P(2) = A + B/4 = 3/4 ==

A = 2/3 B = 1/3 ==

P(n) = 2/3 + (1/3)*(-1/2)^n

\

Re: [obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!

2005-11-03 Por tôpico leonardo maia 
Claudio, é preciso introduzir uma segunda variável t (o tempo, discreto) para que a questão

 Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém
 uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador
 marcar exatamente n pontos?

faça sentido. Você resolveu a recorrência

P(n) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2)

como se essas probabilidades fossem definidas no mesmo instante, o que não é verdade. A equação correta é

P(n,t) = (1/2)*P(n-1, t-1) + (1/2)*P(n-2, t-1).

Se você introduzir uma função geradora (ou geratriz) g, pode obter uma
recorrência (em t) para g, resolvê-la, e descobrir que P(n,t) é zero,
se nt ou n2t, e que, para t = n = 2t, vale

P(n,t) = [(1/2)^t] . C(t, n-t).

[]'s, Leo.
On 11/3/05, Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
on 03.11.05 11:27, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at[EMAIL PROTECTED] wrote: Turma! Gostaria de dedicar esse singelo artigo ao amigo postal Chicão
 Valadares, por três motivos pessoais: primeiro, por ter sido o único que encaminhou minhas mensagens à lista na ocasião do meu afastamento; segundo, por ter veiculado meu retorno à mesma e terceiro, por ser um assunto que faz
 parte da sua praia estatística. Existem bolas azuis e vermelhas em uma caixa. A probabilidade de sortear duas bolas de cores diferentes, ao retirar duas bolas ao acaso, é 1/2. Prove
 que o número de bolas na caixa é um quadrado perfeito.a bolas azuis e v bolas vermelhas na caixa.Bolas de mesma cor sao supostas indistinguiveis.2 bolas de cores distintas podem ser retiradas de 2av maneiras
2 bolas podem ser retiradas de (a+v)(a+v-1) maneirasProb(2 bolas de cores distintas) = 2av/((a+v)(a+v-1)) = 1/2 ==a^2 + v^2 + 2av - a - v = 4av ==(a - v)^2 = a + v ==no. de bolas na caixa = a + v = quadrado perfeito
 Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador marcar exatamente n pontos?
P(n) = P(n|n-1)*P(n-1) + P(n|n-2)*P(n-2) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2)P(1) = 1/2eP(2) = 1/2 + 1/4 = 3/4Eq. caracteristica: t^2 = (t+1)/2 == 2t^2 - t - 1 = 0 ==t = 1out = -1/2 ==
P(n) = A + B*(-1/2)^nP(1) = A - B/2 = 1/2P(2) = A + B/4 = 3/4 ==A = 2/3 B = 1/3 ==P(n) = 2/3 + (1/3)*(-1/2)^n Jogamos 10 dados comuns (com 6 faces equiprováveis numeradas de 1 a 6).
 Calcule a probabilidade de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20.A probabilidade eh igual a N/6^10, onde:N = coeficiente de x^20 na expansao de(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^10
 Guilherme lançou uma moeda quatro vezes. A probabilidade de ele obter no mínimo tantas caras quanto coroas é ?Supondo a moeda honesta, P(2, 3 ou 4 caras) = (6+4+1)/2^4 = 11/16. A propósito, quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximizar
 a probabilidade de se obter exatamente um 2?Lancemos N dados honestos.Escolha do dado que vai dar 2: NEscolha dos resultados dos outros N-1 dados: 5^(N-1)Probabilidade = f(N) = N*5^(N-1)/6^N =
f'(N) = (5^(N-1)/6^N)*(1 + N*log(5/6)) = 0 ==N = 1/log(6/5) ~ 5,48N = 5 e N = 6 dao a mesma probabilidade maxima, igual a (5/6)^5.Acho que eh isso.[]s,Claudio.
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=