Olá. Eu não proporia essa solução para estudantes do nível médio, mas, se você procura uma solução "elegante" e acha razoável a utilização de álgebra linear, a questão admite uma solução trivial.
i) Teorema: det(A)=0 <=> as colunas de A são LD (linearmente dependentes) ii) A multiplicação de uma matriz nXn por um vetor-coluna nX1 equivale simplesmente a promover uma combinação linear das colunas de A para obter um novo vetor-coluna nX1. iii) Se as colunas de A são LD, então, *por definição*, há uma combinação linear (coeficientes dados pelos componentes de X) delas *não trivial* (pelo menos um dos elementos de X não nulo) que resulta no vetor nulo. Isso garante a veracidade da afirmação I. iv) Se a afirmação II fosse verdadeira, as colunas de A constituir-se-iam em uma base do espaço vetorial dos vetores-coluna 3 X 1. Porém, as colunas de A são LD, de modo que elas não podem constituir uma base de tal espaço. Logo, a afirmação II é falsa. [], Leo. 2009/5/5 Vandelei Nemitz <vanderm...@brturbo.com.br> > Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: > I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. > II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. > > pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a > segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez > que a maneira que fiz ficou longa demais. > > Obrigado, > > Vanderlei > > OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta > essa para minha coleção desde 1980. > Valeu >
