Obrigado pelas soluções, elas esclareceram bastate essa parte do livro para
mim. Estou achando muito interessante essa construção rigorosa dos reais e
de suas propriedades. No ensino fundamental e no médio apenas jogam os
números e fórmulas prontos na nossa frente e passam cálculos e mais
cálculos.
Consegui uma solução diferente, mas acho que ela tem algumas passagens meio
delicadas. Confiram:
Considere inicialmente x0. Então existe um inteiro a tal que ax (teorema
1.29 no livro). Existe um a mínimo (se não existisse, teríamos xa para todo
a, quando a=1, 0x1, e tínhamos suposto um x arbitrário). Seja b esse
mínimo. Então x=b-1, pois xb-1 contradiz a afirmação de que b é o menor
inteiro maior que x. Então existe um n=b-1 tal que n=xn+1. Suponha que
exista m tal que m=xm+1. Se mn, nm=xn+1m+1. Isso dá xn e exclui a
possibilidade x=n, e tínhamos suposto um x arbitrário. Analogamente mn leva
a absurdo. Então m=n, e o número procurado é único. Se x0, basta tomar
n=-p, onde p é inteiro e p=-xp+1. Se x=0, basta tomar n=0.
Em 25/09/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Eu tenho um livro do Apostol. Ele segue a construcao usual em livros de
analise.
Vamos admitir jah demosntrado que o conjunto N, dos inteiros nao negativos
eh bem ordenado, isto eh, todo subconjunto limitado inferiormente tem um
menor elemento. Isto implica que todo subconjunto limitado superiormente
tenha um maior elemento.
Seja x = 0 um real e sejam n =supremo {i em N | i =x} e m = infimo {i em
N | m x}. Entao, n e m estao em N, m x. e n = x m. Como m -1 m,
a definicao de m implica que m -1 = x, o que, pela definicao de n, implica
que m -1 = n = m = n +1. Temos, entao, que n = x n +1. Eh imediato que
nenhum k de N maior que n +1, assim como nenhum k de N menor que n,
satisfazem a k = x k+1. E como entre n e n+1 nao hah nenhum elemento
de n, concluimos que n eh o unico elemento de N satisfazendo n = x n +1.
Para extendermos a conclusao ao conjunto dos inteiros Z, basta tomar -x,
se x 0, e aplicar o que jah vimos.
Artur
-Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *Carlos Nehab
*Enviada em:* terça-feira, 25 de setembro de 2007 08:11
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* Re: [obm-l] (Apostol) Função Máximo Inteiro
Oi, Otavio e Salhab,
Meu Apostol, assim como muitos outros livros foram emprestados no passado
e eu fiquei a ver navios... Mas acho importante algumas considerações
sobre a demonstração do Salhab do exercícío do Apostol que você postou.
Embora não lembre como é feita a construção dos reais no Apostol, é
importante registrar que certamente, em algum momento, deve ser mencionada
a questão dos reais como corpo ordenado e, em algum outro momento, deve ser
mencionada a completude dos reais. Possivelmente adicionando outro axioma
aos reais: o do supremo, por exemplo: todo conjunto limitado
superiormente possui um supremo...
Por isto, a afirmativa do Marcelo
vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro..
deve ser vista como uma afirmativa que requer cuidados (pode até ser uma
propriedade na construção do Apostol), pois usa indiretamente tal completude
ou algo dela decorrente, como uma propriedade que alguns livros de calculo
gostam de usar e que é chamada de propriedade de ordenação de Arquimedes:
dado qualquer número real x existe um inteiro positivo n tal que n x.
Apenas para registro, sua demonstração também usou (de forma digamos
mascarada) indução, que dependendo do estágio da construção dos reais não
deve ser considerado algo tão óbvio...
Ou seja, eu apenas quis assinalar que sua demonstração carrega algumas
sutilezas ocultas que achei importante registrar. Com a palavra quem tem o
Apostol... :-), para que possa me esclarecer em qual propriedade do Apostol
se baseou a afirmação citada
vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro..
Abraços,
Nehab
Marcelo Salhab Brogliato escreveu:
Olá Otávio,
vc quer q prove que existe um, e somente um n inteiro, tal que: n = x n+1
este n nós chamamos de piso de x..
primeiro vamos provar que existe:
vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro.. assim:
x = a + w, onde a é inteiro e w é real e pertence ao intervalo [0, 1).
deste modo, temos que a = x
w 1 a+w a+1 ... x a+1...
assim: a = x a+1
suponha que existe um k inteiro, tal que: k = x k+1
multiplicando por -1, temos: -(k+1) -x = -k
somando, temos: n - (k+1) 0 (n+1) - k
isto é:
n - k 1
n - k -1
opa.. -1 n - k 1
como a operacao de subtracao eh fechada nos inteiros, temos que n - k
pertence aos inteiros.. e como o unico inteiro no intervalo (-1, 1) é
0, concluimos que: n - k = 0
logo: n = k
provamos que ele existe e é único...
abraços,
Salhab
On 9/22/07, Otávio Menezes [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
(Página 28, exercício 4) Prove que para todo real x, existe um e apenas um
inteiro n tal que x é maior ou
