Ola Rui e demais
membros desta lista,
Para um N natural maior que 1, a sequencia em foco pode ser definida como
segue :
T(0) = N^(1/N)
T(P+1) = [ N^(1/N) ]^T(P)
O que voce que saber e o LIM T(P), quando P tende ao infinito.
Me parece evidente o seguinte :
T(P) N, Para todo natural P
T(P+1) T(P), Para todo natural P
ABRE PARENTESES :
Para voce se convencer rapidamente das duas relacoes acima basta perceber
que qualquer N pode ser posto sucessivamente como :
N=(N^(1/N))^N=(N^(1/N))^(N^(1/N))^N=(N^(1/N))^(N^(1/N))^(N^(1/N))^N=...
Como N 1 e o expoente topo de T(P) e N^(1/N) e N^(1/N) N segue que
T(P) N e T(P+1) T(P)
FECHA PARENTESES.
Segue que a sequencia e CRESCENTE E LIMITADA SUPERIORMENTE. Logo, por um
conhecido Teorema de Analise, ELA E CONVERGENTE. Mas ... converge pra onde ?
Pra que numero ?
Agora a heresia ... Suponha que T(P) converge para um numero diferente de N.
Seja Q esse numero. Claramente que 1 Q N. Teriamos :
LIM T(P)=Q = Q^N=N^Q
A equacao da direita e mais tratavel e permite raciocinar em cima de
graficos e com raciocinios topologicos. A titulo de exemplificacao :
Para N=3, analisar graficamente x^3=3^x
Para N=4, analisar graficamente x^4=4^x
e assim sucessivamente. Mas, sem duvida, mesmo que pensando assim
conseguimos dar uma nova feicao ao problema e torna-lo talvez mais tratavel,
havemos de admitir que ha um ar de anormalidade na passagem em que tratamos
uma exponenciacao infinita como finita.
T(P) e bem comportada e para um numero finito de radicais-expoente a
passagem anormal funciona bem. Um justificativa por produtos deve ser muito
trabalhosa e seria uma tecnica de justificacao, nao de descoberta : e eu nao
acho que esta questao mereca um tal investimento ...
Com os melhores votos
de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
6,1710,120402
From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] alguém sabe?
Date: Fri, 12 Apr 2002 13:49:26 -0300
Olá a todos da lista,
Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte problema :
Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ?
Bom, a principio x^x^x...=2 = x^2 = 2 = x = 2^(1/2)
Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x = 4^(1/4) = 2^(1/2) ???
Então agente fez um teste e descobriu que (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge
para 2 e não para 4 (não provamos isso)
Daí agente decidiu tentar :
Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n tem solução x=n^(1/n),
faça f(n) = n^(1/n).
Eu queria saber para que valor g(n) = f(n)^f(n)^f(n)... converge ??
Parece que pra 0n1/e g é uma função concava, 1/ene g(n)=n e depois
para
ne g(n) é convexa e converge para algum valor.
Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre g(n) ?
[]'s,
Rui L Viana F
[EMAIL PROTECTED]
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