Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Deixa eu ver se desmistifico um pouco a (belíssima!) distribuição de Benford... Note que há vários tipos de números randômicos. Se um numero eh sorteado aleatoriamente em [10,100) (com distribuição uniforme de probabilidade), então o primeiro digito tem a mesma chance de ser 1, 2 ou 7, com 1/9 para cada. Agora, a distribuição de probabilidade dos números que aparecem em vários eventos não eh aleatória DESTE jeito. Se os números tem uma densidade de probabilidade do tipo C/x (onde x varia continuamente de 1 a 100, digamos), então: a) A Integral de C/x de x=1 a x=100 tem de dar 1; com isto, você descobre que C=1/(ln(100)-ln(1))=1/ln(100) b) A probabilidade do primeiro digito ser 1 eh a integral C/x de 1 a 2, mais a integral de 10 a 20, que dah (ln(20)-ln(10))/ln(100)+(ln(2)-ln(1))/ln(100)=log(2) (log aqui eh base 10); analogamente, a probabilidade do primeiro digito ser 6 sera (ln(7)-ln(6)+ln(70)-ln(60))/ln(100)=log(7)-log(6). E assim por diante, os dígitos menores são menos comuns, e a distribuição tem as diferenças entre logs sucessivos. A mesma distribuição aparece se você supuser que x varia continuamente de 10^m a 10^n com densidade de probabilidade do tipo C/x. Ta, o assunto não eh só isso (por exemplo, minha escolha de intervalo de 10^m a 10^n eh meio especifica; mas, se x variar de a<10^m<10^n > Olá José Airton! > > Vi em, uma de suas mensagens posteriores, que você conseguiu concluir que a > Lei de Benford é válida para a distribuição do 1º dígito de 2^n. Muito bem! > > Posso fazer também um raciocínio lógico para INTUIR a validade desta Lei > para as cotações de uma Bolsa de Valores genérica: a unidade monetária > (real, dólar, euro...) é (geralmente) projetada para que os preços se situem > nas proximidades da própria unidade, ou, então, de seus múltiplos de 10 - > daí a primazia do número "1" - vá lá... > > Mas o que dizer da distribuição do número de habitantes das cidades de um > país? E do número de mangas em cada mangueira de um grande pomar? Etc... > > Podemos INTUIR que a nossa base decimal de numeração está em harmonia com o > Universo (nossa lógica faz parte dele) e, portanto, foi projetada para > privilegiar o número "1" - um argumento meio na linha do Paulo Coelho... (é > dose!). > > Bem, ao que tudo indica, a Lei de Benford se aplica a (todas?) as > distribuições quase-aleatórias. Por que "quase"? Porque essas tais > distribuições devem estar associadas a eventos reais (físicos) - pelo > menos é assim que parece! Uma distribuição de números randômicos, por > exemplo, não obedece à Lei de Benford. > > Em resumo, concordo com o Tarso: é tudo muito estranho... > > Sds., > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] > > -- > *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em > nome de *JOSE AIRTON CARNEIRO > *Enviada em:* domingo, 21 de setembro de 2008 22:14 > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Assunto:* Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias > > Estranha mas verdadeira.Acabei de comprovar com a calculadora do meu > celular: > 2^0 = 1 > 2^4 = 16 > 2^7 = 128 > 2^10 = 1024 > 2^14 = 16384 > 2^17 = 131072 > 2^20 = 1048576 > 2^24 = 16777216 > 2^27 = 134217728 > 2^30 = 1073741824 > 2^34 = 17179869184 > 2^37 = 137438953472 > 2^40 = 1099511627776 > 2^44 = 17592186044416 > 2^47 = 140737488355328 > 2^50 = 1125899906842624 > 2^54 = 18014398509481984 > . > . > . > 2^100 = 1267650600228229401496703205376. > Os expoentes sempre obedecendo a seqüência : 0 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4 > - 3 - 3 - 4... começam com 1. > ou seja ,de [0 , 100] temos 32 potências que começam com o algarismo 1 > Em 21/09/08, Tarso Moura Leitão <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >> >> Uma pequena correção: o logaritmo que mencionei no e-mail anterior está >> errado, o correto é log2, logaritmo decimal de 2. Na questão da Cone Sul >> pedia-se para provar que dentre as potências de 2 com o expoente entre 1 e >> 1000 000 mais de 300 mil começam com o algarismo 1. Eta coisa estranha. >> Um abraço >> Tarso Moura Leitão >> > >
RES: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Olá José Airton! Vi em, uma de suas mensagens posteriores, que você conseguiu concluir que a Lei de Benford é válida para a distribuição do 1º dígito de 2^n. Muito bem! Posso fazer também um raciocínio lógico para INTUIR a validade desta Lei para as cotações de uma Bolsa de Valores genérica: a unidade monetária (real, dólar, euro...) é (geralmente) projetada para que os preços se situem nas proximidades da própria unidade, ou, então, de seus múltiplos de 10 - daí a primazia do número "1" - vá lá... Mas o que dizer da distribuição do número de habitantes das cidades de um país? E do número de mangas em cada mangueira de um grande pomar? Etc... Podemos INTUIR que a nossa base decimal de numeração está em harmonia com o Universo (nossa lógica faz parte dele) e, portanto, foi projetada para privilegiar o número "1" - um argumento meio na linha do Paulo Coelho... (é dose!). Bem, ao que tudo indica, a Lei de Benford se aplica a (todas?) as distribuições quase-aleatórias. Por que "quase"? Porque essas tais distribuições devem estar associadas a eventos reais (físicos) - pelo menos é assim que parece! Uma distribuição de números randômicos, por exemplo, não obedece à Lei de Benford. Em resumo, concordo com o Tarso: é tudo muito estranho... Sds., [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de JOSE AIRTON CARNEIRO Enviada em: domingo, 21 de setembro de 2008 22:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias Estranha mas verdadeira.Acabei de comprovar com a calculadora do meu celular: 2^0 = 1 2^4 = 16 2^7 = 128 2^10 = 1024 2^14 = 16384 2^17 = 131072 2^20 = 1048576 2^24 = 16777216 2^27 = 134217728 2^30 = 1073741824 2^34 = 17179869184 2^37 = 137438953472 2^40 = 1099511627776 2^44 = 17592186044416 2^47 = 140737488355328 2^50 = 1125899906842624 2^54 = 18014398509481984 . . . 2^100 = 1267650600228229401496703205376. Os expoentes sempre obedecendo a seqüência : 0 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4... começam com 1. ou seja ,de [0 , 100] temos 32 potências que começam com o algarismo 1 Em 21/09/08, Tarso Moura Leitão <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Uma pequena correção: o logaritmo que mencionei no e-mail anterior está errado, o correto é log2, logaritmo decimal de 2. Na questão da Cone Sul pedia-se para provar que dentre as potências de 2 com o expoente entre 1 e 1000 000 mais de 300 mil começam com o algarismo 1. Eta coisa estranha. Um abraço Tarso Moura Leitão
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Fiz tanta conta que errei a soma : de [0 , 100] temos 31 potências de 2 que começam com o algarismo 1. Em 21/09/08, JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Estranha mas verdadeira.Acabei de comprovar com a calculadora do meu > celular: > 2^0 = 1 > 2^4 = 16 > 2^7 = 128 > 2^10 = 1024 > 2^14 = 16384 > 2^17 = 131072 > 2^20 = 1048576 > 2^24 = 16777216 > 2^27 = 134217728 > 2^30 = 1073741824 > 2^34 = 17179869184 > 2^37 = 137438953472 > 2^40 = 1099511627776 > 2^44 = 17592186044416 > 2^47 = 140737488355328 > 2^50 = 1125899906842624 > 2^54 = 18014398509481984 > . > . > . > 2^100 = 1267650600228229401496703205376. > Os expoentes sempre obedecendo a seqüência : 0 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4 > - 3 - 3 - 4... começam com 1. > ou seja ,de [0 , 100] temos 32 potências que começam com o algarismo 1 > Em 21/09/08, Tarso Moura Leitão <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >> >> Uma pequena correção: o logaritmo que mencionei no e-mail anterior está >> errado, o correto é log2, logaritmo decimal de 2. Na questão da Cone Sul >> pedia-se para provar que dentre as potências de 2 com o expoente entre 1 e >> 1000 000 mais de 300 mil começam com o algarismo 1. Eta coisa estranha. >> Um abraço >> Tarso Moura Leitão >> > >
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Estranha mas verdadeira.Acabei de comprovar com a calculadora do meu celular: 2^0 = 1 2^4 = 16 2^7 = 128 2^10 = 1024 2^14 = 16384 2^17 = 131072 2^20 = 1048576 2^24 = 16777216 2^27 = 134217728 2^30 = 1073741824 2^34 = 17179869184 2^37 = 137438953472 2^40 = 1099511627776 2^44 = 17592186044416 2^47 = 140737488355328 2^50 = 1125899906842624 2^54 = 18014398509481984 . . . 2^100 = 1267650600228229401496703205376. Os expoentes sempre obedecendo a seqüência : 0 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4... começam com 1. ou seja ,de [0 , 100] temos 32 potências que começam com o algarismo 1 Em 21/09/08, Tarso Moura Leitão <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Uma pequena correção: o logaritmo que mencionei no e-mail anterior está > errado, o correto é log2, logaritmo decimal de 2. Na questão da Cone Sul > pedia-se para provar que dentre as potências de 2 com o expoente entre 1 e > 1000 000 mais de 300 mil começam com o algarismo 1. Eta coisa estranha. > Um abraço > Tarso Moura Leitão >
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Uma pequena correção: o logaritmo que mencionei no e-mail anterior está errado, o correto é log2, logaritmo decimal de 2. Na questão da Cone Sul pedia-se para provar que dentre as potências de 2 com o expoente entre 1 e 1000 000 mais de 300 mil começam com o algarismo 1. Eta coisa estranha. Um abraço Tarso Moura Leitão
RES: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Pois é... Fuçando na Internet, encontrei o seguinte: http://www.estadisticaparatodos.es/taller/benford/ejemplos.html ¿Todo conjunto de datos (naturales, económicos) es un conjunto de Benford? ¿Serán conjuntos de Benford ...:? 10 ¿... la lista de los premios del Sorteo de Navidad del 2005? Solución Lamentablemente, la respuesta es negativa. Ni la Lotería Nacional, ni ningún juego de azar cumple benford. No te podría servir para predecir los números de la Lotería, el resultado de la lotería es totalmente aleatorio, de forma que cada número tiene la misma probabilidad de aparecer. A largo plazo, las frecuencias del primer dígito deberían estar, por tanto, en proporción exacta con respecto a la cantidad de números de la lotería que empezaran por ese dígito En conclusión, la Ley de Benford necesita datos que no sean totalmente aleatorios ni muy condicionados, sino que estén más o menos en medio. Los datos pueden ser de una gran variedad y suelen ser el resultado típico de diversos procesos, con muchas influencias, como ocurre con la mayoría de datos extraidos de fenómenos naturales, sociales y económicos. [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Tarso Moura Leitão Enviada em: domingo, 21 de setembro de 2008 12:37 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias É muito estranha essa tal Lei de Benford. Quanto a potências de 2 já cai até numa das provas da Cone Sul e na resolução há comentários sobre o comportamento geral da ocorrência dos dígitos segundo sua posição na representação decimal. O estranho é que o dígito 1 aparece com probabilidade log2 ( logaritmo natural de 2 ) na primeira posição. Acho que há muita coisa interessante sobre isso na Internet. Um abraço Tarso Moura Leitão.
RES: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Salve, Bernardo! Demonstra-se (eu disse "demonstra-se"!) que TODAS as potenciações de inteiros obedecem à Lei de Benford. I.e., a probabilidade de ocorrência (P) do 1º dígito (n) é a seguinte: P(n) = log10 (1 + 1/n) ; sendo log10 = logaritmo na base 10 . Sds., [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] >-Mensagem original- >De: [EMAIL PROTECTED] >[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bernardo >Freitas Paulo da Costa >Enviada em: domingo, 21 de setembro de 2008 04:36 >Para: obm-l@mat.puc-rio.br >Assunto: Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias > >2008/9/21 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: >> Saudações a todos! >Salve Bouskela ! > >> Algum maluco já estudou a influência (ou a validade) da Lei >de Benford >> (a lei da primazia do 1º dígito) em loterias numéricas? Eu, >> particularmente, não sei de nada a respeito... >Eu nunca ouvi falar disso antes. Mas isso não quer dizer nada. >Mas como você falou de "1° dígito", eu lembrei de um problema >sobre "primeiros dígitos" que eu (re-)encontrei ontem. Fica aí >um exercício diferente : > >Seja a seqüência a_n definida pelo primeiro dígito de 2^n em base 10. >Portanto, ela começa assim : 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, >2, 4, 8, ... O 7 aparece mais vezes do que o 5 ? Porquê ? E do >que o 8 ? E qual é a freqüência do 1 ? > >> Sds., >> AB > >Abraços, >-- >Bernardo Freitas Paulo da Costa > >=== >== >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista >em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >=== >== > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
É muito estranha essa tal Lei de Benford. Quanto a potências de 2 já cai até numa das provas da Cone Sul e na resolução há comentários sobre o comportamento geral da ocorrência dos dígitos segundo sua posição na representação decimal. O estranho é que o dígito 1 aparece com probabilidade log2 ( logaritmo natural de 2 ) na primeira posição. Acho que há muita coisa interessante sobre isso na Internet. Um abraço Tarso Moura Leitão.
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
2008/9/21 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: > Saudações a todos! Salve Bouskela ! > Algum maluco já estudou a influência (ou a validade) da Lei de Benford (a > lei da primazia do 1º dígito) em loterias numéricas? Eu, particularmente, > não sei de nada a respeito... Eu nunca ouvi falar disso antes. Mas isso não quer dizer nada. Mas como você falou de "1° dígito", eu lembrei de um problema sobre "primeiros dígitos" que eu (re-)encontrei ontem. Fica aí um exercício diferente : Seja a seqüência a_n definida pelo primeiro dígito de 2^n em base 10. Portanto, ela começa assim : 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, ... O 7 aparece mais vezes do que o 5 ? Porquê ? E do que o 8 ? E qual é a freqüência do 1 ? > Sds., > AB Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Saudações a todos! Olhando a enxurrada desses problemas chatinhos (perdoem-me a franqueza) sobre Análise Combinatória e Probabilidades que está afogando esta Lista, ocorreu-me a seguinte questão: Algum maluco já estudou a influência (ou a validade) da Lei de Benford (a lei da primazia do 1º dígito) em loterias numéricas? Eu, particularmente, não sei de nada a respeito... Sds., AB
