Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[J. R. Smolka]

Rogério,

Este seu problema literamente me deixou com a "pulga atrás da orelha" :-)

O problema é classico, como você pode ver nesta entrada da Wikipedia 
 sobre a 
série harmônica, que traz exatamente este exemplo e aponta para esta 
outra entrada , que 
descreve várias abordagens para a solução do problema da (no caso) /ant 
on a rubber band/.


A entrada não é clara quanto à origem do problema, mas tem o livro /aha! 
Gotcha: paradoxes to puzzle and delight/ do Martin Gardner como 
referência. Talvez lá explique de onde veio o problema.


[ ]'s

*J. R. Smolka*
/
Em 07/10/2011 12:15, Rogerio Ponce escreveu:/

Ola' Bernardo,
como sabemos, pulgas matematicas sao muito persistentes...

Expandindo a sua (correta) solucao - para ninguem ficar no vacuo - vem:

A pulga avanca 1/100 do elastico no primeiro salto, 1/200 no segundo, 
1/300 no terceiro, e assim por diante.
Depois de N saltos, a pulga avancou 1/100 * ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 
1/N ) do elastico.

Assim, queremos calcular o N para o qual
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N vale aproximadamente 100.

Usando a aproximacao para a soma dos N primeiros termos da serie 
harmonica ( vide 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni ), obtemos 
o resultado do Bernardo.


Bernardo, eu sugeri esse problema a um amigo faz uns 4 anos, e nao me 
lembro qual a origem dele...

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[terence thirteen]

Cara, isto demora uma cota! A série harmônica é parecida com o
logaritmo, logo a pulga levará um tempo bem grande - coisa de dias.

Em 07/10/11, Rogerio Ponce escreveu:
> Ola' Bernardo,
> como sabemos, pulgas matematicas sao muito persistentes...
>
> Expandindo a sua (correta) solucao - para ninguem ficar no vacuo - vem:
>
> A pulga avanca 1/100 do elastico no primeiro salto, 1/200 no segundo, 1/300
> no terceiro, e assim por diante.
> Depois de N saltos, a pulga avancou 1/100 * ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N ) do
> elastico.
> Assim, queremos calcular o N para o qual
> 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N vale aproximadamente 100.
>
> Usando a aproximacao para a soma dos N primeiros termos da serie harmonica (
> vide http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni ), obtemos o
> resultado do Bernardo.
>
> Bernardo, eu sugeri esse problema a um amigo faz uns 4 anos, e nao me lembro
> qual a origem dele...
>
> Abracao,
> Rogerio Ponce
>
>
> Em 7 de outubro de 2011 10:53, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2011/10/7 Rogerio Ponce :
>> > hehehe...acontece que a coitadinha e' esperta, e pega uma carona na
>> esticada
>> > do elastico.
>> É a super-pulga (que se apóia nos vazio do elástico)!
>>
>> > Instante -0,01 s: falta percorrer 1,0 m
>> > Instante  0,99 s: falta percorrer 1,98000 m
>> > Instante  1,99 s: falta percorrer 2,95500 m
>> > Instante  2,99 s: falta percorrer 3,92666... m
>>
>> Eu gosto de pensar que o elástico não muda de tamanho: afinal, se ele
>> dilata uniformemente, a pulga não muda de posição "relativa" sobre o
>> elástico. O que acontece é que a pulga vai ficando cada vez mais
>> cansada... No primeiro pulo, ela avança de 1/100 do elástico. No
>> segundo, 1/200. No terceiro, 1/300. E quando enfim ela chegar no 1.5 *
>> 10^(43) segundo (mais ou menos), ela chegará ao fim.
>>
>> Voltando a situação original: note que se duas "moléculas de elástico"
>> estivessem a 10^(-9) m de distância (o que é perto demais, enfim),
>> agora elas estarão a 1.5 * 10^(34) metros que dá uns 50 * 10^24
>> anos-luz, o que é muito mais do que o diâmetro atual do universo. É
>> claro que 1.5 10^43 segundos é também muito, muito, muito mais do que
>> a idade do universo (~ 4 * 10^17 segundos). Lembrando que 10^-35 é
>> mais ou menos a distância de Planck, isso mostra quão grande ficam as
>> coisa no "fim do caminho da pulga".
>>
>> > []'s
>> > Rogerio Ponce
>> >
>> >
>> >
>> > Em 7 de outubro de 2011 09:06, geonir paulo schnorr <
>> geonirpa...@gmail.com>
>> > escreveu:
>> >>
>> >> Instante 0 s: falta 1 m
>> >> Instante 1 s: falta 0,99 m + 1 m
>> >> Instante 2 s: falta 0,98 m + 2 m
>> >> Instante 3 s: falta 0,97 m + 3 m
>> >> ...   ...   ...
>> >> ou seja, realmente, nunca chegará ao final da viagem, coitadinha..
>>
>> Rogerio: da onde é esse problema ? Eu tenho quase certeza que alguém
>> já tinha falado um dia para mim, mas eu esqueci...
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>


-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[Rogerio Ponce]

Ola' Bernardo,
como sabemos, pulgas matematicas sao muito persistentes...

Expandindo a sua (correta) solucao - para ninguem ficar no vacuo - vem:

A pulga avanca 1/100 do elastico no primeiro salto, 1/200 no segundo, 1/300
no terceiro, e assim por diante.
Depois de N saltos, a pulga avancou 1/100 * ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N ) do
elastico.
Assim, queremos calcular o N para o qual
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N vale aproximadamente 100.

Usando a aproximacao para a soma dos N primeiros termos da serie harmonica (
vide http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni ), obtemos o
resultado do Bernardo.

Bernardo, eu sugeri esse problema a um amigo faz uns 4 anos, e nao me lembro
qual a origem dele...

Abracao,
Rogerio Ponce


Em 7 de outubro de 2011 10:53, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2011/10/7 Rogerio Ponce :
> > hehehe...acontece que a coitadinha e' esperta, e pega uma carona na
> esticada
> > do elastico.
> É a super-pulga (que se apóia nos vazio do elástico)!
>
> > Instante -0,01 s: falta percorrer 1,0 m
> > Instante  0,99 s: falta percorrer 1,98000 m
> > Instante  1,99 s: falta percorrer 2,95500 m
> > Instante  2,99 s: falta percorrer 3,92666... m
>
> Eu gosto de pensar que o elástico não muda de tamanho: afinal, se ele
> dilata uniformemente, a pulga não muda de posição "relativa" sobre o
> elástico. O que acontece é que a pulga vai ficando cada vez mais
> cansada... No primeiro pulo, ela avança de 1/100 do elástico. No
> segundo, 1/200. No terceiro, 1/300. E quando enfim ela chegar no 1.5 *
> 10^(43) segundo (mais ou menos), ela chegará ao fim.
>
> Voltando a situação original: note que se duas "moléculas de elástico"
> estivessem a 10^(-9) m de distância (o que é perto demais, enfim),
> agora elas estarão a 1.5 * 10^(34) metros que dá uns 50 * 10^24
> anos-luz, o que é muito mais do que o diâmetro atual do universo. É
> claro que 1.5 10^43 segundos é também muito, muito, muito mais do que
> a idade do universo (~ 4 * 10^17 segundos). Lembrando que 10^-35 é
> mais ou menos a distância de Planck, isso mostra quão grande ficam as
> coisa no "fim do caminho da pulga".
>
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> >
> > Em 7 de outubro de 2011 09:06, geonir paulo schnorr <
> geonirpa...@gmail.com>
> > escreveu:
> >>
> >> Instante 0 s: falta 1 m
> >> Instante 1 s: falta 0,99 m + 1 m
> >> Instante 2 s: falta 0,98 m + 2 m
> >> Instante 3 s: falta 0,97 m + 3 m
> >> ...   ...   ...
> >> ou seja, realmente, nunca chegará ao final da viagem, coitadinha..
>
> Rogerio: da onde é esse problema ? Eu tenho quase certeza que alguém
> já tinha falado um dia para mim, mas eu esqueci...
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[geonir paulo schnorr]

mas o problema fala q a pulga dá uma salto de 1 cm,
não fala em 1 cm relativo ao comprimento inicial do elástico..
sem falar q a pulga primeiramente pula e depois o elástico é esticado
e que ela tem atravessar todo o elástico e voltar ainda ao ponto inicial..

Em 7 de outubro de 2011 09:45, Rogerio Ponce  escreveu:

> Ola' JR,
> (complementando minha resposta)
> Caso o comprimento do salto aumentasse com a expansao do elastico, a sua
> segunda hipotese seria verdadeira.
> Entretanto, somente o primeiro salto recebe todas as expansoes juntamente
> com o elastico.
> O segundo salto "perdeu" a primeira expansao.
> O terceiro salto "perdeu" as 2 primeiras expansoes, e assim por diante.
> Dessa forma, cada salto da pulga e' relativamente menor que o salto
> anterior, mas eventualmente ela chega ao final da viagem.
> Falta so' equacionar para descobrirmos...
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> Em 7 de outubro de 2011 10:13, Rogerio Ponce escreveu:
>
> Ola' JR,
>> imagine que logo apos cada salto, a pulga pintasse o elastico no ponto em
>> contato com seus pes (sim, esta pulga e' pontual).
>> Me parece razoavel que a expansao do elastico "carregue" a pulga para mais
>> longe da origem juntamente com a marca que ela fez, concorda?
>>
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>>
>> Em 7 de outubro de 2011 09:44, J. R. Smolka escreveu:
>>
>>>  Ok Rogério,
>>>
>>> Então eu consigo imaginar dois cenários para o problema: [a] existe um
>>> referencial galileano absoluto para o elástico e para a pulga - neste caso
>>> provavelmente a resposta já apresentada por outros colegas da lista (a pulga
>>> não chega nunca ao final do elástico) está correta; ou [b] considerar o
>>> elástico como o espaço-tempo da pulga, onde o processo de expansão afeta não
>>> só o elástico, mas também a própria pulga e seu referencial de medida de
>>> distância - neste caso me parece que o tempo seria idêntico ao caso trivial
>>> da não expansão do elástico.
>>>
>>> O que você acha disso?
>>>
>>> [ ]'s
>>>
>>> *J. R. Smolka*
>>>
>>> *Em 07/10/2011 08:29, Rogerio Ponce escreveu:*
>>>
>>> como todo elastico bem comportado, ele estica uniformemente entre as 2
>>> extremidades.
>>>
>>> *Em 6 de outubro de 2011 21:28, J. R. Smolka escreveu:
>>> *
>>>
  Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no
 sentido contrário ao deslocamento da pulga?

 *Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:*

 Ola' pessoal,
 no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de
 1metro, indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de
 comprimento a cada segundo.
 Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a
 sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a
 cada puxada.
 Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
 - Quanto tempo levara' a viagem?


>>
>

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/10/7 Rogerio Ponce :
> hehehe...acontece que a coitadinha e' esperta, e pega uma carona na esticada
> do elastico.
É a super-pulga (que se apóia nos vazio do elástico)!

> Instante -0,01 s: falta percorrer 1,0 m
> Instante  0,99 s: falta percorrer 1,98000 m
> Instante  1,99 s: falta percorrer 2,95500 m
> Instante  2,99 s: falta percorrer 3,92666... m

Eu gosto de pensar que o elástico não muda de tamanho: afinal, se ele
dilata uniformemente, a pulga não muda de posição "relativa" sobre o
elástico. O que acontece é que a pulga vai ficando cada vez mais
cansada... No primeiro pulo, ela avança de 1/100 do elástico. No
segundo, 1/200. No terceiro, 1/300. E quando enfim ela chegar no 1.5 *
10^(43) segundo (mais ou menos), ela chegará ao fim.

Voltando a situação original: note que se duas "moléculas de elástico"
estivessem a 10^(-9) m de distância (o que é perto demais, enfim),
agora elas estarão a 1.5 * 10^(34) metros que dá uns 50 * 10^24
anos-luz, o que é muito mais do que o diâmetro atual do universo. É
claro que 1.5 10^43 segundos é também muito, muito, muito mais do que
a idade do universo (~ 4 * 10^17 segundos). Lembrando que 10^-35 é
mais ou menos a distância de Planck, isso mostra quão grande ficam as
coisa no "fim do caminho da pulga".

> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
> Em 7 de outubro de 2011 09:06, geonir paulo schnorr 
> escreveu:
>>
>> Instante 0 s: falta 1 m
>> Instante 1 s: falta 0,99 m + 1 m
>> Instante 2 s: falta 0,98 m + 2 m
>> Instante 3 s: falta 0,97 m + 3 m
>> ...                       ...           ...
>> ou seja, realmente, nunca chegará ao final da viagem, coitadinha..

Rogerio: da onde é esse problema ? Eu tenho quase certeza que alguém
já tinha falado um dia para mim, mas eu esqueci...
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[Rogerio Ponce]

Ola' JR,
(complementando minha resposta)
Caso o comprimento do salto aumentasse com a expansao do elastico, a sua
segunda hipotese seria verdadeira.
Entretanto, somente o primeiro salto recebe todas as expansoes juntamente
com o elastico.
O segundo salto "perdeu" a primeira expansao.
O terceiro salto "perdeu" as 2 primeiras expansoes, e assim por diante.
Dessa forma, cada salto da pulga e' relativamente menor que o salto
anterior, mas eventualmente ela chega ao final da viagem.
Falta so' equacionar para descobrirmos...

[]'s
Rogerio Ponce


Em 7 de outubro de 2011 10:13, Rogerio Ponce  escreveu:

> Ola' JR,
> imagine que logo apos cada salto, a pulga pintasse o elastico no ponto em
> contato com seus pes (sim, esta pulga e' pontual).
> Me parece razoavel que a expansao do elastico "carregue" a pulga para mais
> longe da origem juntamente com a marca que ela fez, concorda?
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> Em 7 de outubro de 2011 09:44, J. R. Smolka escreveu:
>
>>  Ok Rogério,
>>
>> Então eu consigo imaginar dois cenários para o problema: [a] existe um
>> referencial galileano absoluto para o elástico e para a pulga - neste caso
>> provavelmente a resposta já apresentada por outros colegas da lista (a pulga
>> não chega nunca ao final do elástico) está correta; ou [b] considerar o
>> elástico como o espaço-tempo da pulga, onde o processo de expansão afeta não
>> só o elástico, mas também a própria pulga e seu referencial de medida de
>> distância - neste caso me parece que o tempo seria idêntico ao caso trivial
>> da não expansão do elástico.
>>
>> O que você acha disso?
>>
>> [ ]'s
>>
>> *J. R. Smolka*
>>
>> *Em 07/10/2011 08:29, Rogerio Ponce escreveu:*
>>
>> como todo elastico bem comportado, ele estica uniformemente entre as 2
>> extremidades.
>>
>> *Em 6 de outubro de 2011 21:28, J. R. Smolka escreveu:
>> *
>>
>>>  Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no
>>> sentido contrário ao deslocamento da pulga?
>>>
>>> *Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:*
>>>
>>> Ola' pessoal,
>>> no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de
>>> 1metro, indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de
>>> comprimento a cada segundo.
>>> Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a
>>> sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a
>>> cada puxada.
>>> Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
>>> - Quanto tempo levara' a viagem?
>>>
>>>
>

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[Rogerio Ponce]

Ola' JR,
imagine que logo apos cada salto, a pulga pintasse o elastico no ponto em
contato com seus pes (sim, esta pulga e' pontual).
Me parece razoavel que a expansao do elastico "carregue" a pulga para mais
longe da origem juntamente com a marca que ela fez, concorda?

[]'s
Rogerio Ponce


Em 7 de outubro de 2011 09:44, J. R. Smolka  escreveu:

>  Ok Rogério,
>
> Então eu consigo imaginar dois cenários para o problema: [a] existe um
> referencial galileano absoluto para o elástico e para a pulga - neste caso
> provavelmente a resposta já apresentada por outros colegas da lista (a pulga
> não chega nunca ao final do elástico) está correta; ou [b] considerar o
> elástico como o espaço-tempo da pulga, onde o processo de expansão afeta não
> só o elástico, mas também a própria pulga e seu referencial de medida de
> distância - neste caso me parece que o tempo seria idêntico ao caso trivial
> da não expansão do elástico.
>
> O que você acha disso?
>
> [ ]'s
>
> *J. R. Smolka*
>
> *Em 07/10/2011 08:29, Rogerio Ponce escreveu:*
>
> como todo elastico bem comportado, ele estica uniformemente entre as 2
> extremidades.
>
> *Em 6 de outubro de 2011 21:28, J. R. Smolka escreveu:
> *
>
>>  Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no
>> sentido contrário ao deslocamento da pulga?
>>
>> *Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:*
>>
>> Ola' pessoal,
>> no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de 1metro,
>> indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de comprimento a
>> cada segundo.
>> Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a
>> sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a
>> cada puxada.
>> Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
>> - Quanto tempo levara' a viagem?
>>
>>

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[Rogerio Ponce]

hehehe...acontece que a coitadinha e' esperta, e pega uma carona na esticada
do elastico.

Instante -0,01 s: falta percorrer 1,0 m
Instante  0,99 s: falta percorrer 1,98000 m
Instante  1,99 s: falta percorrer 2,95500 m
Instante  2,99 s: falta percorrer 3,92666... m

[]'s
Rogerio Ponce



Em 7 de outubro de 2011 09:06, geonir paulo schnorr
escreveu:

> Instante 0 s: falta 1 m
> Instante 1 s: falta 0,99 m + 1 m
> Instante 2 s: falta 0,98 m + 2 m
> Instante 3 s: falta 0,97 m + 3 m
> ...   ...   ...
> ou seja, realmente, nunca chegará ao final da viagem, coitadinha..
>
> Em 7 de outubro de 2011 07:29, Rogerio Ponce escreveu:
>
>> Ola' JR e colegas da lista,
>> como todo elastico bem comportado, ele estica uniformemente entre as 2
>> extremidades.
>>
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>> Em 6 de outubro de 2011 21:28, J. R. Smolka escreveu:
>>
>>  Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no
>>> sentido contrário ao deslocamento da pulga?
>>>
>>>  [ ]'s
>>>
>>> *J. R. Smolka*
>>>
>>> *Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:*
>>>
>>> Ola' pessoal,
>>> no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de
>>> 1metro, indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de
>>> comprimento a cada segundo.
>>> Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a
>>> sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a
>>> cada puxada.
>>> Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
>>> - Quanto tempo levara' a viagem?
>>>
>>>
>>
>

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[J. R. Smolka]

Ok Rogério,

Então eu consigo imaginar dois cenários para o problema: [a] existe um 
referencial galileano absoluto para o elástico e para a pulga - neste 
caso provavelmente a resposta já apresentada por outros colegas da lista 
(a pulga não chega nunca ao final do elástico) está correta; ou [b] 
considerar o elástico como o espaço-tempo da pulga, onde o processo de 
expansão afeta não só o elástico, mas também a própria pulga e seu 
referencial de medida de distância - neste caso me parece que o tempo 
seria idêntico ao caso trivial da não expansão do elástico.


O que você acha disso?

[ ]'s

*J. R. Smolka*

/Em 07/10/2011 08:29, Rogerio Ponce escreveu:/
como todo elastico bem comportado, ele estica uniformemente entre as 2 
extremidades.


/Em 6 de outubro de 2011 21:28, J. R. Smolka > escreveu:/


Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou
no sentido contrário ao deslocamento da pulga?

/Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:/

Ola' pessoal,
no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico
de 1metro, indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de
1cm de comprimento a cada segundo.
Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico
comeca a sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele
estica mais 1 metro a cada puxada.
Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
- Quanto tempo levara' a viagem?

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[geonir paulo schnorr]

Instante 0 s: falta 1 m
Instante 1 s: falta 0,99 m + 1 m
Instante 2 s: falta 0,98 m + 2 m
Instante 3 s: falta 0,97 m + 3 m
...   ...   ...
ou seja, realmente, nunca chegará ao final da viagem, coitadinha..

Em 7 de outubro de 2011 07:29, Rogerio Ponce  escreveu:

> Ola' JR e colegas da lista,
> como todo elastico bem comportado, ele estica uniformemente entre as 2
> extremidades.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
> Em 6 de outubro de 2011 21:28, J. R. Smolka escreveu:
>
>  Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no
>> sentido contrário ao deslocamento da pulga?
>>
>>  [ ]'s
>>
>> *J. R. Smolka*
>>
>> *Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:*
>>
>> Ola' pessoal,
>> no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de 1metro,
>> indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de comprimento a
>> cada segundo.
>> Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a
>> sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a
>> cada puxada.
>> Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
>> - Quanto tempo levara' a viagem?
>>
>>
>

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[Rogerio Ponce]

Ola' JR e colegas da lista,
como todo elastico bem comportado, ele estica uniformemente entre as 2
extremidades.

[]'s
Rogerio Ponce

Em 6 de outubro de 2011 21:28, J. R. Smolka  escreveu:

>  Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no
> sentido contrário ao deslocamento da pulga?
>
>  [ ]'s
>
> *J. R. Smolka*
>
> *Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:*
>
> Ola' pessoal,
> no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de 1metro,
> indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de comprimento a
> cada segundo.
> Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a
> sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a
> cada puxada.
> Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
> - Quanto tempo levara' a viagem?
>
>

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[Rogerio Ponce]

Ola' Eduardo,
repare que, com a primeira esticada do elastico, a pulga que estava a
somente 1cm do inicio foi levada para 2cm do inicio...

[]'s
Rogerio Ponce


Em 7 de outubro de 2011 00:30, Eduardo Wilner
escreveu:

> Se realmente os saltos são de 1 cm e a esticadas de 1 metro, nunca...
>
> --- Em *qui, 6/10/11, J. R. Smolka * escreveu:
>
>
> De: J. R. Smolka 
> Assunto: Re: [obm-l] A pulga e o elastico
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Quinta-feira, 6 de Outubro de 2011, 21:28
>
>  Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no
> sentido contrário ao deslocamento da pulga?
>
>  [ ]'s
>
> *J. R. Smolka*
>
> *Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:*
>
> Ola' pessoal,
> no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de 1metro,
> indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de comprimento a
> cada segundo.
> Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a
> sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a
> cada puxada.
> Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
> - Quanto tempo levara' a viagem?
>
>

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[Eduardo Wilner]

Se realmente os saltos são de 1 cm e a esticadas de 1 metro, nunca...

--- Em qui, 6/10/11, J. R. Smolka  escreveu:

De: J. R. Smolka 
Assunto: Re: [obm-l] A pulga e o elastico
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 6 de Outubro de 2011, 21:28


  


  
  
Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no
sentido contrário ao deslocamento da pulga?



 [ ]'s



J. R. Smolka



Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:
Ola' pessoal,

no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico
de 1metro, indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de
1cm de comprimento a cada segundo.

Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico
comeca a sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele
estica mais 1 metro a cada puxada.

Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:

- Quanto tempo levara' a viagem?


  

Re: [obm-l] A pulga e o elastico

[J. R. Smolka]

Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no 
sentido contrário ao deslocamento da pulga?


 [ ]'s

*J. R. Smolka*

/Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:/

Ola' pessoal,
no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de 
1metro, indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de 
comprimento a cada segundo.
Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a 
sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 
metro a cada puxada.

Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
- Quanto tempo levara' a viagem?

[obm-l] A pulga e o elastico

[Rogerio Ponce]

Ola' pessoal,
no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de 1metro,
indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de comprimento a
cada segundo.
Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a sofrer
um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a cada
puxada.
Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se:
- Quanto tempo levara' a viagem?


[]'s
Rogerio Ponce