Re: [obm-l] Baricentros e arestas de poliedros
Caro Alexandre Daibert Determinar todos os n que podem ser o numero de arestas de algum poliedro convexo. Poliedros com 0, 1, 2 e 3 arestas sao degenerados (n>3). Como ha poligonos convexos com cada n>2, prismas e piramides fornecem poliedros com 3n e 2n arestas. Uma face quadrilatera ja exige pelo menos 8 arestas. Se todas as k faces forem triangulares, o numero de arestas sera 3k/2 (k e par). Se um poliedro convexo tiver n arestas e um vertice de valencia 3, ha um plano que deixa este vertice em um semiespaco e os demais vertices no oposto. A seccao por este plano fornece um tetraedro e um novo poliedro com n+3 arestas e vertice de valencia 3. Assim n=6 ou n>7. Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Baricentros e arestas de poliedros
Este problema do IME eu ateh fiz, mas não sei se está certo. Ninguém respondeu ainda naum... Um abraço, Alexandre Daibert Claudio Buffara escreveu: Oi, pessoal: Alguem chegou a fazer um problema que o Daibert propos?: Determinar todos os inteiros positivos n que podem ser iguais ao numero de arestas de algum poliedro convexo. E aqui vai um outro: Caracterizar todos os poliedros de arestas A1, A2, ..., An tais que o baricentro eh dado por: (A1 + A2 + ... + An)/n. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Baricentros e arestas de poliedros
Oi, pessoal: Alguem chegou a fazer um problema que o Daibert propos?: Determinar todos os inteiros positivos n que podem ser iguais ao numero de arestas de algum poliedro convexo. E aqui vai um outro: Caracterizar todos os poliedros de arestas A1, A2, ..., An tais que o baricentro eh dado por: (A1 + A2 + ... + An)/n. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Baricentros
Só pra complementar: Você pode ver que o baricentro de uma pirâmide qualquer está a 1/4 da altura simplesmente decompondo a base em triângulos. Isso induz uma decomposição da pirâmide em várias pirâmides de base triangular, todas da mesma altura. Como o baricentro de cada uma dessas pirâmides (tetraedros, de fato) está a 1/4 da altura, você pode concluir que o baricentro da pirâmide original também estará, pois a sua coordenada z é uma média ponderada das coordenadas z de cada um dos baricentros das pirâmides triangulares e estas coordenadas são todas iguais. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 03, 2003 2:50 PM Subject: [obm-l] Baricentros Oi, Alexandre: Tentei responder às suas indagações, que aliás são bem interessantes e pertinentes. Em analítica a média aritmética entre a e b = [a+b]/2 *** Sim, é o ponto médio do segmento ab. O baricentro do triangulo ABC = [a+b+c]/3o baricentro do tetraedro ABCD=[a+b+c+d]/4 (no r3) *** Sim e sim.O baricentro de um tetraedro não regular seria [a+b+c+d]/4 também? *** Sim. Tome um dos vértices de um tetraedro regular ABCD (digamos A) como sendo a origem do seu sistema de coordenadas. Um tetraedro qualquer pode ser obtido de ABCD por meio de uma transformação linear T, que leva os pontos A, B, C e D em T(A) (= A => lembre-se de que A é a origem), T(B), T(C) e T(D), respectivamente. Seja M o baricentro do tetraedro regular inicial. Então, T(M) será o baricentro do tetraedro resultante. Mas M = (A+B+C+D)/4 e T é linear ==> T(M) = T((A+B+C+D)/4) = (T(A)+T(B)+T(C)+T(D))/4. e o baricentro de uma pirâmide de base quadrada seria [a+b+c+d+e]/5 ? *** Não. O baricentro de qualquer pirâmide fica a uma distância da base igual a 1/4 da altura da pirâmide. A melhor forma de ver isso é considerar uma pirâmide cuja base é um n-gono regular pertencente ao plano xy. Prosseguindo na sua analogia, o baricentro seria o ponto: (a_1+a_2+...+a_n+v)/(n+1) (v = vértice da pirâmide) Mas os vértices a_1, ..., a_n têm todos coordenada z = 0. Assim, a coordenada z do baricentro seria igual a v/(n+1), que tende a zero quando n tende a infinito (caso em que teríamos um cone circular). Mas o baricentro de um cone circular fica a uma distância da base igual a 1/4 da altura desse cone (e não no plano da base, como indica a sua analogia). e o baricentro de um cubo seria [a+b+c+d+e+f+g+h]/8? *** Sim. É o centro geométrico do cubo. e o baricentro de um paralelepípedo seria [a+b+c+d+e+f+g+h]/8 também? *** Sim. Um paralelepípedo é imagem de um cubo por alguma transformação linear. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Baricentros
Oi, Alexandre: Tentei responder às suas indagações, que aliás são bem interessantes e pertinentes. Em analítica a média aritmética entre a e b = [a+b]/2 *** Sim, é o ponto médio do segmento ab. O baricentro do triangulo ABC = [a+b+c]/3o baricentro do tetraedro ABCD=[a+b+c+d]/4 (no r3) *** Sim e sim.O baricentro de um tetraedro não regular seria [a+b+c+d]/4 também? *** Sim. Tome um dos vértices de um tetraedro regular ABCD (digamos A) como sendo a origem do seu sistema de coordenadas. Um tetraedro qualquer pode ser obtido de ABCD por meio de uma transformação linear T, que leva os pontos A, B, C e D em T(A) (= A => lembre-se de que A é a origem), T(B), T(C) e T(D), respectivamente. Seja M o baricentro do tetraedro regular inicial. Então, T(M) será o baricentro do tetraedro resultante. Mas M = (A+B+C+D)/4 e T é linear ==> T(M) = T((A+B+C+D)/4) = (T(A)+T(B)+T(C)+T(D))/4. e o baricentro de uma pirâmide de base quadrada seria [a+b+c+d+e]/5 ? *** Não. O baricentro de qualquer pirâmide fica a uma distância da base igual a 1/4 da altura da pirâmide. A melhor forma de ver isso é considerar uma pirâmide cuja base é um n-gono regular pertencente ao plano xy. Prosseguindo na sua analogia, o baricentro seria o ponto: (a_1+a_2+...+a_n+v)/(n+1) (v = vértice da pirâmide) Mas os vértices a_1, ..., a_n têm todos coordenada z = 0. Assim, a coordenada z do baricentro seria igual a v/(n+1), que tende a zero quando n tende a infinito (caso em que teríamos um cone circular). Mas o baricentro de um cone circular fica a uma distância da base igual a 1/4 da altura desse cone (e não no plano da base, como indica a sua analogia). e o baricentro de um cubo seria [a+b+c+d+e+f+g+h]/8? *** Sim. É o centro geométrico do cubo. e o baricentro de um paralelepípedo seria [a+b+c+d+e+f+g+h]/8 também? *** Sim. Um paralelepípedo é imagem de um cubo por alguma transformação linear. Um abraço, Claudio.
