[obm-l] RES: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...Boas no tícias !!!!
O livro Foundations of Geometry, de Hilbert (inglês, é claro) está disponível digitalmente no Projeto Gutemberg ( http://www.gutenberg.org/wiki/Main_Page http://www.gutenberg.org/wiki/Main_Page) ! Divirtam-se. --- Paulo C. Santos (PC) UNICARIOCA/RJ - Curso de Tecnologia de Redes e-mail: [EMAIL PROTECTED] homepage: http://uniredes.org http://uniredes.org/ Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729 MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED] _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fernando A Candeias Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2008 18:43 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta... Caros colegas de lista Uma outra maneira de responder ao questionamento do Paulo, mais trabalhosa porém mais intuitiva, está descrita em Foundations of Geometry, de Hilbert. Ele desenvolve a geometria de maneira puramente axiomática, e no # 8 trata dos axiomas de continuiidade, que são o de Arquimedes V.1 e o da Completude da Reta, V.2. A partir do que, juntamente com os axiomas que dizem respeito à ordem, é possível demonstrar a equivalência entre os pontos da reta e do conjunto dos reais.
[obm-l] RES: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...
Parece que essa questão não tem correlação com a matemática olímpica. Mas imaginem uma banca que lembre de números diferentes e consiga fazer questões abordando o assunto. Isso pegaria nossos atletas desprevenidos... []s --- Paulo C. Santos (PC) e-mail: [EMAIL PROTECTED] Homepage: http://uniredes.org http://uniredes.org/ Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729 MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED] _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fernando A Candeias Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2008 18:43 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta... Caros colegas de lista Uma outra maneira de responder ao questionamento do Paulo, mais trabalhosa porém mais intuitiva, está descrita em Foundations of Geometry, de Hilbert. Ele desenvolve a geometria de maneira puramente axiomática, e no # 8 trata dos axiomas de continuiidade, que são o de Arquimedes V.1 e o da Completude da Reta, V.2. A partir do que, juntamente com os axiomas que dizem respeito à ordem, é possível demonstrar a equivalência entre os pontos da reta e do conjunto dos reais. Em outro livro que tenho, de G. Verrier, uma introdução às geometrias não euclidianas por métodos elementares, o autor substitui os dois postulados citados pelo axioma de Dedekind, o que imediatamente identifica a reta geométrica com os reais, como dito pelo Ralph. O livro baseia-se na obra de Hilbert. Trata de todos axiomas comuns às três geomertrias, e posteriormente introduz novos postulados e/ou suprime alguns, a partir do que desenvolve o assunto. Tudo por métodos elementares. É muito interessante. Está escrito em francês, adquiri em 1951, creio que esta esgotado. Mas se alguém tiver interesse, posso doá-lo juntamente com o de Hilbert. Sobre os surreais conheço pouco, mas parece muito interessante a idéia de que os numeros infinitesimais passem a ter existência efetiva, o que dispensaria em parte os complicados épsilons e deltas da definição usual de continuidade de uma função em um ponto. (Weierstrasse). Vou ver se encontro o livro mencionado pelo Nehab. Gostaria de saber como os problemas geoméricos são abordados, se fazendo corresponder a cada segmento de reta a parte Re do surreal, ou o número completo, incluindo um infinitesimal. Nessa hipótese lembraria Leibntz com suas mônadas, ou o sonho pitagórico do tudo é número. Fernando A Candeias
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Como é que sabemos que os conjuntos já conhecidos são suficientes para representar números da Reta Real ? Existe alguma prova de que eles são necessários e sufucientes ? Explico: Temos os naturais Depois estendemos o conceito para os inteiros... Depois os racionais... Depois os irracionais... Bom, que me garante que não há número, na reta, que não se enquadre em qualquer desses conjuntos ? Há algum teorema mágico que diga isso, como existe o maravilhoso Teorema de Gödel sobre a inconsistência da lógica ? []s --- Paulo C. Santos (PC) e-mail: [EMAIL PROTECTED] Homepage: http://uniredes.org Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729 MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...
Bom, a resposta à sua pergunta depende do que se entende por números na reta. Se não há definição precisa de reta numérica, não dá para discutir se todos os números dela (ela? que ela?) estão nos reais ou não. Uma solução rápida, limpa, simples e sem graça é **DEFINIR** a reta numérica como o conjunto dos números reais. Rápido, limpo e simples (mas sem graça). :) :) A boa notícia é que deste jeito a reta numérica herda todas as propriedades dos números reais, inclusive aquela de que todo conjunto numérico limitado tem um supremo. Assim, a resposta usual é garantimos que não há número, na reta, que não se enquadre no conjunto dos reais pois definimos a reta numérica como o conjunto dos reais. :P Abraço, Ralph P.S.: Por outro lado, dá para definir números surreais (veja http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com eles, algumas propriedades antigas têm de ser descartadas (por exemplo, neles a=b e b=a não implica a=b), mas eles são bem bacanas, são uma extensão dos reais que não tem nada a ver com os complexos e o pessoal tenta pensar neles ainda numa espécie de reta, usando nuvens ao invés de pontos, incluindo uns pontos no infinito e fazendo várias outras barbáries. Por incrível que pareça, no final, tudo funciona, as construções são justificadas formalmente e estes objetos têm aplicações. 2008/3/27 Paulo - Uniredes [EMAIL PROTECTED]: Como é que sabemos que os conjuntos já conhecidos são suficientes para representar números da Reta Real ? Existe alguma prova de que eles são necessários e sufucientes ? Explico: Temos os naturais Depois estendemos o conceito para os inteiros... Depois os racionais... Depois os irracionais... Bom, que me garante que não há número, na reta, que não se enquadre em qualquer desses conjuntos ? Há algum teorema mágico que diga isso, como existe o maravilhoso Teorema de Gödel sobre a inconsistência da lógica ? []s --- Paulo C. Santos (PC) e-mail: [EMAIL PROTECTED] Homepage: http://uniredes.org Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729 MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta.. .
Oi, Ralph (e Paulo), Apenas matando as suadades...um rpido comentrio: Para os aficcionados, o livro "Surreal Numbers" "quase" novelesco (com fundo matemtico, claro) do Knuth (um verdadeiro mago) e j foi traduzido para o portugus (a edio original tem mais de 30 anos - eu era quase um "pirralho" na poca :-) e ainda dava aula no IME...- ah... que saudades Ralph me lembrou...). um belo, pequeno e imperdvel livro para a maioria dos participantes desta lista. Quem ainda no leu em ingls, aproveite: eu comprei no comeo do ano uma cpia em portugus na livraria da Travessa (acho que foi uns 40 reais - mas pela Amazon em ingls naturalmente mais barato). E aproveitando a deixa do Ralph, quem for curioso tambm pode e deve dar estudar Fuzzy Sets, Fuzzy Numbers (Numeros Nebulosos, etc). Os de Engenharia Eltrica ou Computao, certamente tero contato com isto, bem como com Algoritmos Genticos... Ou seja, h muito mais coisa para se aprender do que supe a v flosofia, ou mesmo a reta (sur)real... Abraos, Nehab Ralph Teixeira escreveu: ... P.S.: Por outro lado, d para definir nmeros "surreais" (veja http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com eles, algumas propriedades antigas tm de ser descartadas (por exemplo, neles a=b e b=a no implica a=b), mas eles so bem bacanas, so uma extenso dos reais que no tem nada a ver com os complexos e o pessoal tenta pensar neles ainda numa espcie de "reta", usando "nuvens" ao invs de "pontos", incluindo uns "pontos no infinito" e fazendo vrias outras barbries. Por incrvel que parea, no final, tudo funciona, as construes so justificadas formalmente e estes objetos tm aplicaes. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
