Re: Re: [obm-l] Convergencia de uma sequencia real
Muito obrigado. Eu tinha errado nas contas e concluí coisas falsas. Felipe Pina Mensagem Original ==> De: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> ==> Data: Wed, 24 Sep 2003 06:58:49 -0300 on 23.09.03 23:55, Felipe Pina at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui > > > resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. > > Seja (a[n]) a seqüência real > > definida por : > a[0] = 1 > a[1] = 1 > n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1] > > sqrt(2*a[n-2]) ) > Oi, Felipe: Vou provar por inducao que a sequencia eh limitada superiormente por 2 e monotona crescente a partir de a(2). 1) (a(n)) eh limitada superiormente por 2: a(1) = a(2) = 1 < 2 Se a(k) < 2 para 1 <= k <= n, entao: a(n 1) = sqrt(a(n) sqrt(2*a(n-1)) < sqrt(2 sqrt(2*2)) = sqrt(4) = 2 Logo a(n) < 2, para todo n. * 2) (a(n)) eh monotona crescente a partir de a(2): a(3) = sqrt(a(2) sqrt(2*a(1))) = sqrt(1 sqrt(2)) > 1 = a(2) Se a(k 1) > a(k) para 2 <= k <= n, entao: [a(n 1)/a(n)]^2 = 1/a(n) sqrt(2*a(n-1))/a(n)^2 Mas, por (1) e pela hipotese de inducao, a(n-1) < a(n) < 2. Logo: 1/a(n) sqrt(2*a(n-1))/a(n) > 1/2 sqrt(2*a(n-1))/a(n-1) = 1/2 sqrt(2)/a(n-1)^(3/2) > 1/2 sqrt(2)/2^(3/2) 1/2 1/2 = 1. Ou seja, a(n 1)^2 > a(n)^2 e, como ambos sao positivos, a(n 1) > a(n). Logo, a(n 1) > a(n) para n >= 2. * 3) (a(n)) eh monotona e limitada ==> (a(n)) converge para um limite L, tal que L = sqrt(L sqrt(2*L)) ==> L^2 = L sqrt(2*L) ==> (L^2 - L)^2 = 2*L ==> L^4 - 2*L^3 L^2 - 2*L = 0 ==> L*(L^2 1)*(L - 2) = 0 ==> L = 2 (as outras raizes: 0, i e -i sao obviamente descartaveis). Assim, lim a(n) = 2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergencia de uma sequencia real
on 23.09.03 23:55, Felipe Pina at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui > resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. > > Seja (a[n]) a seqüência real definida por : > a[0] = 1 > a[1] = 1 > n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) ) > Oi, Felipe: Vou provar por inducao que a sequencia eh limitada superiormente por 2 e monotona crescente a partir de a(2). 1) (a(n)) eh limitada superiormente por 2: a(1) = a(2) = 1 < 2 Se a(k) < 2 para 1 <= k <= n, entao: a(n+1) = sqrt(a(n) + sqrt(2*a(n-1)) < sqrt(2 + sqrt(2*2)) = sqrt(4) = 2 Logo a(n) < 2, para todo n. * 2) (a(n)) eh monotona crescente a partir de a(2): a(3) = sqrt(a(2) + sqrt(2*a(1))) = sqrt(1 + sqrt(2)) > 1 = a(2) Se a(k+1) > a(k) para 2 <= k <= n, entao: [a(n+1)/a(n)]^2 = 1/a(n) + sqrt(2*a(n-1))/a(n)^2 Mas, por (1) e pela hipotese de inducao, a(n-1) < a(n) < 2. Logo: 1/a(n) + sqrt(2*a(n-1))/a(n) > 1/2 + sqrt(2*a(n-1))/a(n-1) = 1/2 + sqrt(2)/a(n-1)^(3/2) > 1/2 + sqrt(2)/2^(3/2) + 1/2 + 1/2 = 1. Ou seja, a(n+1)^2 > a(n)^2 e, como ambos sao positivos, a(n+1) > a(n). Logo, a(n+1) > a(n) para n >= 2. * 3) (a(n)) eh monotona e limitada ==> (a(n)) converge para um limite L, tal que L = sqrt(L + sqrt(2*L)) ==> L^2 = L + sqrt(2*L) ==> (L^2 - L)^2 = 2*L ==> L^4 - 2*L^3 + L^2 - 2*L = 0 ==> L*(L^2 + 1)*(L - 2) = 0 ==> L = 2 (as outras raizes: 0, +i e -i sao obviamente descartaveis). Assim, lim a(n) = 2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergencia de uma sequencia real
Oi Felipe Pina! From: "Felipe Pina" <[EMAIL PROTECTED]> > >Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui > resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. > >Seja (a[n]) a seqüência real definida por : >a[0] = 1 >a[1] = 1 >n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) ) > >Suspeito fortemente que esta seqüência é convergente. É facil ver que, > para todo n, 1 <= a[n] <= 2. Pode-se mostrar por indução. Suponhamos que n >=2 e 1 <= a_(n-2), a_(n-1) <= 2 então a_n >= sqrt( a_n ) >= 1 e a_n <= sqrt( 2 + sqrt(2*2) ) = sqrt( 4 ) = 2. Como vale 1 <= a_n <= 2 para n=0 e n=1, vale para todo n natural. >Também é claro que se (a[n]) converge, então seu limite é 2. O que > conseguimos mostrar foi que : > >(1) a[k+1] >= a[k] >= a[k-1] -> 1 <= a[k] <= r >(2) a[k+1] <= a[k] <= a[k-1] -> r <= a[k] <= 2 >(3) a[k] = a[k-1] = 2 -> a[k+1] = 2 (Durh!) Eu não sei como vocês conseguiram demostrar isto. Mas a conclusão de vocês abaixo não está certa, o que me sugere que a demonstração de vocês não está boa. >Onde r = (1/2) * (1 + sqrt( 1 + 4*sqrt(2) )) ~ > 1.7900440156727579846758505438531824526068425193036 [ Maple ;) ] >Obs : r é a única raíz real de p(x) = x^4 - 2*x^3 + x^2 - 2 que pertence > ao intervalo [1,2] >Tomando as contra-positivas das implicações (2) e (3) aprendemos que : > >(N1) r < a[k] <= 2 -> (a[k+1] < a[k]) ou (a[k] < a[k-1]) >(N2) 1 <= a[k] < r-> (a[k+1] > a[k]) ou (a[k] > a[k-1]) > >Ou seja, se estamos em (r,2] no tempo k, acabamos de descer ou vamos > descer agora! :) >Logo, não podemos subir 2 vezes seguidas. >E, se estamos em [1,r], acabamos de subir ou vamos subir agora. >Isto mostra que, se a seqüência converge (para 2), ela não é monónota ( > por (N1) ), e, portanto, deve convergir dando umasosciladas espertas.. > sobe, desce, sobe, desce... esse tipo de coisa De fato, não é isto que acontece. Você pode iterar, com o auxílio do Maple ou de uma calculadora, os primeiros valores da seqüência a_n e constatar que ela é estritamente crescente (para os primeiros valores). Depois, você pode demonstrar que ela é uma seqüência crescente, por indução finita. Não é difícil. Se a_0 <= a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_(n-2) < a_(n-1) então a_(n-2) < a_(n-1) e sqrt(2*a_(n-3)) < sqrt(2*a_(n-2)). Combinando estas duas desiguldades e usando (novamente) que a função sqrt é crescente tem-se sqrt(a_(n-2) + sqrt(2*a_(n-3))) < sqrt(a_(n-1) + sqrt(2*a_(n-2)), ou seja, a_(n-1) < a_n. Portanto a seqüência a_n é crescente e limitada (por 2), logo convergente. Seja a = lim(a_n). Temos a = lim(a_n) = lim sqrt(a_(n-1) + sqrt(2*a_(n-2))) = sqrt( lim(a_(n-1)) + sqrt(2*lim(a_(n-2 = sqrt(a+sqrt(2a)). Daí a^2 = a + sqrt(2a). Podemos escrever como a(a-1) = sqrt(2a) e a^2(a-1)^2 = 2a, simplificando (pois a=0 não nos interessa), a(a-1)^2 = 2. Expandindo a^3 - 2a^2 + a - 2 = a^2(a - 2) + (a - 2) = (a^2 + 1)(a - 2). A única raiz no intervalo [1, 2] é a=2. Segue que o limite da seqüência a_n é igual a 2. Abraço Duda. >Bom, isto foi tudo o que eu e o Will conseguimos descobrir sobre este > problema. Aguardo comentários. > >[]s >Felipe Pina > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Convergencia de uma sequencia real
Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. Seja (a[n]) a seqüência real definida por : a[0] = 1 a[1] = 1 n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) ) Suspeito fortemente que esta seqüência é convergente. É facil ver que, para todo n, 1 <= a[n] <= 2. Também é claro que se (a[n]) converge, então seu limite é 2. O que conseguimos mostrar foi que : (1) a[k+1] >= a[k] >= a[k-1] -> 1 <= a[k] <= r (2) a[k+1] <= a[k] <= a[k-1] -> r <= a[k] <= 2 (3) a[k] = a[k-1] = 2 -> a[k+1] = 2 (Durh!) Onde r = (1/2) * (1 + sqrt( 1 + 4*sqrt(2) )) ~ 1.7900440156727579846758505438531824526068425193036 [ Maple ;) ] Obs : r é a única raíz real de p(x) = x^4 - 2*x^3 + x^2 - 2 que pertence ao intervalo [1,2] Tomando as contra-positivas das implicações (2) e (3) aprendemos que : (N1) r < a[k] <= 2 -> (a[k+1] < a[k]) ou (a[k] < a[k-1]) (N2) 1 <= a[k] < r-> (a[k+1] > a[k]) ou (a[k] > a[k-1]) Ou seja, se estamos em (r,2] no tempo k, acabamos de descer ou vamos descer agora! :) Logo, não podemos subir 2 vezes seguidas. E, se estamos em [1,r], acabamos de subir ou vamos subir agora. Isto mostra que, se a seqüência converge (para 2), ela não é monónota ( por (N1) ), e, portanto, deve convergir dando umasosciladas espertas.. sobe, desce, sobe, desce... esse tipo de coisa Bom, isto foi tudo o que eu e o Will conseguimos descobrir sobre este problema. Aguardo comentários. []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
