Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
On Mon, Feb 23, 2004 at 12:02:48AM -0300, Rafael wrote: Cada um faz como preferir ou souber, recentemente o Nicolau escreveu uma aula sobre cúbicas em que ele usava trigonometria principalmente, e certamente isso está bem distante do que Tartaglia e Cardano pensavam na época, embora, hoje, seja o mais útil, prático. Só um pequeno comentário: a trigonometria aparece no que eu escrevi apenas para tirar a raiz cúbica de um número complexo. E o meu propósito não era tanto mostrar como resolver uma cúbica e sim mostrar um contexto elementar em que números complexos são úteis (serve para calcular as raízes *reais* de uma equação cúbica com coeficientes *reais*). Existem outros contextos elementares para motivar e justificar o ensino de complexos (por exemplo, geometria plana) mas infelizmente muitos alunos ficam só na promessa (Estude, meu filho, pq cai no vestibular e se você estudar engenharia elétrica você vai ver que isto é muito importante). A minha mensagem original está aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200402/msg00351.html []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Nicolau, O seu propósito, como já explicitei em resposta à sua mensagem na época, é louvável. A minha referência agora só teve por intento mostrar como variações das fórmulas resolutivas de cúbicas e quárticas surgem, e muito mais adequadas ao conhecimento matemático que se tem hoje. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 23, 2004 12:56 PM Subject: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Só um pequeno comentário: a trigonometria aparece no que eu escrevi apenas para tirar a raiz cúbica de um número complexo. E o meu propósito não era tanto mostrar como resolver uma cúbica e sim mostrar um contexto elementar em que números complexos são úteis (serve para calcular as raízes *reais* de uma equação cúbica com coeficientes *reais*). Existem outros contextos elementares para motivar e justificar o ensino de complexos (por exemplo, geometria plana) mas infelizmente muitos alunos ficam só na promessa (Estude, meu filho, pq cai no vestibular e se você estudar engenharia elétrica você vai ver que isto é muito importante). A minha mensagem original está aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200402/msg00351.html []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Olá Rafael. Já que você tocou no assunto e mostrou domínio sobre ele... Poderia esclarecer-me por favor do que se trata o Método de Ferrari? Me interessei em saber sobre isso. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rafael Enviada em: sábado, 21 de fevereiro de 2004 17:29 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Claro que sim, Pérsio. Cláudio, aliás, enviou uma para lista já. No entanto, não creio que ela seja exatamente o que se possa chamar de trivial, pois envolve alguns artifícios geométricos e a manipulação algébrica de várias expressões. Evidentemente, ainda é mais acessível do que o Método de Ferrari, que torna o problema puramente algébrico, pois o único conceito de Geometria que se usa é a correspondência dos ângulos,amparada pelaTrigonometriatambém. De qualquer forma, com mais ou menos trabalho braçal, chegou-sea mesma solução... Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: persio ca To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 21, 2004 10:55 AM Subject: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Será que existe uma solução geometrica trivial para este problema ? Pérsio
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Douglas, O Método de Ferrari éo que se aplica para resolver uma equação do 4º grau. Demonstrá-lo não é tão simples, mas se você quiser, em PVT, posso enviar para você. Em poucas palavras, primeiramente você elimina da equação o termo em x^3 fazendo uma substituição do tipox =z - a_3/4. Depois disso, da equação incompleta, tenta-se obter um quadrado perfeito e daí a necessidade de se achar um w real que satisfaça a essa condição. Para isso, é preciso resolver uma equação do 3º grau, por exemplo, pelo método de Tartaglia. Tendo completado o quadrado, você poderá extrair as raízes quadradas de ambos os lados da igualdade e chegar a uma quadrática, que, após ser resolvida, dará os valores de z, os quais subtraídos de a_3/4 nos fornecerão as raízes da equação original emx. Esse é o método que utilizei de uma forma mais direta: a partir da construção das raízes, definindo-se certas constantes. Ele é trabalhoso sem sombra de dúvida, mas há casos em que o trabalho nem é tão grande assim. Lembro-me de que a equação que Ferrari recebeu como desafio num dos "duelos matemáticos" de sua época tinha raízes muitíssimo complicadas. E Cardano, como hábil surrupiador da produção intelectual alheia, publicou uns 20 casos de quárticas em Ars Magna, juntamente com os resultados de Tartaglia sobre as cúbicas. Por isso, até hoje, para quem conhece um pouco de história da Matemática, é impossível chamar o método de Tartaglia de método de Cardano-Tartaglia, embora muitos façam isso sem qualquer remorso. Enfim, tenho consciência de que muitos outros matemáticos usam variações do que eles criaram. Eu mesmo, para as cúbicas, prefiro utilizar a fórmula da raiz real de Tartaglia juntamente com as rotações dos complexos no plano de Argand-Gauss. Cada um faz como preferir ou souber, recentemente o Nicolau escreveu uma aula sobre cúbicas em que ele usavatrigonometria principalmente, e certamente isso está bem distante do que Tartaglia e Cardano pensavam na época, embora, hoje, seja o mais útil, prático. É isso. Espero ter ajudado. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Douglas Ribeiro Silva To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 22, 2004 10:02 PM Subject: RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Olá Rafael. Já que você tocou no assunto e mostrou domínio sobre ele... Poderia esclarecer-me por favor do que se trata o Método de Ferrari? Me interessei em saber sobre isso. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Será que existe uma solução geometrica trivial para este problema ? PérsioRafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja o triângulo retângulo ABC (reto em B) e admitindo, então, que os doislados do quadrado sejam coincidentes aos catetos, teremos, pelo teorema dePitágoras:(x+4)^2 + (y+4)^2 = 12^2, sendo x e y os valores que somados a 4 representamos catetos.Chamando o ponto de intersecção do quadrado com AC de P e o ponto deintersecção do quadrado com AB de Q, sabemos que o ângulo APQ e o ângulo ACBsão correspondentes, portanto têm a mesma medida. Assim,tg(APQ) = tg(ACB) == x/4 = 4/y == y = 16/xSubstituindo na relação anterior:(x+4)^2 + (4+16/x)^2 = 12^2 == (x^2+16)(x+4)^2 = 144x^2 x^4 + 8x^3 - 112x^2 + 128x + 256 = 0Desgraçadamente, essa equação é completa do 4º. grau e não possui qualquerraiz racional. Pela regra de sinais de Descartes, sabemos que há 2 raízespositivas e 2 negativas. Agora, para descobrir tais raízes, só nos restautilizar o método de Ferrari (e não de Tartaglia, como foi dito, embora sejanecessário também) e rezar para que Deus nos ajudePrimeiramente, encontra-se um w real arbitrário para a equação seguinte:w^3 + 112w^2 + (128*8-4*256)w + 4*(-112)*256 - 128^2 - 8^2 * 256 = 0 == w^3 + 112w^2 - 147456 = 0Eis outro ponto crítico: trata-se de uma equação do 3º. grau incompleta. Noentanto, as raízes são racionais, não sendo obrigatório o uso do método deTartaglia, embora o tamanho do termo independente não seja muito simpáticopara usar o TRR...Assim, escolhendo-se uma das formas, obtêm-se as raízes: -96, -48 e 32.Arbitrariamente, escolherei w = 32.Definem-se R, D e E, usados para construir as raízes da equação em x:R = sqrt(8^2/4 - (-112) + 32) = 4*sqrt(10)D = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) ++ (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) - 4*sqrt(2)E = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) -- (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) + 4*sqrt(2)x_1 = -8/4 + R/2 + D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2)x_2 = -8/4 + R/2 - D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2)x_3 = -8/4 - R/2 + E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2) 0(não convém)x_4 = -8/4 - R/2 - E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2) 0(não convém)E, como sempre ocorre nesses casos, y = 16/x_1 = x_2 ou y = 16/x_2 = x_1.Logo, entendendo "o valor total de seus catetos" como a soma dos taiscatetos, (x_1+4)+(x_2+4) = 12+4*sqrt(10).É isso.Abraços,Rafael de A. Sampaio- Original Message -From: Douglas Ribeiro SilvaTo: [EMAIL PROTECTED]Sent: Thursday, February 19, 2004 77:21 PMSubject: RES: [obm-l] Descubra os lados do TrianguloAh... ainda bem que alguem mandou um e-mail sobre esse problema porque eu jáestava me esquecendo de perguntar isso...Vi a bela resolução do Cláudio para este problema, mas heis a questão... ese em vez de um dos lados do quadrado estar sobreposto à hipotenusa,tivéssemos dois lados do quadrado sobrepostos aos catetos?Foi desse modo que eu pensei inicialmente e tentei resolver a questão, massempre caí numa eq. de grau 3 ou 4. Pensei que ia cair numa biquadradabonitinha, mas os termos não se anularam. Gostaria que alguém mandasse aresolução desse jeito, se é que é possível resolver sem usarCardano-Tartaglia.Um abraço, Douglas Ribeiro=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Claro que sim, Pérsio. Cláudio, aliás, enviou uma para lista já. No entanto, não creio que ela seja exatamente o que se possa chamar de "trivial", pois envolve alguns artifícios geométricos e a manipulação algébrica de várias expressões. Evidentemente, ainda é mais "acessível" do que o Método de Ferrari, que torna o problema puramente algébrico, pois o único conceito de Geometria que se usa é a correspondência dos ângulos,amparada pelaTrigonometriatambém. De qualquer forma, com mais ou menos trabalho braçal, chegou-sea mesma solução... Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: persio ca To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 21, 2004 10:55 AM Subject: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Será que existe uma solução geometrica trivial para este problema ? Pérsio
Re: RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Isso mesmo Douglas, esse foi o ponto em que pensei ao mandar o problema, existe alguma solução sem ser por Cardano tartaglia ??? Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Ah... ainda bem que alguem mandou um e-mail sobre esse problema porque eu já estava me esquecendo de perguntar isso... Vi a bela resolução do Cláudio para este problema, mas heis a questão... e se em vez de um dos lados do quadrado estar sobreposto à hipotenusa, tivéssemos dois lados do quadrado sobrepostos aos catetos? Foi desse modo que eu pensei inicialmente e tentei resolver a questão, mas sempre caí numa eq. de grau 3 ou 4. Pensei que ia cair numa biquadrada bonitinha, mas os termos não se anularam. Gostaria que alguém mandasse a resolução desse jeito, se é que é possível resolver sem usar Cardano-Tartaglia. Um abraço, Douglas Ribeiro -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]puc--rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]comEnviada em: quinta-feira, 19 de fevereiro de 2004 00:58Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Essa questao ja foi resolvida pessoal ! Guilherme, um lado do quadrado sobrepoe-se a hipotenusa. Em uma mensagem de 18/2/2004 23:56:59 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED]br escreveu: Como um quadrado increve um triangulo?... Lados sobrepostos?... Um vértice do quadrado tocando um lado do triângulo? persio ca [EMAIL PROTECTED]com.br wrote: Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um triangulo retangulo com hipotenusa 12 e com um quadrado inscrito de lado 4. A pergunta qual é o valor total de seus catetos ? Persio Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Ah... ainda bem que alguem mandou um e-mail sobre esse problema porque eu já estava me esquecendo de perguntar isso... Vi a bela resolução do Cláudio para este problema, mas heis a questão... e se em vez de um dos lados do quadrado estar sobreposto à hipotenusa, tivéssemos dois lados do quadrado sobrepostos aos catetos? Foi desse modo que eu pensei inicialmente e tentei resolver a questão, mas sempre caí numa eq. de grau 3 ou 4. Pensei que ia cair numa biquadrada bonitinha, mas os termos não se anularam. Gostaria que alguém mandasse a resolução desse jeito, se é que é possível resolver sem usar Cardano-Tartaglia. Um abraço, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: quinta-feira, 19 de fevereiro de 2004 00:58 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Essa questao ja foi resolvida pessoal ! Guilherme, um lado do quadrado sobrepoe-se a hipotenusa. Em uma mensagem de 18/2/2004 23:56:59 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED]br escreveu: Como um quadrado increve um triangulo?... Lados sobrepostos?... Um vértice do quadrado tocando um lado do triângulo? persio ca [EMAIL PROTECTED]com.br wrote: Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um triangulo retangulo com hipotenusa 12 e com um quadrado inscrito de lado 4. A pergunta qual é o valor total de seus catetos ? Persio
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Comoum quadrado increve um triangulo?... Lados sobrepostos?... Um vértice do quadrado tocandoum lado do triângulo?persio ca [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um trianguloretangulo com hipotenusa 12 e com umquadrado inscrito de lado 4. A perguntaqual é o valor total de seus catetos ? Persio Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Essa questao ja foi resolvida pessoal ! Guilherme, um lado do quadrado sobrepoe-se a hipotenusa. Em uma mensagem de 18/2/2004 23:56:59 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Como um quadrado increve um triangulo?... Lados sobrepostos?... Um vértice do quadrado tocando um lado do triângulo? persio ca [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um triangulo retangulo com hipotenusa 12 e com um quadrado inscrito de lado 4. A pergunta qual é o valor total de seus catetos ? Persio
[obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um trianguloretangulo com hipotenusa 12 e com umquadrado inscrito de lado 4. A perguntaqual é o valor total de seus catetos ? PersioYahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Title: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo on 10.02.04 14:31, persio ca at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um triangulo retangulo com hipotenusa 12 e com um quadrado inscrito de lado 4. A pergunta qual é o valor total de seus catetos ? Persio Oi, Persio: Eu assumi que um dos lados do quadrado estah contido na hipotenusa e achei que o triangulo retangulo eh tambem isosceles, com catetos medindo 6*raiz(2). Eu usei apenas semelhanca e o teorema de Pitagoras. A saber, chamando o triangulo de ABC (A = angulo reto) e o quadrado de MNPQ (MN sobre a hipotenusa BC e os vertices considerados no sentido anti-horario, com M sendo o mais proximo de B) temos, inicialmente: Sejam AQ = a, AP = b. Triangulo AQP ~ Triangulo ABC == AQ/AB = AP/AC = QP/BC = 4/12 = 1/3 == AB = 3a, AC = 3b e QB = 2a, PC = 2b Pitagoras no triangulo AQP: AQ^2 + AP^2 = PQ^2 a^2 + b^2 = 16 (*) Seja BM = x. Entao, como MN = 4, temos que NC = 8 - x. Pitagoras no triangulo MQB: MQ^2 + BM^2 = QB^2 16 + x^2 = 4a^2 (**) Pitagoras no triangulo NPC: NP^2 + NC^2 = PC^2 16 + (8-x)^2 = 4b^2 (***) Somando as equacoes (**) e (***), usando (*) e rearranjando, obtemos: x^2 - 8x + 16 = 0 == x = 4 == 8 - x = 4 == BM = MQ = PN = NC = 4 == QB = PC = 4*raiz(2) == AB = AC = 6*raiz(2) Minha maior duvida eh: Onde voce encaixa Cardano-Tartaglia (que imagino ser a formula das raizes de uma equacao do 3o. grau) nesse problema? Um abraco, Claudio.
