Re: [obm-l] Diofantina
Boa noite! x^2 - 1 = 2 y^4 == (x+1) (x-1) = 2 y^4 . Como x Ɛ 2Z +1 == (x+1) e (x-1) Ɛ 2Z == y Ɛ 2Z == y = 2k, k Ɛ Z Em 15 de maio de 2015 14:24, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Encontrar todas as soluções inteiras de x^2-2y^4=1. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Diofantina
*Hummm acho que consegui!* *Vamos lá, fiz z^2=y^4(assim z deve ser um quadrado perfeito). Logo a equação x^2-2z^2=1. Essa equação representa uma hipérbole, então dá pra encontrar as soluções racionais nessa curva, fácil ver que (x,y)=(1,0) é solução, assim considere uma reta que passa por esse ponto e intercepta a hip. no outro ponto (a,b), logo a equação dessa reta será y-0=m(x-1), ou y=m(x-1).* *Agora substituindo na equação da hip. Teremos a seguinte equação do segundo grau (1-m^2)x^2+4m^2x-2m^2-1=0, onde conhecemos uma das raízes que é “1”.* *Agora podemos usar o produto para encontrar a outra “a” , assim * *1.a=(-2m^2-1)/(1-2m^2), logo temos todas as soluções racionais da curva * *x^2-2z^2=1, que serão (x,z)=( (-2m^2-1)/(1-2m^2),m((-2m^2-1)/(1-2m^2) -1) ).* *Agora basta verificar para quais valores de m x=(-2m^2-1)/(1-2m^2) será inteiro, podemos escrever x=1- 2/(1-2m^2), assim 1-2m^2 deve ser divisor de 2, ou seja, 1-2m^2=1, 1-2m^2=-1, 1-2m^2=2(não real), 1-2m^2=-2(não inteira), onde temos respectivamente os valores m=0, m=-1, m=1 , assim os valores de x só podem ser -1 ou 3, e os de z só podem ser 0,2,-2, mas como z deve ser um quadrado perfeito só pode ser igual a 0, assim (x,y)=(1,0), ou (x,y)=(-1,0).* *Pronto acabou.* *Valeu, um abraço* *Douglas Oliveira.* Em 20 de maio de 2015 12:28, Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com escreveu: x^2 - 2y^4 = 1 x^2 - 1 = 2y^4 (x+1)(x-1) = 2y^4 Como 2y^4 é par, x tem que ser ímpar. Assim, x = 2k + 1. Substituindo: (2k+2)(2k) = 2y^4 4k(k+1) = 2y^4 2k(k+1) = y^4 Como 2k(k+1) é par, y tem que ser par. Assim, y = 2u Substituindo: 2k(k+1) = 16u^4 k(k+1) = 8u^4 Como k e k+1 tem paridades opostas, temos que 8|k ou 8|k+1. Caso 1: Se 8|k, então: k = 8w, logo 8w(8w+1) = 8u^4 = u^4 = w(8w+1) Claramente, u = w = 0 é solução. Nesse caso, k = 0, logo, x = 1 e y = 0. Analisando essa equação módulo 2, temos u == w (mod2). Acho que não tem outra solução, mas não consegui achar uma contradição. Testei e não tem solução de w = 1 até 1 milhão. Caso 2: Se 8|k+1, então: k+1 = 8w, logo (8w-1)8w = 8u^4 = u^4 = w(8w-1) Novamente, u = w = 0 é solução. Nesse caso, k = -1, logo, x = -1 e y = 0. Analisando essa equação módulo 2, temos u == w (mod2). Acho que não tem outra solução, mas não consegui achar uma contradição. Testei e não tem solução de w = 1 até 1 milhão. Acho que as únicas soluções são (1, 0) e (-1, 0). Estou sem tempo agora, mas posso tentar mais tarde. Abraços, Salhab 2015-05-15 14:24 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Encontrar todas as soluções inteiras de x^2-2y^4=1. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Diofantina
x^2 - 2y^4 = 1 x^2 - 1 = 2y^4 (x+1)(x-1) = 2y^4 Como 2y^4 é par, x tem que ser ímpar. Assim, x = 2k + 1. Substituindo: (2k+2)(2k) = 2y^4 4k(k+1) = 2y^4 2k(k+1) = y^4 Como 2k(k+1) é par, y tem que ser par. Assim, y = 2u Substituindo: 2k(k+1) = 16u^4 k(k+1) = 8u^4 Como k e k+1 tem paridades opostas, temos que 8|k ou 8|k+1. Caso 1: Se 8|k, então: k = 8w, logo 8w(8w+1) = 8u^4 = u^4 = w(8w+1) Claramente, u = w = 0 é solução. Nesse caso, k = 0, logo, x = 1 e y = 0. Analisando essa equação módulo 2, temos u == w (mod2). Acho que não tem outra solução, mas não consegui achar uma contradição. Testei e não tem solução de w = 1 até 1 milhão. Caso 2: Se 8|k+1, então: k+1 = 8w, logo (8w-1)8w = 8u^4 = u^4 = w(8w-1) Novamente, u = w = 0 é solução. Nesse caso, k = -1, logo, x = -1 e y = 0. Analisando essa equação módulo 2, temos u == w (mod2). Acho que não tem outra solução, mas não consegui achar uma contradição. Testei e não tem solução de w = 1 até 1 milhão. Acho que as únicas soluções são (1, 0) e (-1, 0). Estou sem tempo agora, mas posso tentar mais tarde. Abraços, Salhab 2015-05-15 14:24 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Encontrar todas as soluções inteiras de x^2-2y^4=1. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Diofantina
2015-05-20 13:04 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Hummm acho que consegui! Vamos lá, fiz z^2=y^4(assim z deve ser um quadrado perfeito). Logo a equação x^2-2z^2=1. Essa equação representa uma hipérbole, então dá pra encontrar as soluções racionais nessa curva, fácil ver que (x,y)=(1,0) é solução, assim considere uma reta que passa por esse ponto e intercepta a hip. no outro ponto (a,b), logo a equação dessa reta será y-0=m(x-1), ou y=m(x-1). Agora substituindo na equação da hip. Teremos a seguinte equação do segundo grau (1-m^2)x^2+4m^2x-2m^2-1=0, onde conhecemos uma das raízes que é “1”. Agora podemos usar o produto para encontrar a outra “a” , assim 1.a=(-2m^2-1)/(1-2m^2), logo temos todas as soluções racionais da curva x^2-2z^2=1, que serão (x,z)=( (-2m^2-1)/(1-2m^2),m((-2m^2-1)/(1-2m^2) -1) ). Agora basta verificar para quais valores de m x=(-2m^2-1)/(1-2m^2) será inteiro, podemos escrever x=1- 2/(1-2m^2), assim 1-2m^2 deve ser divisor de 2, ou seja, 1-2m^2=1, 1-2m^2=-1, 1-2m^2=2(não real), 1-2m^2=-2(não inteira), onde temos respectivamente os valores m=0, m=-1, m=1 , assim os valores de x só podem ser -1 ou 3, e os de z só podem ser 0,2,-2, mas como z deve ser um quadrado perfeito só pode ser igual a 0, assim (x,y)=(1,0), ou (x,y)=(-1,0). m não precisa ser inteiro, pode ser racional. A equação com z, x^2 - 2z^2 = 1 é uma equação de Pell que tem infinitas soluções. O que falta é mostrar que nenhuma delas tem a segunda coordenada sendo um quadrado perfeito. Sol trivial: (x,z) = (1, 0) Sol fundamental: (x,z) = (3,2) Outras soluções são obtidas tomando x = parte inteira e y = parte irracional de (3 - 2*raiz(2))^n. Por exemplo, para n=2 temos (9 - 2*3*2*raiz(2) + 8) = 17 + 12*raiz(2), e 17^2 = 289 = 2 * 144 + 1. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Diofantina
Não encontrei soluções inteiras pra ela além da (1,0) Douglas Oliveira. Em 20/05/2015 10:27, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Boa noite! x^2 - 1 = 2 y^4 == (x+1) (x-1) = 2 y^4 . Como x Ɛ 2Z +1 == (x+1) e (x-1) Ɛ 2Z == y Ɛ 2Z == y = 2k, k Ɛ Z Em 15 de maio de 2015 14:24, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Encontrar todas as soluções inteiras de x^2-2y^4=1. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Diofantina
Encontrar todas as soluções inteiras de x^2-2y^4=1. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re:[obm-l] diofantina
Um ponto de partida pode ser:
http://www.sfb013.uni-linz.ac.at/reports/2004/pdf-files/rep_04-32_pilnikova.pdf
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 9 Apr 2007 19:00:06 -0300
Assunto: [obm-l] diofantina
Para resolver a eq. diofantina:
a*x^2 + b*y^2 + c*z^2 = 0
Temos o teorema de legendre.
Gostaria de saber se existe algum resultado mais geral , para soma de vario
quadrados
Para
sum_{i=1}_{k} (a_i*X_i^2)
Se a resposta for sim gostaria tambem das referencias
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] diofantina
Para resolver a eq. diofantina:
a*x^2 + b*y^2 + c*z^2 = 0
Temos o teorema de legendre.
Gostaria de saber se existe algum resultado mais geral , para soma de vario
quadrados
Para
sum_{i=1}_{k} (a_i*X_i^2)
Se a resposta for sim gostaria tambem das referencias
