[obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica
A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario. Podemos fazer algumas suposições: |r| 1. De fato, se |r|1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim, teremos X^n=R, com |R|1, e resolver essa equacao é equivalente resolver a original. Caso n ímpar: Se r 0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r1. Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r0. Isso e relativamente facil de demonstrar usando limites ou algo que valha. Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r0. Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois extremos tal que x^n=r=0. O caso par fica por sua conta :) Em 11/09/10, Guilherme Vieirarjguilhermevie...@hotmail.com escreveu: Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir. Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto, parece-me muito difícil. Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r0. Obrigado!!! Guilherme -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica
Olá, você já estudou análise real? Sei que no livro no Rudin tem isto demonstrado da maneira mais elementar possível (elementar no sentido de usar poucas ferramentas). Só usa que R é completo e algumas desigualdades. Não lembro exatamente como é a demonstração, mas basicamente é isso: *Teorema*: Dado r real positivo e n natural, existe um único x positivo tal que x^n=r. (O que você quer segue trivialmente disto). *Ideia da demonstração:* Ver que a solução é única é fácil, visto que 0ab implica em 0a^nb^n. Para mostrar a existência, considere o conjunto A dos t reais tais que t^nr. Mostre que este conjunto é limitado e portanto existe sup(A). Você deve mostrar que x=sup(A), isto é, sup(A)^n=r. Para isso, suponha sup(A)^nr e, depois, sup(A)^nr e chegue em contradições. Talvez tenha no Elon também, mas eu não o conheço direito. 2010/9/13 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario. Podemos fazer algumas suposições: |r| 1. De fato, se |r|1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim, teremos X^n=R, com |R|1, e resolver essa equacao é equivalente resolver a original. Caso n ímpar: Se r 0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r1. Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r0. Isso e relativamente facil de demonstrar usando limites ou algo que valha. Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r0. Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois extremos tal que x^n=r=0. O caso par fica por sua conta :) Em 11/09/10, Guilherme Vieirarjguilhermevie...@hotmail.com escreveu: Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir. Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto, parece-me muito difícil. Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r0. Obrigado!!! Guilherme -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] Equação algébrica
Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir. Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto, parece-me muito difícil. Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r0. Obrigado!!! Guilherme
[obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica.
On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote: Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. Valeu!!! (P-Q)(x) é um polinômio de grau no máximo M e tem portanto no máximo M raízes complexas e em particular no máximo M raízes inteiras e positivas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica.
On Tue, Nov 12, 2002 at 07:21:30AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote: Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. Valeu!!! (P-Q)(x) é um polinômio de grau no máximo M e tem portanto no máximo M raízes complexas e em particular no máximo M raízes inteiras e positivas. []s, N. ---end quoted text--- Por que e positivas? E mesmo se P(x) for um polinomio de grau impar? []'s! -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica.
On Tue, Nov 12, 2002 at 07:21:30AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote: Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. Valeu!!! (P-Q)(x) é um polinômio de grau no máximo M e tem portanto no máximo M raízes complexas e em particular no máximo M raízes inteiras e positivas. []s, N. ---end quoted text--- Credo, nao vi o _e em particular_ na linha do meio! Foi mal ae. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Equação algébrica.
Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Equação algébrica.
Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. Valeu!!! __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Equação algébrica.
On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote: Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. Valeu!!! ---end quoted text--- Se P(x) = Q(x), entao P(x) - Q(x) = 0 Se tivermos, por exemplo, P(x) = x e Q(x) = k, onde k eh uma constante, teremos P(x) - Q(x) = x - k, equacao do primeiro grau que possue raiz real k. Note que o grau de Q(x) eh 0, e o de P(x) eh 1. Se fizermos isso com um polinomio do 3. grau e do 2, respectivamente, e ainda com coeficientes iguais, teremos P(x) = x^3 + x^2 + x + 1 Q(x) = x^2 + x + 1 e P(x) - Q(x) = x^3, pois todos os outros termos sao semelhantes. Entao podesse provar por inducao que se P(x) tem grau m e Q(x) tem grau n, sendo m n, P(x) = Q(x) terah _no maximo_ m raizes inteiras, _mas nao necessariamente positivas_. Se m for impar, nada impede de termos, por exemplo: P(x) = x^3 + x^2 + x + 1 Q(x) = x^2 + x P(x) - Q(x) = x^3 + 1 = 0 logo x = raiz cubica (-1) = -1, as outras 2 raizes sao complexas. Ou os polinimios tem que ser completos ou coisa do tipo? Sempre que voce fizer P(x) - Q(x), e m n, restarah sempre _no minimo_ o termo de gray m de P(x), pq n m, por isso pode ter _no maximo_ m raizes reais, pq nada impede de outras serem complexas, como no ultimo exemplo. sao 2:10 da manha, espero ter ajudado alguma coisa :) []'s! -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
