[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Essa ainda não consegui!!!
Mas esse é bem mais moleza! Os pontos são da forma (x_i,y_i) Os médios são da forma ((x_i+x_j)/2,(y_i+y_j)/2) Se conseguirmos garantir que existem dois pontos (x_i,y_i) e (x_j,y_j) tais que as coordenadas x tenham igual paridade, bem como as coordenadas y, acabou. Se isto não ocorresse, o que se daria? Temos pontos do tipo (par,par), (par, impar), (impar, par) e (impar, impar). Como são cinco pontos, um dos tipos se repete. E achamos os pontos! Agor, seria interessante se pudéssemos ver este problema acima. Creio que existe um numero tao grande de pontos quantos se queira, de modo que as coordenadas de intersecção sejam sempre fracionárias. Em 24/07/11, Pedro Júniorpedromatematic...@gmail.com escreveu: Exatamente caríssimo Ralph, tens razão, é que estava tentanto lembrar do problema e fui escrevendo, mas vc me fez lembrar direitinho, como sempre!!! Parabéns. Em 24 de julho de 2011 11:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Ah... aposto que o problema original era para mostrar que um dos PONTOS MEDIOS desses 10 segmentos tem coordenadas inteiras, nao? Ai tudo faz sentido: basta olhar a paridade de ambas as coordenadas. Ha 4 classes de possibilidades: (Par,Par), (Par, Impar), (Impar, Par), (Impar, Impar). Como voce tem 5 pontos, pombas, tem que haver dois deles dentro da mesma classe, digamos, X e Y. Mas entao as coordenadas de X+Y serao ambas pares, isto eh, as coordenadas do ponto medio (X+Y)/2 serao inteiras. Aposto 10 pratas que era esse o problema! Em dolar! :) Abraco, Ralph 2011/7/24 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Sejam A, B, C, D e E pontos do plano cartesiano de coordenadas inteiras. Três quaisquer desses pontos não estão alinhados, logo formam dez segmentos. Mostre que pelo menos um dos pontos de intersecção desses segmentos é um ponto, também, de coordenadas inteiras. Desde já agradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Essa ainda não consegui!!!
Sejam A, B, C, D e E pontos do plano cartesiano de coordenadas inteiras. Três quaisquer desses pontos não estão alinhados, logo formam dez segmentos. Mostre que pelo menos um dos pontos de intersecção desses segmentos é um ponto, também, de coordenadas inteiras. Desde já agradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Essa ainda não consegui!!!
Estranho... eh isso mesmo? Estritamente falando, A seria a intersecao de AB com AC, e A tem coordenadas inteiras. Mas imagino que o problema queira uma interseccao de coordenadas inteiras que NAO seja um dos pontos originais. Entao resolvi me divertir com o Geogebra, botei 5 pontos no plano, desenhei as tais 10 retas (nem peguei *segmentos*, peguei as retas logo), e fui catar todas as intersecoes... Quantas intersecoes, sem contar os pontos ABCDE originais? Vejamos... escolha uma das 10 retas (digamos, XY); depois, voce tem que escolher uma reta que NAO passe nem por X nem por Y, ou seja, escolha a reta ZW onde Z e W sao um dos 3 pontos restantes (3 possibilidades). Entao sao 10x3=30 pontos de intersecao, mas, oops, contei cada um deles duas vezes (XY com ZW = ZW com XY), entao sao de fato 15 pontos de intersecao. Bom, no maximo 15, jah que algumas das retas poderiam ser paralelas... Mas, tah, no maximo 15. Botei A(0,0), B(10,-3), C(9,1), D(7,5) e E(2,8); estou aqui olhando as 15 intersecoes, e nenhuma delas parece ter coordenadas inteiras... Mas estou num Netbookzinho com tela tao pequena que mal dah para enxergar a figura toda, e estou com muita preguica de fazer no braco, entao eh perfeitamente possivel que eu tenha comido mosca, marcado o ponto errado, etc. Alguem confirma? Abraco, Ralph 2011/7/24 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Sejam A, B, C, D e E pontos do plano cartesiano de coordenadas inteiras. Três quaisquer desses pontos não estão alinhados, logo formam dez segmentos. Mostre que pelo menos um dos pontos de intersecção desses segmentos é um ponto, também, de coordenadas inteiras. Desde já agradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Essa ainda não consegui!!!
Ah... aposto que o problema original era para mostrar que um dos PONTOS MEDIOS desses 10 segmentos tem coordenadas inteiras, nao? Ai tudo faz sentido: basta olhar a paridade de ambas as coordenadas. Ha 4 classes de possibilidades: (Par,Par), (Par, Impar), (Impar, Par), (Impar, Impar). Como voce tem 5 pontos, pombas, tem que haver dois deles dentro da mesma classe, digamos, X e Y. Mas entao as coordenadas de X+Y serao ambas pares, isto eh, as coordenadas do ponto medio (X+Y)/2 serao inteiras. Aposto 10 pratas que era esse o problema! Em dolar! :) Abraco, Ralph 2011/7/24 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Sejam A, B, C, D e E pontos do plano cartesiano de coordenadas inteiras. Três quaisquer desses pontos não estão alinhados, logo formam dez segmentos. Mostre que pelo menos um dos pontos de intersecção desses segmentos é um ponto, também, de coordenadas inteiras. Desde já agradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Essa ainda não consegui!!!
Refiz o seu rascunho no Geogebra A(0,0), B(10,-3), C(9,1), D(7,5) e E(2,8) Nenhuma interseção tem coordenadas Inteiras.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Essa ainda não consegui!!!
Exatamente caríssimo Ralph, tens razão, é que estava tentanto lembrar do problema e fui escrevendo, mas vc me fez lembrar direitinho, como sempre!!! Parabéns. Em 24 de julho de 2011 11:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Ah... aposto que o problema original era para mostrar que um dos PONTOS MEDIOS desses 10 segmentos tem coordenadas inteiras, nao? Ai tudo faz sentido: basta olhar a paridade de ambas as coordenadas. Ha 4 classes de possibilidades: (Par,Par), (Par, Impar), (Impar, Par), (Impar, Impar). Como voce tem 5 pontos, pombas, tem que haver dois deles dentro da mesma classe, digamos, X e Y. Mas entao as coordenadas de X+Y serao ambas pares, isto eh, as coordenadas do ponto medio (X+Y)/2 serao inteiras. Aposto 10 pratas que era esse o problema! Em dolar! :) Abraco, Ralph 2011/7/24 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Sejam A, B, C, D e E pontos do plano cartesiano de coordenadas inteiras. Três quaisquer desses pontos não estão alinhados, logo formam dez segmentos. Mostre que pelo menos um dos pontos de intersecção desses segmentos é um ponto, também, de coordenadas inteiras. Desde já agradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
