[obm-l] Exercício sobre Números Primos
Olá amigos! Um de meus alunos trouxe-me esse exercício que, segundo ele, foi retirado de um livro alemão. O exercicío, segundo ele, é para preparação às Olimpíadas Russas de Ensino Médio. Gostaria que me ajudassem, pois não estou conseguindo resolver! Seja a um número pertencente ao conjuntos dos números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a seja um número primo. Pede-se determinar o menor valor de n para que a expressão: (a^n + b) / (a^n - b) seja também um número primo, sabendo-se que b é um quadrado perfeito. Um grande abraço! Alan Pellejero __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
Corrigindo: o livro é russo, não alemãodesculpe... Segue o enunciado! --- Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá amigos! Um de meus alunos trouxe-me esse exercício que, segundo ele, foi retirado de um livro alemão. O exercicío, segundo ele, é para preparação às Olimpíadas Russas de Ensino Médio. Gostaria que me ajudassem, pois não estou conseguindo resolver! Seja a um número pertencente ao conjuntos dos números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a seja um número primo. Pede-se determinar o menor valor de n para que a expressão: (a^n + b) / (a^n - b) seja também um número primo, sabendo-se que b é um quadrado perfeito. Um grande abraço! Alan Pellejero __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
acho que consegui, mas nao tenho muita certeza.
Seja P a raiz n-esima de a. E seja K o valor da expressão. Assim P e
K são primos.
a = P^n = a^n = P^(n^2)
K = [P^(n^2) + b]/ [P^(n^2) - b] Multiplicando por P^(n^2) - b
P^(n^2) + b = K*P^(n^2) - K*bIsolando b e P
b*(K+1) = P^(n^2) * (K-1) Dividindo por K-1
P^(n^2) = b*(K+1)/(K-1)
Como b*(K+1)/(K-1) é inteiro, ou (K-1)| b ou (K-1)|(K+1)
Se (K-1)|(K+1), K+1 / K-1 = Z (algum inteiro)
Sendo K-1 = J , temos que J+2 / J = Z = 1 + 2/J
ou seja, K-1 divide 2 = K=2 ou K=3 (ambos sao primos, logo validos)
Se K= 2, P^(n^2) = 3b
Se K= 3, P^(n^2) = 2b
Logo K = 3
P^(n^2) = 2b = P = 2
como b é quadrado perfeito, 2^(n^2) = 2x^2
2^(n^2 -1) = x^2 = x é potencia de 2
Se x = 2, n = raiz3 (nao serve)
Se x = 4, n = raiz5 (nao serve)
Se x = 8, n = raiz7 (nao serve)
Se x = 16, n = raiz 9 = 3.
Assim, n = 3.
Mas se ao invés de dividir K+1 , K-1 dividir b, teremos:
K-1| b = K-1| x
Se queremos n3 (pois já provamos que n=3 é valido), temos que x16.
K-1 é um fator primo menor que 16, logo K-1 E {2,3,5,7,11,13)
ou seja, K E {3,4,6,8,12,14} = menos K possivel é 3, exatamente como
o utilizado na primeira hipotese. Logo, n = 3.
Só conferindo:
P=2 n=3 b= 256 a = 8
8^3 + 256 / 8^3 - 256 = 768/256 = 3 (primo)
Ps.: aproveitando o e-mail, qual programa tipo word se usa pra
escrever caracteres matematicos? eu nao manjo muito de computadores.
=P
On Sun, 13 Feb 2005 17:00:49 -0300 (ART), Alan Pellejero
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Corrigindo: o livro é russo, não alemãodesculpe...
Segue o enunciado!
--- Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá amigos!
Um de meus alunos trouxe-me esse exercício que,
segundo ele, foi retirado de um livro alemão.
O exercicío, segundo ele, é para preparação às
Olimpíadas Russas de Ensino Médio.
Gostaria que me ajudassem, pois não estou
conseguindo
resolver!
Seja a um número pertencente ao conjuntos dos
números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a
seja um número primo.
Pede-se determinar o menor valor de n para que a
expressão:
(a^n + b) / (a^n - b)
seja também um número primo, sabendo-se que b é um
quadrado perfeito.
Um grande abraço!
Alan Pellejero
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Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
Seja a um número pertencente ao conjuntos dos números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a seja um número primo. Pede-se determinar o menor valor de n para que a expressão: (a^n + b) / (a^n - b) seja também um número primo, sabendo-se que b é um quadrado perfeito. Assumindo n inteiro, n 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1 seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo == a = p^n, portanto a é inteiro. Faça b = d^2 e seja k primo. (p^n^n + d^2)/(p^n^n - d^2) = k Fazendo k = 2, temos p^n^n + d^2 = 2*p^n^n - 2*d^2 == p^n^n = 3*d^2 == p = 3 == d = 3^x As igualdades agora são 3^n^n = 3^(2*x + 1) == n^n = 2*x + 1 == n é ímpar Tomamos n = 3 == x = 13. Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser 2. Se n = 2, teríamos (p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k == p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2 Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 == p = 3 == 3^3 = d^2, absurdo. Assim, k 2, primo == k ímpar == mdc (k + 1, k - 1) = 2. Segue que (k + 1)/2 divide p^4 == (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4 (não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo) Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2; analogamente para p em vez de p^3). Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 == 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1 == p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são inteiros consecutivos. Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2) = 2*p^2*d^2 == p^2(p^2 - 1) = d^2 == d = p*z == p^2 - 1 = z^2, isto é, p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos. Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
Ai, ai... no e-mail anterior eu fiz (p^n)^n = p^n^n em vez de p^n^2, ou, mais claramente, p^(n^2)... Felizmente isso não muda quase nada, a resolução é quase idêntica, trocando-se um 13 por um 4 e nada mais! Abaixo segue já com a alteração (e mais uma vez, desculpem!): Seja a um número pertencente ao conjuntos dos números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a seja um número primo. Pede-se determinar o menor valor de n para que a expressão: (a^n + b) / (a^n - b) seja também um número primo, sabendo-se que b é um quadrado perfeito. Assumindo n inteiro, n 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1 seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo == a = p^n, portanto a é inteiro. Faça b = d^2 e seja k primo. (p^(n^2) + d^2)/(p^(n^2) - d^2) = k Fazendo k = 2, temos p^(n^2) + d^2 = 2*p^(n^2) - 2*d^2 == p^(n^2) = 3*d^2 == p = 3 == d = 3^x As igualdades agora são 3^(n^2) = 3^(2*x + 1) == n^2 = 2*x + 1 == n é ímpar Tomamos n = 3 == x = 4. Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser 2. Se n = 2, teríamos (p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k == p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2 Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 == p = 3 == 3^3 = d^2, absurdo. Assim, k 2, primo == k ímpar == mdc (k + 1, k - 1) = 2. Segue que (k + 1)/2 divide p^4 == (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4 (não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo) Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2; analogamente para p em vez de p^3). Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 == 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1 == p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são inteiros consecutivos. Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2) = 2*p^2*d^2 == p^2(p^2 - 1) = d^2 == d = p*z == p^2 - 1 = z^2, isto é, p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos. Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercício sobre números primos
Seja a um número tal que a 1 e rn(a) seja primo, determine: O menor valor de n para que (a^n + b) / (a^n - b) também o seja, sendo b um quadrado perfeito. Obrigado Alan Pellejero ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
