[obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Um problema de Olimpíadas Argentinas: Escreve-se um número número natural em cada vértice de um cubo, sendo todos os oito números distintos. Em seguida, em cada aresta escreve-se o Máximo Divisor Comum dos números dos vértice correspondentes. É possível escolher os oito números iniciais de maneira que sua soma seja igual a soma dos 12 números das arestas? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. Oi Pessoal! Na curiosidade, vou achar os tais números e percebi que tinha um pequeno equívoco na resolução, só um sinalzinho de mais trocado por um de menos. Segue a correção e já aproveito para mandar as respostas: 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a² - ab + b² reduzindo os termos semelhantes a² - (10 + b).a + b² - b = 0 **(o sinal foi trocado aqui acima, no 10 + b)** E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 + b)² - 4*(b² - b) Simplificando fica : -3b² + 24b + 100 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. b = 1, 7, 8 b = 1 = -3b² + 24b + 100 = -3 + 24 + 100 = 121 a² - (10 + b).a + b² - b = 0 a² - (10 + 1).a + 1 - 1 = 0 a² - 11a = 0 a = 0, 11 b = 7 = -3b² + 24b + 100 = -3.7² + 24.7 + 100 = 121 a² - (10 + b).a + b² - b = 0 a² - (10 + 7).a + 7² - 7 = 0 a² - 17a + 42 = 0 a = 3, 14 b = 8 = -3b² + 24b + 100 = -3.8² + 24.8 + 100 = 100 a² - (10 + b).a + b² - b = 0 a² - (10 + 8).a + 8² - 8 = 0 a² - 18a + 56 = 0 a = 4, 14 Resposta: 37, 48 Um abraço, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience http://launch.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Ola Felipe, tudo legal ? Nao ha do que agradecer ! Muitas outras pessoas aqui na lista tambem tem SENTIMENTOS EDUCADOS, de forma que nao raro voce as vera sendo uteis respondendo a uma questao simples com a mesma naturalidade com que demonstram brilhantismo intelectual solucionando um problema complicado. Eu li em algum lugar um problema que pode ser resolvido por uma equacao do 2 grau. Talvez voce queira propor a seus alunos de 8 serie : Num tonel ha, a principio, 100 litros de agua. Enche-se um balde de capacidade K ( K litros ) com a agua deste tonel. A agua e jogada fora. O balde e entao cheio com vinho puro e, a seguir, o vinho contido no balde e despejado no tonel. O tonel volta a ter 100 litros, agora de mistura. Repete-se os 4 passos abaixo N vezes : 1) Enche-se o balde com a mistura que ha no tonel 2) O conteudo do balde e, entao, lancado fora. 3) O Balde e cheio com vinho puro 4) O conteudo do balde e despejado no tonel. Terminada as operacoes, um quimico analisa o conteudo do tonel e descobre que ha 36 litros de agua e 64 litros de vinho puro. Qual a capacidade do balde, em funcao de N ? Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 6,1256,170502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 23:11:57 -0400 Caro Paulo, Mais uma vez aqui, tento expressar toda minha gratidão para com todos os amigos aqui da lista, e especialmente.. à você. Paulo, na verdade, a questão era para ser explicada a alunos de 1o. grau mesmo (8a. série). Bem, é o seguinte, sou aluno de uma instituição pública de ensino do Estado do Amazonas (curso agora o 2o. grau)... porem, venho desde o começo do ano ajudando os alunos da 8a. série para se prepararem para as provas de Matemática do Colégio Naval. Nossas condições dentro da escola não são muito boas, e em muitas das vezes... nosso próprio professor desconhece determinado assunto. Por este motivo, tenho aqui na lista, a única saída para o esclarecimento de certas dúvidas. Muitas vezes, eu mesmo, não consigo fazer certos exercícios que venho passando aos alunos... e quando isso ocorre, eu venho até a lista aqui, procurar alguma ajuda. E Paulo, mais uma vez, Obrigado mesmo por tudo. Sua ajuda, assim como a de todos, tem sido de grande importância para nossos alunos aqui do Amazonas. E em nome de todos eles, venho aqui deixar um grande abraço a você, e a todos os demais amigos que dessa lista participam. Obrigado mesmo, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 14:51:09 + Ola Felipe, Guilherme e demais colegas desta lista, Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir atingir os objetivos ! Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio Ralph. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1147,160502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400 Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que
RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola numerada com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ? Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. E com um grande abraço a todos, vou fechando mais este e-mail. Felipe Marinho _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro. Agradeço desde já mais uma vez, Abraços Felipe Marinho From: Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300 Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola numerada com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ? Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. E com um grande abraço a todos, vou fechando mais este e-mail. Felipe Marinho _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Ola Felipe, Guilherme e demais colegas desta lista, Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir atingir os objetivos ! Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio Ralph. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1147,160502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400 Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro. Agradeço desde já mais uma vez, Abraços Felipe Marinho From: Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300 Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola numerada com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ? Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. E com um grande abraço a todos, vou fechando mais este e-mail. Felipe Marinho _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Caro Paulo, Mais uma vez aqui, tento expressar toda minha gratidão para com todos os amigos aqui da lista, e especialmente.. à você. Paulo, na verdade, a questão era para ser explicada a alunos de 1o. grau mesmo (8a. série). Bem, é o seguinte, sou aluno de uma instituição pública de ensino do Estado do Amazonas (curso agora o 2o. grau)... porem, venho desde o começo do ano ajudando os alunos da 8a. série para se prepararem para as provas de Matemática do Colégio Naval. Nossas condições dentro da escola não são muito boas, e em muitas das vezes... nosso próprio professor desconhece determinado assunto. Por este motivo, tenho aqui na lista, a única saída para o esclarecimento de certas dúvidas. Muitas vezes, eu mesmo, não consigo fazer certos exercícios que venho passando aos alunos... e quando isso ocorre, eu venho até a lista aqui, procurar alguma ajuda. E Paulo, mais uma vez, Obrigado mesmo por tudo. Sua ajuda, assim como a de todos, tem sido de grande importância para nossos alunos aqui do Amazonas. E em nome de todos eles, venho aqui deixar um grande abraço a você, e a todos os demais amigos que dessa lista participam. Obrigado mesmo, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 14:51:09 + Ola Felipe, Guilherme e demais colegas desta lista, Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir atingir os objetivos ! Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio Ralph. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1147,160502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400 Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro. Agradeço desde já mais uma vez, Abraços Felipe Marinho From: Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300 Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola
[obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola numerada com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ? Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. E com um grande abraço a todos, vou fechando mais este e-mail. Felipe Marinho _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
