Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra
De fato, a solucao do Buffara foi bem melhor.Eu tinha ido direto na indução pois o Ramon tinha tido problemas com a indução.Acho que resolvi os outros dois problemas:e = (n+1) * (n+2) * ... * (n+n) e = 1 * 2 * ... * n * (n+1) * (n+2) * ... * (n+n) / [ 1 * 2 * ... * n ]e = (2n)! / n! O outro problema eu provavelmente não resolvi do jeito mais rápido:f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2Usando a soma de PA, temos:1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = (2n-1+1)*n/2 = n^2 Entao:f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2f(n) = 1 - (1 + 3) + (1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7) + ... + [(-1)^(n-1)] * (1 + 3 + ... + (2n-1))Agora vamos nos focar nos casos em que n é par, i.e ., n = 2k:f(n) = 1 - (1 + 3) + (1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7) + ... + (1 + 3 + ... + (4k-3)) - (1 + 3 + ... + (4k-3) + (4k-1))Agrupando os pares de termos:f(n) = [1 - (1 + 3)] + [(1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7)] + ... + [(1 + 3 + ... + (4k-3)) - (1 + 3 + ... + (4k-3) + (4k-1))] f(n) = -3 + -7 -11 - ... - (4k-1) = - [(3 + 4k-1)*k/2] = - (2k + 1)*kVoltando para n:f(n) = -(n+1)*n/2, para n par.Se n for ímpar teremos:f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (n-2)^2 - (n-1)^2 + n^2 f(n) = f(n-1) + n^2Sendo que n-1 é par, assim, já sabemos calcular f(n-1):f(n) = -((n-1)+1)*(n-1)/2 + n^2f(n) = -(n^2 - n)/2 + n^2f(n) = (n+1)*n/2, para n impar.Ou seja:f(n) = (-1)^(n+1) * (n+1) * n/2 Se você está querendo treinar indução, recomendo que tente provar diretamente esse resultado usando indução.On 10/26/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Ou então, você repara que: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/2n = 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + ... + 1/(2n-1) + 1/(2n) -1-1/2 -1/3 - 1/4...- 1/n = (1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/(2n)) - (1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n). (espero que o espaçamento tenha saído OK...) []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 26 Oct 2006 10:23:41 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra Só tentei resolver a primeira questão. Deu certo por indução. As vezes você não organizou muito bem as expressões e acabou se confundindo por isso. Ou então eu errei! Para facilitar, seja: S(n) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n H(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/2n Observe que: H(n+1) = 1/(n+1+1) + ... + 1/2n + 1/2n+1 + 1/2(n+1) = H(n) - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/2(n+1) ou seja: H(n) = H(n+1) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/2(n+1) H(n) = H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1) Queremos mostrar que S(n) = H(n). Base da indução (n=1): S(1) = 1 - 1/2 = 1/2 = 1/(1 + 1) = H(1) ok. Passo da indução: Precisamos mostrar que se S(n) = H(n), então S(n+1) = H(n+1). S(n+1) = S(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = H(n) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1) Utilizando a relacao entre H(n) e H(n+1): S(n+1) = (H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1) S(n+1) = H(n+1) On 10/26/06, Ramon Carvalho wrote: From: Ramon Carvalho Date: 24/10/2006 19:57 Subject: Dúvidas em Álgebra To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) Provar que a igualdade é verdadeira: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n = 1/n+1 +...+ 1/2n eu tentei fazer por indução, mas ficou um termo que não se encaixava em canto nenhum 2) Achar o valor das expressões abaixo e = ( n+1 )(n+2)...(n+n) f = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2 Para calcular estas somas eu sempre tento achar um padrão entre os elementos para tentar uma indução ou há outro modo mais eficaz? Já que nem sempre fica fácil ver um certo padrão entre os termos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra
From: Ramon Carvalho [EMAIL PROTECTED]Date: 24/10/2006 19:57Subject: Dúvidas em Álgebra To: obm-l@mat.puc-rio.br1) Provar que a igualdade é verdadeira:1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n = 1/n+1 +...+ 1/2neu tentei fazer por indução, mas ficou um termo que não se encaixava em canto nenhum 2) Achar o valor das expressões abaixo e = ( n+1 )(n+2)...(n+n)f = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2Para calcular estas somas eu sempre tento achar um padrão entre os elementos para tentar uma indução ou há outro modo mais eficaz? Já que nem sempre fica fácil ver um certo padrão entre os termos.
Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra
Só tentei resolver a primeira questão. Deu certo por indução. As vezes você não organizou muito bem as expressões e acabou se confundindo por isso. Ou então eu errei! Para facilitar, seja: S(n) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n H(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/2n Observe que: H(n+1) = 1/(n+1+1) + ... + 1/2n + 1/2n+1 + 1/2(n+1) = H(n) - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/2(n+1) ou seja: H(n) = H(n+1) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/2(n+1) H(n) = H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1) Queremos mostrar que S(n) = H(n). Base da indução (n=1): S(1) = 1 - 1/2 = 1/2 = 1/(1 + 1) = H(1) ok. Passo da indução: Precisamos mostrar que se S(n) = H(n), então S(n+1) = H(n+1). S(n+1) = S(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = H(n) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1) Utilizando a relacao entre H(n) e H(n+1): S(n+1) = (H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1) S(n+1) = H(n+1) On 10/26/06, Ramon Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Ramon Carvalho [EMAIL PROTECTED] Date: 24/10/2006 19:57 Subject: Dúvidas em Álgebra To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) Provar que a igualdade é verdadeira: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n = 1/n+1 +...+ 1/2n eu tentei fazer por indução, mas ficou um termo que não se encaixava em canto nenhum 2) Achar o valor das expressões abaixo e = ( n+1 )(n+2)...(n+n) f = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2 Para calcular estas somas eu sempre tento achar um padrão entre os elementos para tentar uma indução ou há outro modo mais eficaz? Já que nem sempre fica fácil ver um certo padrão entre os termos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra
Obrigado a quem respondeu, vi o erro que estava na minha indução, erro boboEm 26/10/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu:Ou então, você repara que: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/2n = 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + ... + 1/(2n-1) + 1/(2n) -1-1/2 -1/3 - 1/4...- 1/n = (1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/(2n)) - (1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n). (espero que o espaçamento tenha saído OK...) []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 26 Oct 2006 10:23:41 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra Só tentei resolver a primeira questão. Deu certo por indução. As vezes você não organizou muito bem as expressões e acabou se confundindo por isso. Ou então eu errei! Para facilitar, seja: S(n) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n H(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/2n Observe que: H(n+1) = 1/(n+1+1) + ... + 1/2n + 1/2n+1 + 1/2(n+1) = H(n) - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/2(n+1) ou seja: H(n) = H(n+1) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/2(n+1) H(n) = H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1) Queremos mostrar que S(n) = H(n). Base da indução (n=1): S(1) = 1 - 1/2 = 1/2 = 1/(1 + 1) = H(1) ok. Passo da indução: Precisamos mostrar que se S(n) = H(n), então S(n+1) = H(n+1). S(n+1) = S(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = H(n) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1) Utilizando a relacao entre H(n) e H(n+1): S(n+1) = (H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1) S(n+1) = H(n+1) On 10/26/06, Ramon Carvalho wrote: From: Ramon Carvalho Date: 24/10/2006 19:57 Subject: Dúvidas em Álgebra To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) Provar que a igualdade é verdadeira: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n = 1/n+1 +...+ 1/2n eu tentei fazer por indução, mas ficou um termo que não se encaixava em canto nenhum 2) Achar o valor das expressões abaixo e = ( n+1 )(n+2)...(n+n) f = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2 Para calcular estas somas eu sempre tento achar um padrão entre os elementos para tentar uma indução ou há outro modo mais eficaz? Já que nem sempre fica fácil ver um certo padrão entre os termos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
