[obm-l] indução finita
Pessoal,
Depois de passar muito tempo meditando sobre o exercício abaixo (consta num
artigo do Elon Lages Lima publicado na Eureka), resolvi enviar para a lista. Se
alguém puder resolver, fico muito agradecido... Eis a questão:
Para todo n em N, ponha x_n = { (n+1)^2 / [n(n+2)] }^n e prove por indução que
se tem x_n (n+2)/(n+1). Conclua que a seqüência de termo geral x_n
=[(n+1)/n]^n é crescente.
Sugestão: x_(n+1)=[(n+2)/(n+1)]^3.[n/(n+3)].x_n. (será que está certo
isso???).
Obrigado,
Eder
[obm-l] RE: [obm-l] indução finita
Sauda¸c~oes, oi Eder,
Embora não usando a sugestão do Elon, nos exercícios 11 e 56 do
Manual de Indução (ver www.escolademestres.com) demonstro
tal resultado.
E acredito que no exercício 12 você encontre elementos para fazer a
demonstração como sugerido.
Abraços,
Luis
Date: Sun, 9 Jan 2011 05:56:07 -0800
From: eder_it...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] indução finita
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pessoal,
Depois de passar muito tempo meditando sobre o exercício abaixo (consta num
artigo do Elon Lages Lima publicado na Eureka), resolvi enviar para a lista. Se
alguém puder resolver, fico muito agradecido... Eis a questão:
Para todo n em N, ponha x_n = { (n+1)^2 / [n(n+2)] }^n e prove por indução que
se tem x_n (n+2)/(n+1). Conclua que a seqüência de termo geral x_n
=[(n+1)/n]^n é crescente.
Sugestão: x_(n+1)=[(n+2)/(n+1)]^3.[n/(n+3)].x_n. (será que está certo
isso???).
Obrigado,
Eder
[obm-l] Re:[obm-l] Indução finita
Olá, para n=1, temos: 2 = 0 para n=2, temos: 4 = 3 para n=3, temos: 8 = 8 para n=4, temos: 16 = 15 ok.. vimos para alguns casos.. na verdade, para inducao, basta ser verdadeiro para 1 caso.. Suponha verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1. 2^k = k^2 - 1 multiplicamos por 2.. entao: 2^(k+1) = 2k^2 - 2 sabemos que (k+1)^2 - 1 = k^2 + 2k (2k^2 - 2) - (k^2 + 2k) = k^2 - 2k - 2 = k^2 - 2k - 1 - 1 = (k-1)^2 - 1 = 0, para k0 assim: 2k^2 - 2 = k^2 + 2k = (k+1)^2 - 1 assim: 2^(k+1) = 2k^2 - 2 = (k+1)^2 - 1 logo: 2^(k+1) = (k+1)^2 - 1 cqd. abraços, Salhab Provar que 2^n =n^2 -1 == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == ===
[obm-l] Indução finita
Provar que 2^n =n^2 -1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Indução finita
Mensagem Original: Data: 22:00:07 19/07/2006 De: Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Indução finita Provar que 2^n =n^2 -1= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Solução 1°) P(1) é verdadeira pois 2^1=1^2 2°) Admitamos que P(K), K pertencente Naturais não nulo, seja verdadeira: 2^k=k^2 (hipótese da indução) e provemos que 2^(k+1)= (k+1)^2 Temos: 2^(k+1)= 2^k*2=k^2+2k+1k^2 C.Q.D. []'s Saulo. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Indução finita (mais um...)
Como eu faço isso? Verifique que 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3 Tentei somar (2n + 1)^2 dos dois lados, mas me embolei com o segundo membro... Não consigo fazer sair um (n+1)(4(n+1)^2 + 1)/3. Alguma sugestão? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Indução finita (mais um...)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Em Monday 25 August 2003 22:51, Henrique Patrício Sant'Anna Branco escreveu: Como eu faço isso? Verifique que 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3 [...] A sua fórmula está errada: Para n = 1, a soma vale (2*1 - 1)^2 = 1, que deveria ser igual a 1(4*1^2 + 1)/3 = 5/3. Acho que a fórmula correta é n(4n^2 - - 1)/3. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.2 (GNU/Linux) iD8DBQE/SsSDalOQFrvzGQoRAj3XAKCuzY6vnqHy0qhgVTRn5hsrCArlKACfRxA/ aAKzr8OFIWOSZsvHUIzUKxg= =DAqq -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita (mais um...)
Como eu faço isso? Verifique que 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3 Corrigindo... n(4n^2 - 1)/3 e não n(4n^2 + 1)/3. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Indução finita (mais um...)
Hah um engano, a expressao dada nao pode ser a soma dos quadrados dos n primeiros numeros impares, pois, para n=1, ela teria que dar 1, e nao 5/3. Acho que o certo eh n(4n^2 - 1)/3. Jah que temos uma sugestao para a formula, vamos verificar por inducao finita. Para n=1, obtemos 1 - OK. Admitindo-se que a formula valha para algum natural n e sendo S_n a soma dos quadrados dos n primeiros numeros impares, temos que S_n+1 = S_n + (2n+1)^2 = n(4n^2 - 1)/3 + (2n+1)^2 = n(2n-1)(2n+1)/3 + (2n+1)^2 = (2n+1) [n(2n-1)+3(2n+1)]/3 = (2n+1)[2n^2+5n+3]/3= (2n+1)(n+1)(2n+3)/3 = (n+1)(2n+1)(2n+3)/3. Dado que S_n = n(4n^2 - 1)/3 = n(2n-1)(2n+1)/3, vemos que a expressao de S_n+1 eh obtida de S_n substituindo-se n por n+1. Isto completa a inducao e mostra que a formula eh valida (a corrigida, nao a original). O que temos aqui eh a soma dos quadrados dos n primeiros termos de uma PA, no caso a PA dos numeros impares. Existe uma formula geral (dificil de se guardar) para a soma dos n primeiros termos de uma PA elevados a k, poderiamos simplesmente aplicar tal formula sem recorrer a inducao finita. Sabemos que esta formula corresponde a um polinomio do grau k+1 em n no qual o termo independente eh nulo. Logo, no caso temos um pol. Do grau 3 em n com termo independente nulo. Basedos nisto, uma forma mais simples de checarmos se a expressao eh correta, e que evita o algebrismo que realizamos, eh verificar se a mesma eh um pol. em n (e de fato eh), se o termo independente eh nulo (claramente eh) e se a expressao bate para n=1 , 2 e 3 (existe um e apenas um pol. do terceiro grau que atende a estas condicoes). Verificamos sem muito esforco que este eh o caso, conclusao que valida a formula. Provas por inducao finita sao interessantes, mas exigem que se conheca previamente a conclusao que se deseja provar. Assim, para aplica-las, vc tem, seja porque analisou o problema, seja porque (como no caso) alguem lhe disse ou seja porque vc teve uma especie de inspiracao divina, que desconfiar previamente que sua formula ou conclusao eh valida Finalizo sugerindo a vc um problema simples e interessante a ser resolvido por inducao: baseado em que a soma dos n primeiros naturais eh dada por n(n+1)/2, mostre que a soma dos cubos dos n primeiros naturais eh o quadrado da soma dos mesmos, Espero ter ajudado um pouco. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] INDUÇÃO FINITA
Olá a todos, Tentei provar por indução finita, mas chego num ponto que não consigo mais "sair". Alguém poderia me dar um "forçinha" para continuar? Provar f(x + np) = f(x)1º) n = 1 (VERDADEIRO)Portanto, f(x + p) = f(x)2º) n = k, (VERDADEIRO)Portanto, f(x + kp) = f(x)3º) n = k + 1f(x + (k + 1)p) = f(x + kp + p) = f(f(x) + p) (??) Como continuo? Obrigado pela atençãoNelsonYahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] INDUÇÃO FINITA
Ta faltando o enunciado, neh? Presumo que seja Se f eh uma funçao periodica de periodo p entao... Em Wed, 16 Jul 2003 15:53:22 -0300 (ART), Nelson alotiab [EMAIL PROTECTED] disse: Olá a todos, Tentei provar por indução finita, mas chego num ponto que não consigo mais sair. Alguém poderia me dar um forçinha para continuar? Provar f(x + np) = f(x) 1º) n = 1 (VERDADEIRO) Portanto, f(x + p) = f(x) 2º) n = k, (VERDADEIRO) Portanto, f(x + kp) = f(x) 3º) n = k + 1 f(x + (k + 1)p) = f(x + kp + p) = f(x+kp)(pois f eh periodica de periodo p) = f(x) (pela hipotese de induçao) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] INDUÇÃO FINITA
Ta faltando o enunciado, neh? Presumo que seja Se f eh uma funçao periodica de periodo p entao... Em Wed, 16 Jul 2003 15:53:22 -0300 (ART), Nelson alotiab [EMAIL PROTECTED] disse: Olá a todos, Tentei provar por indução finita, mas chego num ponto que não consigo mais sair. Alguém poderia me dar um forçinha para continuar? Provar f(x + np) = f(x) 1º) n = 1 (VERDADEIRO) Portanto, f(x + p) = f(x) 2º) n = k, (VERDADEIRO) Portanto, f(x + kp) = f(x) 3º) n = k + 1 f(x + (k + 1)p) = f(x + kp + p) = f(x+kp)(pois f eh periodica de periodo p) = f(x) (pela hipotese de induçao) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Indução Finita
O Luis Lopes, que participa deste forum, é autor de um livro sobre o Método da Indução Finita. Estou mandando esta nota porque o Luis - que conheço pessoalmente - pode achar que, se responder "espontaneamente", estaria fazendo promoção comercial. JF - Original Message - From: BOL To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 01, 1998 5:10 AM Subject: [obm-l] Indução Finita Alguém poderia me sugerir livros, sites na net ou similares sobre o princípio da indução finita? Pode ser referências em Inglês, espanhol ou português. (Além daquele artigo da revista eureka nº 3) Obrigado Denisson
[obm-l] Indução Finita
Alguém poderia me sugerir livros, sites na net ou similares sobre o princípio da indução finita? Pode ser referências em Inglês, espanhol ou português. (Além daquele artigo da revista eureka nº 3) Obrigado Denisson
[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita
From: Helder Suzuki<[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Induo finita Date: Sat, 23 Mar 2002 19:15:33 -0300 (ART) Ol pessoal, como posso provar, usando induo finita, que (x-1)^x x^(x-1) para todo x3 natural ? ,Hlder _ANSWER Vamos provar que n((n+1)/n)^n((estrela)).Vamos de PIF.Prove que para n3 da certo.E com isso na mao,vamos provar.Como (n+1)/n(n+2)/(n+1),eleva tudo a n+1 e pronto!E so arranjar um jeito de usar((estrela)).Gostou? __ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista <[EMAIL PROTECTED]> = Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/BR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Indução finita
Olá pessoal, como posso provar, usando indução finita, que (x-1)^x x^(x-1) para todo x3 natural ? ,Hélder ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita
Caso base: mostrar que pra x=4 funciona (8164) Indução: (x-1)^x x^(x-1) Multiplicando os dois lados por [x^(x+1)]/[(x-1)^x] temos x^(x+1) x^(x-1) * x^(x+1) / (x-1)^x x^(x+1) x^(2x) / (x-1)^x x^(x+1) [ x^2 / (x-1) ]^x Mas podemos ver que x^2 / (x-1) x+1, porque x^2 (x-1)*(x+1) x^2 x^2 - 1. Então x^(x+1) [ x^2 / (x-1) ]^x (x+1)^x , x^(x+1) (x+1)^x - Juliana - Original Message - From: Helder Suzuki [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 23, 2002 7:15 PM Subject: [obm-l] Indução finita Olá pessoal, como posso provar, usando indução finita, que (x-1)^x x^(x-1) para todo x3 natural ? ,Hélder ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
