Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!
Mas isto e fatoraçao! --- Maurizio [EMAIL PROTECTED] escreveu: Cláudio Achei interessante sua resolução... Mas gostaria de ver por fatoração, tem técnicas de desigualdades que estão um pouco acima do que eu sei fazer... Por isso recorri à lista Gostaria de ver uma resolução diferente se possível Obrigado At 19:07 28/4/2004, you wrote: E tudo na base da ignorancia! Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 28.04.04 15:43, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote: Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda: (= é maior ou igual a) Prove que: 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 = 0 Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x). Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2. Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores distintos de x. Isso nao garante que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a possibilidade. Expandindo, obtemos: f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2. Do que isso pode ser o quadrado? O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma: f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2 O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)! x, que deve ser igual a 4yz(y+z). Isso indica que a = b = 2. Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre nao negativo. Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.download.yahoo.com/messenger/Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!
Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda: (= é maior ou igual a) Prove que: 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 = 0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!
on 28.04.04 15:43, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote: Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda: (= é maior ou igual a) Prove que: 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 = 0 Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x). Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2. Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores distintos de x. Isso nao garante que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a possibilidade. Expandindo, obtemos: f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2. Do que isso pode ser o quadrado? O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma: f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2 O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)x, que deve ser igual a 4yz(y+z). Isso indica que a = b = 2. Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre nao negativo. Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!
Cara, como é uma soma, vc pode fazer o seguinte: faça a = 4x(x+y)(x+z)(x+y+z) e analise as raízes e faça b = y^2z^2 = 0 e analise as raízes Dai ponha isso na tabela de equação-produto e analise o sinal de a + b. Fazendo isso, vc descobre para quais valores a + b =0. Espero ter ajudado. Abração Alan Pellejero Maurizio [EMAIL PROTECTED] wrote: Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda:(= é maior ou igual a)Prove que:4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 = 0=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!
E tudo na base da ignorancia!Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 28.04.04 15:43, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote: Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda: (= é maior ou igual a) Prove que: 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 = 0Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x).Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2.Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores "distintos" de x. Isso nao garanteque f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar apossibilidade. Expandindo, obtemos:f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2.Do que isso pode ser o quadrado?O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma:f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)x, que deve ser igual a 4yz(y+z).Isso indica que a = b = 2.Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh semprenao negativo.Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora dumaprova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir...[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!
Cláudio Achei interessante sua resolução... Mas gostaria de ver por fatoração, tem técnicas de desigualdades que estão um pouco acima do que eu sei fazer... Por isso recorri à lista Gostaria de ver uma resolução diferente se possível Obrigado At 19:07 28/4/2004, you wrote: E tudo na base da ignorancia! Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 28.04.04 15:43, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote: Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda: (= é maior ou igual a) Prove que: 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 = 0 Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x). Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2. Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores distintos de x. Isso nao garante que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a possibilidade. Expandindo, obtemos: f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2. Do que isso pode ser o quadrado? O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma: f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2 O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)! x, que deve ser igual a 4yz(y+z). Isso indica que a = b = 2. Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre nao negativo. Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!
Title: Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me! Bom, se voce reparar, o que eu fiz foi encontrar uma fatoracao de f(x) usando um pouco de tentativa e erro. Vamos tentar algo diferente - agrupar por potencias de z: 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 = 4x(x+y)(z^2 + (2x+y)z + x(x+y)) + y^2z^2 = (4x^2 + 4xy + y^2)z^2 + 4x(x+y)(2x+y)z + 4x^2(x+y)^2 = (2x+y)^2z^2 + 2*2x(x+y)*(2x+y)z + (2x(x+y))^2 = ((2x+y)z + 2x(x+y))^2 = 0. Realmente, bem melhor que a primeira solucao... []s, Claudio. on 28.04.04 19:57, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio Achei interessante sua resolução... Mas gostaria de ver por fatoração, tem técnicas de desigualdades que estão um pouco acima do que eu sei fazer... Por isso recorri à lista Gostaria de ver uma resolução diferente se possível Obrigado At 19:07 28/4/2004, you wrote: E tudo na base da ignorancia! Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 28.04.04 15:43, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote: Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda: (= é maior ou igual a) Prove que: 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 = 0 Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x). Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2. Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores distintos de x. Isso nao garante que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a possibilidade. Expandindo, obtemos: f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2. Do que isso pode ser o quadrado? O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma: f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2 O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)! x, que deve ser igual a 4yz(y+z). Isso indica que a = b = 2. Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre nao negativo. Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir... []s, Claudio.
