[obm-l] Matriz Simétrica
Alguém pode ajudar nesta questão! Prove que uma matriz simétrica 3x3 só possui autovalores reais.Warley F Souza
[obm-l] Re: [obm-l] Matriz Simétrica
Oi Warley. De um modo mais geral, uma matriz real simétrica nxn só terá autovalores reais. Seja u um autovalor da matriz simétrica A, e v o autovetor correspondente. Temos Av = uv. Vou denotar por [x] o complexo conjugado de x e por Y* a transposta de Y. Segue também que [Av] = A[v] (pois A é real) = [uv] = [u][v]. Portanto, [u] também é autovalor de A. Por outro lado, [v]*A = [v]*A* = (A[v])* = ([u][v])* = [u][v]*, e, fazendo o produto interno, temos u([v]*[v]) = [v]*(uv) = [v]*(Av) = ([v]*A)v = ([u][v]*)v = [u]([v]*[v]) => (u - [u])([v]*[v]) = 0. O termo [v]*[v] é simplesmente o quadrado da norma de v, que, como autovetor, não pode ser 0. Portanto, u - [u] = 0, o que implica que u é real. []s, Daniel. Em 9 de setembro de 2010 22:01, warley ferreira escreveu: > Algúem poderia me ajudar! > Mostre que uma matriz simétrica 3x3 só possui autovalores reais. > > Warley F Souza > > >
[obm-l] Matriz Simétrica
Algúem poderia me ajudar! Mostre que uma matriz simétrica 3x3 só possui autovalores reais. Warley F Souza
RE: [obm-l] Matriz Simétrica
Olá Salhab!Não sei se vc observou, mas no enunciado do problema, o corpo é o dos números complexos. Assim, A é simétrica e não autoadunta (A <> A*). Para fazer do resultado que vc falou, é preciso mostrar que A é uma matriz normal (AA* = A*A). E no caso complexo, uma matriz P é ortogonal (unitária) quando PP* = I = P*P, ou seja, sua inversa é igual a transposta conjugada. Além, um bom execício é verificar que o problema proposto não é verdadeiro no caso de A ser uma matriz real.De qualquer forma, vou tentar entender melhor seus argumentos, pois pode ser que eu não tenha entendido o que exatamente vc escreveu.Grato, FranciscoOBS.: A* = transposta conjugada de A|- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -| |Francisco| |Site: http://aulas.mat.googlepages.com | |Blog: http://morfismo.blogspot.com | |- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -| > Date: Wed, 25 Jul 2007 02:29:36 -0300> From: [EMAIL PROTECTED]> To: > obm-l@mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] Matriz Simétrica> > Olá,> > toda > matriz simetrica é diagonalizavel, assim:> D = C^-1AC e a matriz > diagonalizante é ortogonal, entao: A = CDC^t> podemos dizer que D = EE ... > onde e_ij = sqrt(d_ij), pois D é diagonal..> assim: A = CEEC^t ... fazendo: > B^t = CE, temos que: B = E^tC^t = EC^t,> pois E tambem é diagonal...> logo: > A = B^tB..> assim, para toda matriz simetrica, existe B, tal que A = B^tB..> > > abracos,> Salhab> > > > On 7/23/07, Francisco <[EMAIL PROTECTED]> wrote:> > >> > Olá.> >> > Alguém poderia me ajudar no problema de álgbera linear logo > abaixo?> >> > Seja A uma matriz complexa nxn. Mostre que se A é simétrica (A > = A^t), então> > existe uma matriz B (complexa) tal que A = (B^t) B.> >> > > Notação: A^t = matiz transposta de A.> >> > Obs.: No caso em que A é uma > matriz real, o resultado acima não é> > verdadeiro!> >> > Grato desde já,> > > Francisco.> >> > |- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - > -|> > |Francisco|> > |Site: > http://aulas.mat.googlepages.com |> > |Blog: > http://morfismo.blogspot.com |> > |- - - - - - - - - - - - - - - - - - > - - -|> >> > > > Receba as últimas notícias > do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com> > Alertas MSN! É GRÁTIS! > Assine já!> > > => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> > = _ Instale o novo Windows Live Messenger! É grátis! http://get.live.com/messenger/overview
Re: [obm-l] Matriz Simétrica
Olá, toda matriz simetrica é diagonalizavel, assim: D = C^-1AC e a matriz diagonalizante é ortogonal, entao: A = CDC^t podemos dizer que D = EE ... onde e_ij = sqrt(d_ij), pois D é diagonal.. assim: A = CEEC^t ... fazendo: B^t = CE, temos que: B = E^tC^t = EC^t, pois E tambem é diagonal... logo: A = B^tB.. assim, para toda matriz simetrica, existe B, tal que A = B^tB.. abracos, Salhab On 7/23/07, Francisco <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olá. Alguém poderia me ajudar no problema de álgbera linear logo abaixo? Seja A uma matriz complexa nxn. Mostre que se A é simétrica (A = A^t), então existe uma matriz B (complexa) tal que A = (B^t) B. Notação: A^t = matiz transposta de A. Obs.: No caso em que A é uma matriz real, o resultado acima não é verdadeiro! Grato desde já, Francisco. |- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -| |Francisco| |Site: http://aulas.mat.googlepages.com | |Blog: http://morfismo.blogspot.com | |- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -| Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! Assine já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Matriz Simétrica
Olá.Alguém poderia me ajudar no problema de álgbera linear logo abaixo?Seja A uma matriz complexa nxn. Mostre que se A é simétrica (A = A^t), então existe uma matriz B (complexa) tal que A = (B^t) B.Notação: A^t = matiz transposta de A.Obs.: No caso em que A é uma matriz real, o resultado acima não é verdadeiro!Grato desde já, Francisco.|- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -| |Francisco| |Site: http://aulas.mat.googlepages.com | |Blog: http://morfismo.blogspot.com | |- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -| _ Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! http://alertas.br.msn.com/
