[obm-l] naturais
Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: "Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3." Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato
RE: [obm-l] naturais
Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] naturais
Cuidado: nada obriga a == b == c (usando a sua notaç~ao para congruência) módulo 3. Eu acho que (para n~ao ter que fazer as 2^3 contas) dá pra fazer assim: Se x == 1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Se x == 2 == -1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Daí, se x !== 0 (mod 3) , ou seja, x n~ao é múltiplo de 3, temos x == 1 ou x == -1, ent~ao x^2 == 1 das duas formas. Daí, a^2 == 1, e o mesmo vale para b^2 e c^2. Daí, temos 1 + 1 + 1 == 0 e a^2 + b^2 + c^2 == 0. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/25/05, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] naturais
Simples! Teste para as possiveis ternas de naturais nao multiplas de 3. Melhor ainda: se n nao e multiplo de 3 entao (n^2-1) e multiplo de 3. Uma demo: (n+1)n(n-1) e multiplo de 3, pois sao 3 naturais consecutivos, e nao tem como nenhum deles nao ser um multiplo de 3 Pela hipotese nos sabemos que esse cara nao e n. Entao (n+1)(n-1) e multiplo de 3. Agora e so ver que (a^2-1) + (b^2-1) + (c^2-1) + 3 e multiplo de 3 pois cada parcela e multipla de 3. --- Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] naturais
Bem, diga-se de passagem isto e equivalente a testar para as trincas de naturais abaixo: (1,1,1) (1,1,2) (1,2,2) (2,2,2) E e porrada! --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] naturais
Ola Bernardo, E eu nao disse isso... Apenas o exemplo que usei eraam todos ==1. Mas e obvio que o raciocinio e o mesmo, tanto no caso ==1, ==2 e suas combinacoes. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1050,250805 From: Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 15:42:48 +0200 Cuidado: nada obriga a == b == c (usando a sua notaç~ao para congruência) módulo 3. Eu acho que (para n~ao ter que fazer as 2^3 contas) dá pra fazer assim: Se x == 1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Se x == 2 == -1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Daí, se x !== 0 (mod 3) , ou seja, x n~ao é múltiplo de 3, temos x == 1 ou x == -1, ent~ao x^2 == 1 das duas formas. Daí, a^2 == 1, e o mesmo vale para b^2 e c^2. Daí, temos 1 + 1 + 1 == 0 e a^2 + b^2 + c^2 == 0. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/25/05, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] naturais e singularidades
--- Renato Ghini Bettiol [EMAIL PROTECTED] wrote: Duas questoes interessantes e simples de serem resolvidas: 1. Sejam a,b,c,d numeros inteiros positivos tais que a/bc/d. Mostrar que a/b(a+c)/(b+d)c/d. Essa afirmaçao pode ser usada para mostrar que entre dois numeros racionais positivos diferentes sempre existe um outro numero racional positivo? Bem, parece que sim. 2. Sejam a,b,c reais nao nulos tais que 1/a+1/b+1/c = 1/(a+b+c) Mostrar que um deles é o simetrico de outro, ou seja, a=-b ou a=-c ou b=-c... Para reais a,b,c quaisquer, vale: (a+b)(a+c)(b+c)= a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b+2abc Do problema, (ab+ac+bc)(a+b+c) = abc Ou a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b+3abc = abc O que da a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b+2abc = 0 E fim! Vale a diversão, Abraço e bom final de semana a todos, Renato Bettiol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] naturais e singularidades
Duas questoes interessantes e simples de serem resolvidas: 1. Sejam a,b,c,d numeros inteiros positivos tais que a/bc/d. Mostrar que a/b(a+c)/(b+d)c/d. Essa afirmaçao pode ser usada para mostrar que entre dois numeros racionais positivos diferentes sempre existe um outro numero racional positivo? 2. Sejam a,b,c reais nao nulos tais que 1/a+1/b+1/c = 1/(a+b+c) Mostrar que um deles é o simetrico de outro, ou seja, a=-b ou a=-c ou b=-c... Vale a diversão, Abraço e bom final de semana a todos, Renato Bettiol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] naturais e singularidades
Duas questoes interessantes e simples de serem resolvidas: 1. Sejam a,b,c,d numeros inteiros positivos tais que a/bc/d. Mostrar que a/b(a+c)/(b+d)c/d. Essa afirmaçao pode ser usada para mostrar que entre dois numeros racionais positivos diferentes sempre existe um outro numero racional positivo? 2. Sejam a,b,c reais nao nulos tais que 1/a+1/b+1/c = 1/(a+b+c) Mostrar que um deles é o simetrico de outro, ou seja, a=-b ou a=-c ou b=-c... Vale a diversão, Abraço e bom final de semana a todos, Renato Bettiol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] naturais e singularidades
Duas questoes interessantes e simples de serem resolvidas: 1. Sejam a,b,c,d numeros inteiros positivos tais que a/bc/d. Mostrar que a/b(a+c)/(b+d)c/d. Essa afirmaçao pode ser usada para mostrar que entre dois numeros racionais positivos diferentes sempre existe um outro numero racional positivo? 2. Sejam a,b,c reais nao nulos tais que 1/a+1/b+1/c = 1/(a+b+c) Mostrar que um deles é o simetrico de outro, ou seja, a=-b ou a=-c ou b=-c... Vale a diversão, Abraço e bom final de semana a todos, Renato Bettiol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Naturais
Olá pessoal, Alguém consegue entender a tabela de periodo natural do site: http://www.sweb.cz/vladimir_ladma/english/notes/texts/naturalp.htm Ps: É em inglês, mas o problema está mais com a tabela do que com o texto.
Re: [obm-l] Naturais
O elemento situado na linha "i" e coluna "j" é igual ao resto da divisão de i^j por j. Isso também pode ser expresso como i^j mod j. Assim, por exemplo: 2^5 = 32 deixa resto 2 na divisão por 5 == A(2,5) = 2. 7^4 = 2401 deixa resto 1na divisão por 4 == A(7,4) = 1. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 04, 2003 6:35 AM Subject: [obm-l] Naturais Olá pessoal, Alguém consegue entender a tabela de periodo natural do site: http://www.sweb.cz/vladimir_ladma/english/notes/texts/naturalp.htm Ps: É em inglês, mas o problema está mais com a tabela do que com o texto.
