[obm-l] Olimpíadas ao Redor do Mundo
Eis um problema legal: Temos três caixas, cada uma com pelo menos uma bolinha dentro. Podemos dobrar o total de bolinhas de uma das caixas, tirando as bolinhas de uma das outras caixas para tal. É possível esvaziar uma das caixas, fazendo uma escolha acertada de operações permitidas? -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo...
Quais os inteiros positivos a e b tais que ((raíz cubica de a)+(raíz cubica de b) - 1)^2=49+20(raíz cúbica de 6). ps- para os fisicos não existe evento impossível, mas sim improvávelnão existe a mínima probabilidade de duas pessoas resolverem um exercicio da mesma forma??? Como provar um plágio em matemática. Crom
[obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo...
Alguém já resolveu esses problemas??? 1) Determine o valor máximo do produto xy se os números reais x e y satisfazem a relação: y(1+x^2)=x(sqrt(1-4y^2)-1). 2) Uma sequência de números primos ( p_1,p_2,...,p_n), satisfaz à segunte condição: para n=3, p_n é o maior divisor primo de p_(n-1) + p_(n-2) + 2000. Mostre que a sequência ( p_n ) é limitada. Agradeço quem puder resolver Korshinói
Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Esse ai ja caiu no Torneio das Cidades,e ja resolvi ha algum tempo.Tente mostrar que o produto das tangentes e igual a soma das mesmas.Alias,envie algumas soluçoes pra Eureka![EMAIL PROTECTED] wrote: Estou resolvendo o exercício abaixo, quase todo por inspeção. Calculei tg de 15 graus, tg de 75 graus, arctgb=2, obtendo b=60graus mais um acréscimo x.., arctga=3, obtendo a=75 graus menos y e assim por diante...Ja da para concluir algumas coisas, mas gostaria de saber se existe um caminho menos braçal, ou, se não houver, gostaria que me confirmassem... Desde já agradeço, Crom.Espanha-1998As tangentes dos ãngulos de um triângulo são inteiros positivos. Determine estes números. Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
[obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Estou resolvendo o exercício abaixo, quase todo por inspeção. Calculei tg de 15 graus, tg de 75 graus, arctgb=2, obtendo b=60graus mais um acréscimo x.., arctga=3, obtendo a=75 graus menos y e assim por diante...Ja da para concluir algumas coisas, mas gostaria de saber se existe um caminho menos braçal, ou, se não houver, gostaria que me confirmassem... Desde já agradeço, Crom. Espanha-1998 As tangentes dos ãngulos de um triângulo são inteiros positivos. Determine estes números.
Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Em Dom 22 Jun 2003 18:49, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Estou resolvendo o exercício abaixo, quase todo por inspeção. Calculei tg de 15 graus, tg de 75 graus, arctgb=2, obtendo b=60graus mais um acréscimo x.., arctga=3, obtendo a=75 graus menos y e assim por diante...Ja da para concluir algumas coisas, mas gostaria de saber se existe um caminho menos braçal, ou, se não houver, gostaria que me confirmassem... Desde já agradeço, Crom. Espanha-1998 As tangentes dos ãngulos de um triângulo são inteiros positivos. Determine estes números. Abra tg(a+b+c) = tg(pi) = 0. Depois de um monte de conta, você chega a [tg(a) + tg(b) + tg(c) - tg(a)tg(b)tg(c)]/ /[1 - tg(a)tg(b) - tg(b)tg(c) - tg(c)tg(a)] = 0 Como o denominador não é zero (porquê?), precisamos apenas resolver x + y + z = xyz nos inteiros positivos. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+9ipualOQFrvzGQoRAlV5AJ9sLwgCsxt158S6sVFfApQAu3pvQACgiiVa uXe2yRxvepBvU52NBNwzfu8= =xww4 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Dizer q os numeros a,b,c sao tangentes de um triangulo eh equivalente a dizer que a+b+c=abc. Logo, basta resolver essa eq. nos inteiros positivos.. 1/(bc) + 1/(ac) + 1/(ab) = 1... Agora, nao eh dificil ver que a unica solucao nos inteiros positivos de * 1/x+1/y+1/z = 1 com x=y=z eh (x,y,z)=(2,3,6) (note que ninguem pode ser 1. tmb nao se pode ter x=y=2, pois isso daria 1/z=0.. logo, 1/x+1/y = 1/2+1/3 = 5/6, de modo que 1/z=1/6 ou z=6. ai vc testa rapidinho os casos q sobram). Supondo, spg, ab=bc=ac: ab=2, bc=3, ac=6, logo a=2, b=1, c=3.. Resp: Os nrs sao 1,2,3. Deve ser mais simples que isso resolver a+b+c=abc.. eh que eu ja sabia * e foi mais facil pra mim assim.. Marcio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 22, 2003 6:49 PM Subject: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo Estou resolvendo o exercício abaixo, quase todo por inspeção. Calculei tg de 15 graus, tg de 75 graus, arctgb=2, obtendo b=60graus mais um acréscimo x.., arctga=3, obtendo a=75 graus menos y e assim por diante...Ja da para concluir algumas coisas, mas gostaria de saber se existe um caminho menos braçal, ou, se não houver, gostaria que me confirmassem... Desde já agradeço, Crom. Espanha-1998 As tangentes dos ãngulos de um triângulo são inteiros positivos. Determine estes números. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Oi para todos! Sejam x, y e z=180º-(x+y) os 3 ângulos do triângulo. Usando tg(x+y) = (tg(x) + tg(y))/(1 - tg(x)tg(y)) e tg(180º-x) = -tg(x), tg(z) = (tg(x) + tg(y))/(tg(x)tg(y) -1) Então basta resolver a equação a = (b+c)/(bc-1) = abc -a =b+c = abc = a+b+c. É fácil ver que (1,2,3) é resposta Falta provar que essa é a única resposta. Se não me engano isso caiu na Unicamp em 2001 (2ª fase) André T. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 22, 2003 6:49 PM Subject: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo Estou resolvendo o exercício abaixo, quase todo por inspeção. Calculei tg de 15 graus, tg de 75 graus, arctgb=2, obtendo b=60graus mais um acréscimo x.., arctga=3, obtendo a=75 graus menos y e assim por diante...Ja da para concluir algumas coisas, mas gostaria de saber se existe um caminho menos braçal, ou, se não houver, gostaria que me confirmassem... Desde já agradeço, Crom.Espanha-1998As tangentes dos ãngulos de um triângulo são inteiros positivos. Determine estes números.
Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
So uma pergunta:voce nao confia em si mesmo?Sem querer ser grosseiro,claro...[EMAIL PROTECTED] wrote: Resolvi o problema abaixo, mas gostaria de ver( se possível ) a solução de outros da lista e poder concluir se a minha é a mais otimizada ou não ( ficou grande ). Problema:Eduardo escreveu todos os produtos, todas as somas e todos os valores absolutos das diferenças dos inteiros positivos a_1,a_2,a_3,.,a_100 tomados dois a dois. Qual o maior número de inteiros ímpares obtidos por Eduardo??ps-Cheguei numa função f(n), que dá o maior número possível de inteiros ímpares obtidos por Eduardopara conseguir esse número máximo de ímpares é necessário que na sequência de cem números inteiros positivos existam 66 ou 67 ímparesSerá que errei nos cálculos??? Um abraço, Crom Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Infelizmente você está sendo grosseiro e arrogante (mesmo sem querer). Eu não vejo problema algum em uma pessoa querer saber se há soluções alternativas para um problema que ela já resolveu. E isso não tem nada a ver com auto-confiança. Acho que as pessoas fazem parte da lista pra aprender e se aperfeiçoar e não pra se mostrar e fazer grosserias, que parece ser o seu caso. Claudio Buffara. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 11, 2003 12:59 PM Subject: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo. So uma pergunta:voce nao confia em si mesmo?Sem querer ser grosseiro,claro...[EMAIL PROTECTED] wrote: Resolvi o problema abaixo, mas gostaria de ver( se possível ) a solução de outros da lista e poder concluir se a minha é a mais otimizada ou não ( ficou grande ). Problema:Eduardo escreveu todos os produtos, todas as somas e todos os valores absolutos das diferenças dos inteiros positivos a_1,a_2,a_3,.,a_100 tomados dois a dois. Qual o maior número de inteiros ímpares obtidos por Eduardo??ps-Cheguei numa função f(n), que dá o maior número possível de inteiros ímpares obtidos por Eduardopara conseguir esse número máximo de ímpares é necessário que na sequência de cem números inteiros positivos existam 66 ou 67 ímparesSerá que errei nos cálculos??? Um abraço,nb! sp; Crom Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Devo lembrar-lhe caro Dirichlet, que Gaus fez três demonstrações de sua tese de doutorado ao longo de sua vidaserá que ele não procurava uma demonstração mais bonita, completa ou elegante??? .Quando pergunto se alguém fez de outro jeito, é porque acredito que vendo diversas resoluções incorporo aos meus arquivos neurais novas referenciasja vi problemas resolvidos de maneiras difrentes com conceitos totalemente diferentes que me ensinaram coisas diferentes. Não sou campeão olímpico e nem tenho esta preocupação...quero retomar o estudo de rudimentos de teoria dos números , bem como questões olimpicas diversas...sou um mero aprendiz de matemática olimpica, , tentando melhorar meus pouquissimos conhecimentos nessa área. Faço isso apenas por realização pessoal...Comecei do zero e hoje , através de comparações com resoluções de outros ja arranho alguns problemas olimpicos. Para que minha mensagem não fique off-topic, Vou mandar um Russo de 2002. Problema: No intervalo ( 2^(2n), 3^(2n)), são escolhidos 2^(2n-1) + 1 números ímpares. Mostre que podemos encontrar entre estes números dois números tais que o quadrado de cada um deles não é divisível pelo outro... Agradeço antecipadamente possíveis soluções... Crom ps- Caro Dirichlet, suas resoluções( presumivelmente ótimas) serão bem vindas...
Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Nao, voce nao errou nos calculos. f(n) = (1/2)*[399n-3*(n^2)] Em Tue, 10 Jun 2003 20:20:16 EDT, [EMAIL PROTECTED] disse: Resolvi o problema abaixo, mas gostaria de ver( se possível ) a solução de outros da lista e poder concluir se a minha é a mais otimizada ou não ( ficou grande ). Problema: Eduardo escreveu todos os produtos, todas as somas e todos os valores absolutos das diferenças dos inteiros positivos a_1,a_2,a_3,.,a_100 tomados dois a dois. Qual o maior número de inteiros ímpares obtidos por Eduardo?? ps-Cheguei numa função f(n), que dá o maior número possível de inteiros ímpares obtidos por Eduardopara conseguir esse número máximo de ímpares é necessário que na sequência de cem números inteiros positivos existam 66 ou 67 ímparesSerá que errei nos cálculos??? Um abraço, Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Nesse problema, é para mostrar que entre qualquer seleção de 2^(2n-1) + 1 ímpares nesse intervalo, sempre existem dois elementos a, b tais que b não divide a² e a não divide b², é isso? [ ]'s - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 11, 2003 6:08 PM Subject: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo. Devo lembrar-lhe caro Dirichlet, que Gaus fez três demonstrações de sua tese de doutorado ao longo de sua vidaserá que ele não procurava uma demonstração mais bonita, completa ou elegante??? .Quando pergunto se alguém fez de outro jeito, é porque acredito que vendo diversas resoluções incorporo aos meus arquivos neurais novas referenciasja vi problemas resolvidos de maneiras difrentes com conceitos totalemente diferentes que me ensinaram coisas diferentes. Não sou campeão olímpico e nem tenho esta preocupação...quero retomar o estudo de rudimentos de teoria dos números , bem como questões olimpicas diversas...sou um mero aprendiz de matemática olimpica, , tentando melhorar meus pouquissimos conhecimentos nessa área. Faço isso apenas por realização pessoal...Comecei do zero e hoje , através de comparações com resoluções de outros ja arranho alguns problemas olimpicos. Para que minha mensagem não fique off-topic, Vou mandar um Russo de 2002.Problema:No intervalo ( 2^(2n), 3^(2n)), são escolhidos 2^(2n-1) + 1 números ímpares. Mostre que podemos encontrar entre estes números dois números tais que o quadrado de cada um deles não é divisível pelo outro...Agradeço antecipadamente possíveis soluções... Cromps- Caro Dirichlet, suas resoluções( presumivelmente ótimas) serão bem vindas...
Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Title: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.
on 11.06.03 18:08, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Devo lembrar-lhe caro Dirichlet, que Gaus fez três demonstrações de sua tese de doutorado ao longo de sua vidaserá que ele não procurava uma demonstração mais bonita, completa ou elegante??? .Quando pergunto se alguém fez de outro jeito, é porque acredito que vendo diversas resoluções incorporo aos meus arquivos neurais novas referenciasja vi problemas resolvidos de maneiras difrentes com conceitos totalemente diferentes que me ensinaram coisas diferentes. Não sou campeão olímpico e nem tenho esta preocupação...quero retomar o estudo de rudimentos de teoria dos números , bem como questões olimpicas diversas...sou um mero aprendiz de matemática olimpica, , tentando melhorar meus pouquissimos conhecimentos nessa área. Faço isso apenas por realização pessoal...Comecei do zero e hoje , através de comparações com resoluções de outros ja arranho alguns problemas olimpicos. Para que minha mensagem não fique off-topic, Vou mandar um Russo de 2002.
Problema:
No intervalo ( 2^(2n), 3^(2n)), são escolhidos 2^(2n-1) + 1 números ímpares. Mostre que podemos encontrar entre estes números dois números tais que o quadrado de cada um deles não é divisível pelo outro...
Agradeço antecipadamente possíveis soluções...
Crom
ps- Caro Dirichlet, suas resoluções( presumivelmente ótimas) serão bem vindas...
Oi, Crom:
Eu chequei o site:
http://www.kalva.demon.co.uk/russian/rus02.html
e o enunciado desse problema lah era o seguinte:
5. 2^(2n-1) odd numbers are chosen from {2^(2n) + 1, 2^(2n) + 2, 2^(2n) + 3, ... , 2^(3n)}. Show that we can find two of them such that neither has its square divisible by any of the other chosen numbers.
Talvez valha a pena voce checar a sua fonte do problema pra ter certeza de qual eh o enunciado correto.
Um abraco,
Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
estou achando esse problema meio
estranho...
se for pra provar que dado qualquer escolha de
2^(2n - 1) + 1 ímpares entre (2^(2n), 3^(2n)) sempre há dois ímpares a, b tais
que a² não divide b² e nem b² divide a²:
se a² | b²
= existe c inteiro tq. b² =
c.a²
= (b - raiz(c).a)(b +
raiz(c).a) = 0
= b = +/- raiz(c).a, como a e b são
inteiros c deve ser quadrado perfeito, c = d² pra um inteiro
= b = +/- d.a = a | b
considere qualquer conjunto ordenado de t = 2^(2n -
1) + 1 ímpares entre (2^(2n), 3^(2n))
{x1, x2, ..., x[t]}
queremos verificar que não há jeito de manter a
propriedade x[i] | x[j] para todo 1 = i = j = t, ou seja é
impossível não haver dois elementos cujos quadrados não podem ser
múltiplo/divisor.
bom, temos que x2 = y1*x1 para algum y1 inteiro, y1
1, pois x2 != x1, além disso y1 != 2 pois x2 é ímpar, logo y1 =
3.
da mesma forma x3 = y2*x2 = y2*y1*x2 e y2 = 3
pelo mesmo raciocínio... logo x3 = 9x1, x4 = 27x1...
x[t] = 3^[2^(2n - 1)]x1, mas isso é bem maior
do que 3^(2n), e isso é o que me cheira estranho problemas desse tipo nunca
deixam uma margem tão folgada assim... será que eu interpretei o problema de
forma errada ou o enunciado está errado, ou ainda, há um erro no meu raciocínio
exposto nesta mensagem?
[ ]'s
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, June 11, 2003 6:08
PM
Subject: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor
do mundo.
Devo lembrar-lhe caro Dirichlet, que Gaus fez três
demonstrações de sua tese de doutorado ao longo de sua vidaserá que ele
não procurava uma demonstração mais bonita, completa ou elegante??? .Quando
pergunto se alguém fez de outro jeito, é porque acredito que vendo diversas
resoluções incorporo aos meus arquivos neurais novas referenciasja vi
problemas resolvidos de maneiras difrentes com conceitos totalemente
diferentes que me ensinaram coisas diferentes. Não sou campeão olímpico e nem
tenho esta preocupação...quero retomar o estudo de rudimentos de teoria dos
números , bem como questões olimpicas diversas...sou um mero aprendiz de
matemática olimpica, , tentando melhorar meus pouquissimos conhecimentos nessa
área. Faço isso apenas por realização pessoal...Comecei do zero e hoje ,
através de comparações com resoluções de outros ja arranho alguns problemas
olimpicos. Para que minha mensagem não fique off-topic, Vou mandar um Russo de
2002.Problema:No intervalo ( 2^(2n), 3^(2n)), são escolhidos 2^(2n-1)
+ 1 números ímpares. Mostre que podemos encontrar entre estes números dois
números tais que o quadrado de cada um deles não é divisível pelo
outro...Agradeço antecipadamente possíveis
soluções...
Cromps- Caro Dirichlet, suas resoluções( presumivelmente ótimas) serão bem
vindas...
[obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Resolvi o problema abaixo, mas gostaria de ver( se possível ) a solução de outros da lista e poder concluir se a minha é a mais otimizada ou não ( ficou grande ). Problema: Eduardo escreveu todos os produtos, todas as somas e todos os valores absolutos das diferenças dos inteiros positivos a_1,a_2,a_3,.,a_100 tomados dois a dois. Qual o maior número de inteiros ímpares obtidos por Eduardo?? ps-Cheguei numa função f(n), que dá o maior número possível de inteiros ímpares obtidos por Eduardopara conseguir esse número máximo de ímpares é necessário que na sequência de cem números inteiros positivos existam 66 ou 67 ímparesSerá que errei nos cálculos??? Um abraço, Crom
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Aqui vai uma para voce
comparar.. Considere os numeros modulo 2 (i.e, como soh a paridade importa, olhe
os pares comoP e os impares como I).
Se existirem k I's, entao tem-se 100-k P's
e:
Para a soma dar impar, voce tem
que somar umaP com um I. Existem portanto k(100-k) somas
impares.
Para a diferenca o resultado eh
igual: k(100-k) (pois a-b e a+b tem a mesma paridade).
Para o produto dar impar, vc
deve pegar dois impares, o que pode ser feito de Binomial (k,2) = k(k-1)/2
modos.
Portanto, o numero total de impares
eh:
f(k) = 2k(100-k) + k(k-1)/2
=(399k-3k^2) /2 = (3/2) * k * (133-k) , com k um natural em
{0,1,...,100}.
Analisando a funcao do 2o grau k(133-k), vemos que
o valor desse dominio na qual ela eh minima eh de fato 66 ou 67, exatamente como
voce afirmou.
Marcio
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, June 10, 2003 9:20
PM
Subject: [obm-l] olimpíadas ao redor do
mundo.
Resolvi o problema abaixo, mas gostaria de ver( se possível
) a solução de outros da lista e poder concluir se a minha é a mais otimizada
ou não ( ficou grande ). Problema:Eduardo escreveu todos os
produtos, todas as somas e todos os valores absolutos das diferenças dos
inteiros positivos a_1,a_2,a_3,.,a_100 tomados dois a dois. Qual o maior
número de inteiros ímpares obtidos por Eduardo??ps-Cheguei numa função
f(n), que dá o maior número possível de inteiros ímpares obtidos por
Eduardopara conseguir esse número máximo de ímpares é necessário que na
sequência de cem números inteiros positivos existam 66 ou 67
ímparesSerá que errei nos
cálculos??? Um
abraço,
Crom
Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Title: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.
on 10.06.03 21:20, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Resolvi o problema abaixo, mas gostaria de ver( se possível ) a solução de outros da lista e poder concluir se a minha é a mais otimizada ou não ( ficou grande ).
Problema:
Eduardo escreveu todos os produtos, todas as somas e todos os valores absolutos das diferenças dos inteiros positivos a_1,a_2,a_3,.,a_100 tomados dois a dois. Qual o maior número de inteiros ímpares obtidos por Eduardo??
ps-Cheguei numa função f(n), que dá o maior número possível de inteiros ímpares obtidos por Eduardopara conseguir esse número máximo de ímpares é necessário que na sequência de cem números inteiros positivos existam 66 ou 67 ímparesSerá que errei nos cálculos???
Um abraço,
Crom
Oi, Crom:
Se voce errou, entao erramos juntos. Veja abaixo...
a, b pares == ab, a+b, a-b pares
a, b impares == ab impar, a+b, a-b pares
a par, b impar (ou vice-versa) == ab par, a+b, a-b impar
Suponha que haja N termos impares e 100 - N termos pares na sequencia.
Entao, teremos:
C(N,2) = N(N-1)/2 pares (nao-ordenados) {impar,impar}
C(100 - N,2) (100-N)(99-N)/2 pares {par,par}
N(100 - N) pares {impar,par}
(Total = C(100,2) = 100*99/2 = 4950 pares)
Cada um dos N(N-1)/2 pares {impar,impar} origina 1 inteiro impar e 2 pares
Cada um dos (100-N)(99-N)/2 pares {par,par} origina 3 inteiro pares
Cada um dos N(100 - N) pares {impar,par} origina 2 inteiros impares e 1 par.
Assim, o numero de inteiros impares gerados eh igual a:
1*N(N - 1)/2 + 2*N(100 - N) =
(N^2 - N + 400N - 4N^2)/2 =
(399N - 3N^2)/2
Esse numero serah maximo para N = (-399)/(2*(-3)) = 66,5 ==
N = 66 ou N = 67 impares ==
em ambos os casos, o numero de impares gerados serah igual a 6633.
Um abraco,
Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
E aí rapaziada!! Tudo bem??Alguém ai tem disposição para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1, existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é composto. Valeu. Crom * Oi, Crom: Imagino que você queira dizer 1 + a + ... + a^(p-1) é composto. Se esse for o caso, teremos: a = 2 == 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^10 = 2^11 -1 = 23*89 == composto. Agora, seja a um inteiro qualquer = 3. Seja p o menor primo que divide a - 1 (como a - 1 = 2,a existência de um tal primo estará assegurada - foi por isso que eu separei o caso a = 2). Então, p também irá dividir a^2 - 1, a^3 - 1, ..., a^(p-1) - 1. Só que: (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 - 1) + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 + a + a^2 + ... + a^(p-1)) - p, ou seja: 1 + a + + a^(p-1) = p + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) Como p divide cada parcela do lado direito (e, portanto, sua soma), concluímos que p também dividirá o lado esquerdo. Como p dividea - 1, teremos que p = a - 1 1 + a = 1 + a + ... + a^(p-1). Logo, 1 + a + ... + a^(p-1)tempelo menos um outro fator primo além de p == 1 + a+ ... + a^(p-1) é composto. Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Ta,eu nao entendi.O que tem a ver o p com o somatorio?[EMAIL PROTECTED] wrote: E aí rapaziada!! Tudo bem??Alguém ai tem disposição para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1, existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é composto. Valeu. Crom Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Nossa , Cláudio...que distração!!! Estava tentando resolver para um natural qualquer...copiei errado e comecei a pensar neleme pareceu absurdo a principio, mas ja quebrei a cara por deixar minha intuição prevalecer em problemas olímpicos...fico feliz com a sua resolução, pois, do jeito que eu copiei o enunciado , realmente o problema não teria sentido.Valeu mais uma vez. Ruy
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Cláudio, eu tive a mesma idéia que você, mas havia expressado de outra forma... seja p um primo tal que a ~ 1 (mod p) a menos de a = 2, esse primo existe, basta pegar um primo que divida a - 1 (como vc bem notou, esse primo existe sempre para a 2). agora note que 1 + a + ... + a^(p-1) ~ 1 + 1 + ... + 1 = p ~ 0 (mod p) ou seja p divide o somatório, como sabemos que p 1 + a + ... + a^(p-1), temos que o número é composto. [ ]'s - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 12:58 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo E aí rapaziada!! Tudo bem??Alguém ai tem disposição para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1, existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é composto. Valeu. Crom * Oi, Crom: Imagino que você queira dizer 1 + a + ... + a^(p-1) é composto. Se esse for o caso, teremos: a = 2 == 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^10 = 2^11 -1 = 23*89 == composto. Agora, seja a um inteiro qualquer = 3. Seja p o menor primo que divide a - 1 (como a - 1 = 2,a existência de um tal primo estará assegurada - foi por isso que eu separei o caso a = 2). Então, p também irá dividir a^2 - 1, a^3 - 1, ..., a^(p-1) - 1. Só que: (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 - 1) + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 + a + a^2 + ... + a^(p-1)) - p, ou seja: 1 + a + + a^(p-1) = p + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) Como p divide cada parcela do lado direito (e, portanto, sua soma), concluímos que p também dividirá o lado esquerdo. Como p dividea - 1, teremos que p = a - 1 1 + a = 1 + a + ... + a^(p-1). Logo, 1 + a + ... + a^(p-1)tempelo menos um outro fator primo além de p == 1 + a+ ... + a^(p-1) é composto. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
É isso aí. A mesma solução, só queem linguagem decongruências. De fato, com congruências fica até mais fácil mostrar o seguinte: Para todo inteiro a 2, existe um primo p tal que: 1 + 2a + 3a^2 + ... + pa^(p-1) é composto (e múltiplo de p). Será que pra a = 2 também vale? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Domingos Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 3:02 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo Cláudio, eu tive a mesma idéia que você, mas havia expressado de outra forma... seja p um primo tal que a ~ 1 (mod p) a menos de a = 2, esse primo existe, basta pegar um primo que divida a - 1 (como vc bem notou, esse primo existe sempre para a 2). agora note que 1 + a + ... + a^(p-1) ~ 1 + 1 + ... + 1 = p ~ 0 (mod p) ou seja p divide o somatório, como sabemos que p 1 + a + ... + a^(p-1), temos que o número é composto. [ ]'s - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 12:58 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo E aí rapaziada!! Tudo bem??Alguém ai tem disposição para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1, existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é composto. Valeu. Crom * Oi, Crom: Imagino que você queira dizer 1 + a + ... + a^(p-1) é composto. Se esse for o caso, teremos: a = 2 == 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^10 = 2^11 -1 = 23*89 == composto. Agora, seja a um inteiro qualquer = 3. Seja p o menor primo que divide a - 1 (como a - 1 = 2,a existência de um tal primo estará assegurada - foi por isso que eu separei o caso a = 2). Então, p também irá dividir a^2 - 1, a^3 - 1, ..., a^(p-1) - 1. Só que: (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 - 1) + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 + a + a^2 + ... + a^(p-1)) - p, ou seja: 1 + a + + a^(p-1) = p + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) Como p divide cada parcela do lado direito (e, portanto, sua soma), concluímos que p também dividirá o lado esquerdo. Como p dividea - 1, teremos que p = a - 1 1 + a = 1 + a + ... + a^(p-1). Logo, 1 + a + ... + a^(p-1)tempelo menos um outro fator primo além de p == 1 + a+ ... + a^(p-1) é composto. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
a =2, p = 5 1 + 2.2 + 3.2² + 4.2³ + 5.2^4= 1 + 4 + 12 + 32 + 80 = 129 = 3*43 - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 4:35 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo É isso aí. A mesma solução, só queem linguagem decongruências. De fato, com congruências fica até mais fácil mostrar o seguinte: Para todo inteiro a 2, existe um primo p tal que: 1 + 2a + 3a^2 + ... + pa^(p-1) é composto (e múltiplo de p). Será que pra a = 2 também vale? Um abraço, Claudio.
[obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
E aí rapaziada!! Tudo bem?? Alguém ai tem disposição para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1, existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é composto. Valeu. Crom
[obm-l] olimpíadas ao redor do mundo....
E aí rapaziadaquero perguntar uma coisa sobre o problema abaixo... 1) Determine n natural, tais que n^2+2 divida 2+2001n. Indo direto a definição, existe k inteiro tal que 2+2001n=n^2*k+2K. A equação do segundo grau subjacente tráz delta=2001^2-8k(k-1). Só existe n natural se delta for um quadrado perfeitocomo determinar os valores de k para que isso aconteça?? No braço??? Se alguém souber, agradeço a ajuda...se alguem conhece outra forma de resolver adoraria conhecer também. Vou aproveitar e mandar outro. 2) No gráfico da parábola y=x^2 no pano cartesiano marcamos os pontos A, B e C(com A entre B e C). No segmento BC marca-se o ponto N de modo que AN seja paralelo ao eixo das ordenadas. Se S1 e S2 são as áreas dos triângulos ABN e ACN, respectivamente, determine a medida do segmento AN.
Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo....
Title: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo on 02.04.03 17:07, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: E aí rapaziadaquero perguntar uma coisa sobre o problema abaixo... 1) Determine n natural, tais que n^2+2 divida 2+2001n. Indo direto a definição, existe k inteiro tal que 2+2001n=n^2*k+2K. A equação do segundo grau subjacente tráz delta=2001^2-8k(k-1). Só existe n natural se delta for um quadrado perfeitocomo determinar os valores de k para que isso aconteça?? No braço??? Se alguém souber, agradeço a ajuda...se alguem conhece outra forma de resolver adoraria conhecer também. Vou aproveitar e mandar outro. 2) No gráfico da parábola y=x^2 no pano cartesiano marcamos os pontos A, B e C(com A entre B e C). No segmento BC marca-se o ponto N de modo que AN seja paralelo ao eixo das ordenadas. Se S1 e S2 são as áreas dos triângulos ABN e ACN, respectivamente, determine a medida do segmento AN. Oi, Crom: A 1a. ja apareceu aqui na lista. Vou dar uma procurada e te mando a solucao se conseguir acha-la. Quanto a sua forma de resolver, eu diria que eh perfeitamente aceitavel, apesar de a solucao poder ser mais complicada do que por outros metodos. Repare, no entanto, que delta = quadrado perfeito eh apenas uma condicao necessaria (mas nao suficiente) para que a equacao do 2o. grau tenha solucoes inteiras, pois pode ser que (2001 +ou- raiz(delta)) nao seja divisivel por 2k. Agora o 2o.: A = (a,a^2), B = (b,b^2), C = (c,c^2) com b a c. Eq. da reta BC: y - b^2 = [(c^2-b^2)/(c-b)](x - b) == y = b^2 + (b+c)(x - b) == y = (b+c)x - bc AN paralelo ao eixo y == A e N tem a mesma abscissa == N = ( a , (b+c)a - bc ) == m(AN) = | (b+c)a - bc - a^2 | = | ba - bc + ca - a^2 | = = | b*(a - c) - a*(a - c) | = | (b - a)*(a - c) | = = (a - b)*(c - a) (lembre-se que b a c) Repare que, aparentemente, temos um problema dimensional: m(AN) = comprimento enquanto que: (a - b)*(c - a) = comprimento^2 No entanto, lembre-se que a equacao da parabola eh y = x^2. Assim, se x e y devem ter a mesma dimensao (comprimento), deve haver uma constante de proporcionalidade k, tal que: k*y = x^2 onde, no caso, k vale 1 unidade de comprimento. Agora, repare que a altura de ABN relativa a base AN e igual a (a - b) == S1 = (1/2)*m(AN)*(a - b) == m(AN) = 2*S1/(a - b) Analogamente voce acha que: m(AN) = 2*S2/(c - a) Multiplicando estas duas ultimas expressoes para m(AN): m(AN)^2 = 4*S1*S2/m(AN) == m(AN)^3 = 4*S1*S2 == m(AN) = (4*S1*S2)^(1/3) Um abraco, Claudio.
[obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo
Apanhei nesses exercicios...quem souber e puder resolvê-los ou dar uma sugestão me ajudará muito. 1)Para os inteiros positivos x e y é verdadeira a igualdade 3x^2+x=4y^2+y. Mostre que x-y é um quadrado perfeito. 2) Determine o número primo p para o qual o número 1+p+p^2+p^3+p^4 é um quadrado perfeito. Saudações a todos os homens de paz e abaixo os invasores. Korshinói
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo...
Nao precisa disso tudo...Analise uma equaçao de segundo grau em x ai ce resolve com deltas e manda balaUse teoria bem elementar dos numeros. Na outra use as definiçoes -- Mensagem original -- E aí moçada.tô mandando uns problemas , na esperança de ajuda... 1) Determine todos os pares de números inteiros ( x,y ) que satisfazem a equação: y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12)=0. neste exercicio fiz o seguinte( baseado na resolução de uma outra equação pelo Claudio pratica), fiz y=x+a, substitui na equação e depois fiz a análise para alguns valores de a que anulavam parcelas da equação achando os pares , (4,4), ( 0,0 ), ( 0,6 ) e (-8,-2 ).Mas como posso analisar as soluções para valores de a que não anulam essas parcelas??? 2) 2n tem 28 divisores distintos, 3n tem 30 divisores distintos...determine o numero de divisores de 6n, onde n é natural??? Se alguem mandar uma ajuda, será de grande valia pra mim, que não tinha contato com matemática olímpica. Está matemática que banaliza a maioria das provas de vestibular e com certeza as provas acadêmicas da faculdade( dada a imprevisibilidade das questões) é tão fascinante quanto complexa...principalmente pra iniciantes como eu. Crom TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo...
E aí moçada.tô mandando uns problemas , na esperança de ajuda... 1) Determine todos os pares de números inteiros ( x,y ) que satisfazem a equação: y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12)=0. neste exercicio fiz o seguinte( baseado na resolução de uma outra equação pelo Claudio pratica), fiz y=x+a, substitui na equação e depois fiz a análise para alguns valores de a que anulavam parcelas da equação achando os pares , (4,4), ( 0,0 ), ( 0,6 ) e (-8,-2 ).Mas como posso analisar as soluções para valores de a que não anulam essas parcelas??? 2) 2n tem 28 divisores distintos, 3n tem 30 divisores distintos...determine o numero de divisores de 6n, onde n é natural??? Se alguem mandar uma ajuda, será de grande valia pra mim, que não tinha contato com matemática olímpica. Está matemática que banaliza a maioria das provas de vestibular e com certeza as provas acadêmicas da faculdade( dada a imprevisibilidade das questões) é tão fascinante quanto complexa...principalmente pra iniciantes como eu. Crom
Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Polinomios simetricos. [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém consegue fatorar??A=x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2. Obrigado Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Coloquei em uma programa de matemática, a resposta foi: Fatorar: x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^2)(y^2) - 2(y^2)(z^2) - 2(z^2)(x^2) Resultado: (x + y + z)·(x + y - z)·(x - y - z)·(x - y + z) Daniel O. Costa - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 04, 2003 2:32 AM Subject: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo Alguém consegue fatorar??A=x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2. Obrigado
[obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Alguém consegue fatorar?? A=x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2. Obrigado
