Re: [obm-l] Problema da IMO
Em sáb., 12 de set. de 2020 às 01:18, Pedro José escreveu: > > Boa noite! > Atrapalhou meu vinho e o filme que estava assistindo mas consegui. Não gostei > tanto, agora que consegui, é muito trabalhoso. > > 2= [3(y+1)(z+1)-1]/2yz > yz= 3(yz+2) (i) > z(y-3)= 3y +2 (ii) > y(z-3)=3z+2 (iii) > (i)*(ii) yz(z-3)(y-3)= 9yz+6(y+z)+4 e Voilá: (z-3)(y-3)=11. > > Saudações, > PJMS > > > > > > Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:35, Pedro José > escreveu: >> >> Boa noite! >> Fui em uma linha parecida com a primeira solução, embora não visse >> necessidade de mudança de variáveis. >> Mas o b achei sempre por restrição. >> Esse "it implies" e aparece um número fatorado, não consegui captar, embora >> tenha gostado do recurso, já que é bem restritivo. >> >> Sudações, >> PJMS >> >> >> Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:08, Pedro José >> escreveu: >>> >>> Boa noite! >>> Grato, Ralph! >>> >>> Estou estudando a solução. Pelo menos, não me decepcionei. A resposta >>> estava correta, >>> >>> Saudações. >>> PJMS >>> >>> Em sex., 11 de set. de 2020 às 22:33, Ralph Costa Teixeira >>> escreveu: Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui: http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José wrote: > > Bom dia! > > Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. > (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 1 > Confesso que desta feita gastei mais tempo que da primeira vez. Curioso, > da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu resolvera, > aí nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não encontrei > nada. Mas no fim, recordei o que havia feito. > (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro. > vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 > e c=a+2 > [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então > (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. > O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. > S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. > S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. > a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c > para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2 k é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução. > > a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3 para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro. > 1 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. > > Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova > solução. > (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) > - 1 logo divide a diferença: > (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então > ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) > Como a=2 ou a=3 > Se a=2. e w>=2 > Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. > Se a=3 > Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b > w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 > 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> > 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 > ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. > Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | c+1 > (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b > a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) > a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), > Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. > Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da > IMO e suas resoluções? O bom e velho MathLinks! Ou melhor, AOPS: https://artofproblemsolving.com/community/c89 A bem da verdade, eu tinha pego minha antiga papelada e convertido uma imensa parte para LaTeX. Entre estas, estavam várias listas de exercícios, além de problemas das IMOs. Em breve vou jogar no Bitbucket. > > Grato! > Saudações, > PJMS > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema da IMO
Boa noite! Atrapalhou meu vinho e o filme que estava assistindo mas consegui. Não gostei tanto, agora que consegui, é muito trabalhoso. 2= [3(y+1)(z+1)-1]/2yz yz= 3(yz+2) (i) z(y-3)= 3y +2 (ii) y(z-3)=3z+2 (iii) (i)*(ii) yz(z-3)(y-3)= 9yz+6(y+z)+4 e Voilá: (z-3)(y-3)=11. Saudações, PJMS Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:35, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Fui em uma linha parecida com a primeira solução, embora não visse > necessidade de mudança de variáveis. > Mas o b achei sempre por restrição. > Esse "it implies" e aparece um número fatorado, não consegui captar, > embora tenha gostado do recurso, já que é bem restritivo. > > Sudações, > PJMS > > > Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:08, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Grato, Ralph! >> >> Estou estudando a solução. Pelo menos, não me decepcionei. A resposta >> estava correta, >> >> Saudações. >> PJMS >> >> Em sex., 11 de set. de 2020 às 22:33, Ralph Costa Teixeira < >> ralp...@gmail.com> escreveu: >> >>> Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui: >>> http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf >>> >>> On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José wrote: >>> Bom dia! Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 1>>> Confesso que desta feita gastei mais tempo que da primeira vez. Curioso, da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu resolvera, aí nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não encontrei nada. Mas no fim, recordei o que havia feito. (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro. vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 e c=a+2 [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2>>> k é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução. a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3>>> para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro. 1 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova solução. (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) - 1 logo divide a diferença: (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) Como a=2 ou a=3 Se a=2. e w>=2 Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. Se a=3 Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | c+1 (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da IMO e suas resoluções? Grato! Saudações, PJMS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema da IMO
Boa noite! Fui em uma linha parecida com a primeira solução, embora não visse necessidade de mudança de variáveis. Mas o b achei sempre por restrição. Esse "it implies" e aparece um número fatorado, não consegui captar, embora tenha gostado do recurso, já que é bem restritivo. Sudações, PJMS Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:08, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Grato, Ralph! > > Estou estudando a solução. Pelo menos, não me decepcionei. A resposta > estava correta, > > Saudações. > PJMS > > Em sex., 11 de set. de 2020 às 22:33, Ralph Costa Teixeira < > ralp...@gmail.com> escreveu: > >> Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui: >> http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf >> >> On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José wrote: >> >>> Bom dia! >>> >>> Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. >>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 1>> >>> Confesso que desta feita gastei mais tempo que da primeira vez. >>> Curioso, da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu >>> resolvera, aí nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não >>> encontrei nada. Mas no fim, recordei o que havia feito. >>> (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro. >>> vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 >>> e c=a+2 >>> [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, >>> então (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. >>> O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. >>> S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. >>> S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. >>> a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c >>> para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2>> é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução. >>> >>> a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3>> para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro. >>> 1 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. >>> >>> Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma >>> nova solução. >>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ >>> (a+b) - 1 logo divide a diferença: >>> (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então >>> ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) >>> Como a=2 ou a=3 >>> Se a=2. e w>=2 >>> Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. >>> Se a=3 >>> Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b >>> w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 >>> 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> >>> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 >>> ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. >>> Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | >>> c+1 (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b >>> a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) >>> a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), >>> Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. >>> Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões >>> da IMO e suas resoluções? >>> >>> Grato! >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema da IMO
Boa noite! Grato, Ralph! Estou estudando a solução. Pelo menos, não me decepcionei. A resposta estava correta, Saudações. PJMS Em sex., 11 de set. de 2020 às 22:33, Ralph Costa Teixeira < ralp...@gmail.com> escreveu: > Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui: > http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf > > On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José wrote: > >> Bom dia! >> >> Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. >> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 1> >> Confesso que desta feita gastei mais tempo que da primeira vez. Curioso, >> da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu resolvera, aí >> nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não encontrei nada. >> Mas no fim, recordei o que havia feito. >> (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro. >> vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 >> e c=a+2 >> [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então >> (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. >> O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. >> S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. >> S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. >> a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c >> para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2> é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução. >> >> a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3> para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro. >> 1 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. >> >> Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova >> solução. >> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) >> - 1 logo divide a diferença: >> (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então >> ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) >> Como a=2 ou a=3 >> Se a=2. e w>=2 >> Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. >> Se a=3 >> Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b >> w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 >> 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> >> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 >> ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. >> Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | c+1 >> (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b >> a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) >> a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), >> Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. >> Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da >> IMO e suas resoluções? >> >> Grato! >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema da IMO
Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui: http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José wrote: > Bom dia! > > Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. > (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 1 > Confesso que desta feita gastei mais tempo que da primeira vez. Curioso, > da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu resolvera, aí > nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não encontrei nada. > Mas no fim, recordei o que havia feito. > (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro. > vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 e > c=a+2 > [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então > (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. > O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. > S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. > S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. > a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c > para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2 é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução. > > a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3 para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro. > 1 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. > > Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova > solução. > (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) > - 1 logo divide a diferença: > (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então ab-1= > w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) > Como a=2 ou a=3 > Se a=2. e w>=2 > Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. > Se a=3 > Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b > w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 > 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> > 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 > ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. > Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | c+1 > (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b > a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) > a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), > Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. > Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da > IMO e suas resoluções? > > Grato! > Saudações, > PJMS > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema da IMO
Bom dia! Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 11, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 e c=a+2 [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2 2; b<7 e 3 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova solução. (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) - 1 logo divide a diferença: (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) Como a=2 ou a=3 Se a=2. e w>=2 Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. Se a=3 Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | c+1 (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da IMO e suas resoluções? Grato! Saudações, PJMS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema da IMO
Encontre todos os (k,n), k,n pertencentes à Z+, tal que k!=
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))
Gostaria de saber se está correto?
Como os dois termos iniciais são consecutivos, é intuitivo que haja
baixíssima probabilidade de termos respostas que não sejam as triviais, com
um ou dois fatores.
(1,1) ==> 1! = 2-1 correto! e (3,2) --> 3!= 3*2, correto!
Para n= 3 temos k!= 7*6*4 com um fator 7 e não temos um 5, não atende.
Para n=4 temos k!=15*14*12*8=20160, mas 7! <2 0.060 < 8!;não atende.
G(n) = (2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)) ==> G(n+1)=
(2^(n+1) -1)**G(n)2^n
Vamos mostrar por absurdo que k! <>
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))para qualquer n>=5.
Seja , por hipótese, k! =
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))e n>=5.
Fica claro que 2^i || (2^n-2î) com n>i e n, i inteiros.
Então obtém-se uma P.A. para o expoente da fatoração de cada termo do
produto, nos levando a: k!=2^((n-1)*n/2)*m, com m ímpar.Ou seja, a
fatoração de k! tem como o expoente de 2, a= (n-1)*n/2
Todavia, por contagem é muito simples chegar-se a: a=
[k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+...; Note que embora haja uma infinidade de
parcela, haverá um j, tal que 2^j>k e a partir desse termo todas as
parcelas irão zerar. Onde [x] representa, parte inteira de x.
a= [k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+...= [k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+ ...[k/2^(j-1] <
[k/2]+[k/4] + ...+[k/2^(j-1)] + k/2^j + k/2^(j+1)+ k/2^(j+2+< k/2 + k/4
+ k/8 + k/16+...= k ==>
==> k>a ==> k>= (a+1), já que k e a são inteiros. então k! >=(a+1)!
Vamos por indução.
Para n=5 a=10 e k!>=11! > 31*30*28*24*16=k!, por hipótese; k! >k!, absurdo.
Se k!>=(a+1)! > (2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)) para
n>=5
temos F=((n-1)*n/2+1)*(n-1)*n/2*((n-1)*n/2-1)*...2*1>
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)=P
Para n+1
k! >= (a+1)! >
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)**((n-1)*n/2+2)*F>(2^(n+1)-1)*2*(2^n-1)*2(2^n-2)*...*2*(2^n-2(n-1)=
(2^(n+1)-1)*2^n*P
Mas como F> P se mostramos que
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)**((n-1)*n/2+2)>2^n*(2^(n+1)*2^n,
está provado.
O lado esquerdo é composto de n fatores todos maiores que o último que é
maior ou igual 12, para n=5.
O lado esquerdo é menor que 2^(2n+1)
Como 12^n= 3^n*2^2^n > 2* 2^2n > 2^n*(2^(n+1)*2^n,==>
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)**((n-1)*n/2+2)>2^n*(2^(n+1)*2^.
então k!>k!, absurdo. Não existem soluções para k>=5. E como só existiam
duas para k<5, temos S= {(1,1);(3,2)}
Saudações,
PJMS
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema da IMO
Olhem so esse problema aqui: Sejam 0abcd impares tais que a+d e b+c sao potencias de 2 e ad=bc.Mostre que a=1 TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
