RE: [obm-l] Problemas IME
Ola Elric e demais colegas desta lista ... OBM-L, Se bem entendi a questao, basta usar a funcao de rotacao fornecida, isto e : (a) -(j^2)a -Jc = b, que e a relacao procurada. Se nao e isso, e a relacao procurada e entre a, b e c, faca assim : -(j^2)a -Jc = b multiplicando por J e lembrando que J^3 = 1 : -a -(J^2)c = Jb. Multiplicando novamento por J: -Ja - c = (J^2)b. Colocando as coisas assim : -(j^2)a - Jc - b = 0 -(J^2)c -Jb - a = 0 -(J^2)b -Ja - c = 0 IMAGINANDO, vemos que (x,y,z) = (-(J^2), -J, -1) e uma solucao nao nula do sistema linear homogeneo : ax + cy + bz=0 cx + by + az = 0 bx + ay + cz = 0 Assim, o determinante da matriz formado pelos coeficientes das incognitas deve ser nulo, pois o sistema admite solucao nao trivial. Desenvolvendo este determinando segundo um fila qualquer, deve dar ( se nao errei algum calculo ) : a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Era isso que voce queria ? (b) Esse e trivialissimo. Existem N maneiras de achar z. Aqui vai algumas ( por favor, preencha os detalhes ) : Substitua z na relacao obtida em (a), fatore inteligentemente a equacao cubica resultante e voce acha z. Nao gostou, e muito truculento assim ? Entao faca assim : z=(x,y) = iz =(-y,x) e i =(0,1). Como o triangulo e equilatero, devemos ter : d(i,z)=d(iz,i) , d(z,iz)=d(i,z). Esse sistema de duas variaveis vai fornecer o valor do z. Ainda nao gostou ? Muto trabalhoso. Aqui vai um terceiro caminho : como z e iz sao perpendiculares e i=(0,1), por obvias razoes de simetria devemos ter z na bissetriz dos quadrantes impares. Logo z=(x,x). Usando o angulo com (0,1), ache x. Nota : acima, d(a,b) = distancia euclidiana entre a e b e z=(x,y) Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,0901,230904 From: Edward Elric [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problemas IME Date: Tue, 21 Sep 2004 20:32:14 + Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas IME
On Tue, Sep 21, 2004 at 08:32:14PM +, Edward Elric wrote:
(IME 80/81)
Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o
ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo
numero natural n, h^n e diferente de 1.
Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz.
(IME 80/81)
Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I,
onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer.
Eu fiz esta prova como aluno. A segunda já responderam. Vou fazer a primeira.
Temos z = (2-i)^2/5 = (3+4i)/5. Escreva z^n = (a_n + b_n i)/5^n. Assim
a_1 = 3, b_1 = 4, a_{n+1} = 3 a_n - 4 b_n, b_{n+1} = 4 a_n + 3 b_n.
Por indução, é fácil provar que a_n = 3 (mod 5) e b_n = 4 (mod 5)
para todo n. De fato, para n = 1 é trivial e se isto valer para n temos
a_{n+1} = 3*3 - 4*4 = 3 (mod 5), b_{n+1} = 4*3 + 3*4 = 4 (mod 5).
Assim a parte imaginária de z^n não é igual a 0 para nenhum inteiro
positivo n.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Problemas IME
Apenas corrigindo, Tr(I)=n e não Tr(I)=1 Vou colaborar por ora na primeira e na ultima. As outras parecem mais trabalhosas. Se Q(x) = x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1, entao a formula das somas dos termos de uma PG mostra que as raizes de Q sao as raizes decimas da unidade, a menos da propria unidade (1 naum zera Q). Eh facil ver que P(x) = Q(x^111) para todo complexo x. Se r eh raiz de Q, entao r^111 = (r^10)^11 * r = 1^11 * r = r, de modo que P(r) = Q(r^111) = Q(r) = 0. Toda raiz de Q eh portanto raiz de P, o que implica automaticamente que P divide Q. Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Artur --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - 50x more storage than other providers! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas IME
Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas IME
Vou colaborar por ora na primeira e na ultima. As outras parecem mais trabalhosas. Se Q(x) = x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1, entao a formula das somas dos termos de uma PG mostra que as raizes de Q sao as raizes decimas da unidade, a menos da propria unidade (1 naum zera Q). Eh facil ver que P(x) = Q(x^111) para todo complexo x. Se r eh raiz de Q, entao r^111 = (r^10)^11 * r = 1^11 * r = r, de modo que P(r) = Q(r^111) = Q(r) = 0. Toda raiz de Q eh portanto raiz de P, o que implica automaticamente que P divide Q. Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Artur --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - 50x more storage than other providers! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas IME
Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Resposta elegantíssima, mas houve um pequenino engano... Tr(I) = n e não 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas IME
cnmplementando, P divide Q porque toda raiz de Q eh raiz de P eh todas as raizes de Q tem multiplicidade 1. Isto garante que Q divide P. E o traco de I eh n, a ordem da matriz,e nao 1... Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Vou colaborar por ora na primeira e na ultima. As outras parecem mais trabalhosas. Se Q(x) = x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1, entao a formula das somas dos termos de uma PG mostra que as raizes de Q sao as raizes decimas da unidade, a menos da propria unidade (1 naum zera Q). Eh facil ver que P(x) = Q(x^111) para todo complexo x. Se r eh raiz de Q, entao r^111 = (r^10)^11 * r = 1^11 * r = r, de modo que P(r) = Q(r^111) = Q(r) = 0. Toda raiz de Q eh portanto raiz de P, o que implica automaticamente que P divide Q. Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Artur --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - 50x more storage than other providers! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? New and Improved Yahoo! Mail - Send 10MB messages! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas IME
sem duvida,Tr(I)=n,Obrigado! Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Resposta elegantíssima, mas houve um pequenino engano... Tr(I) = n e não 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
