1) a^2 < b^2 se b > a > 0
a^2 - b^2 < 0
(a+b)*(a-b) < 0
a-b = NEGATIVO (pois b >a)
a+b = POSITIVO (pois b > 0)
Entao:
(a+b)*(a-b) < 0
a^2 < b^2 se b > a > 0
2) a + a^(-1) >= 2 se a > 0
a + 1/a >= 2
Como a esta no denominador ele deverah ser # 0
Caso 1 (a<0)
(negativo) + 1/(negativo) >= 2 (impossivel)
Caso 2 (a>0)
(positivo) + 1/(positivo) >= 2 (OK)
Ps: Mesmo se tivermos um numero positivo bem pequeno a desigualdade sera verdadeira. Veja o caso 0,1:
0,1 + 1/(0,1) >=2
10,1 >= 2
3) (a + b)/2 >= (ab)^(1/2) se a,b > 0
(a + b)/2 >= sqrt(ab)
Considerando o conjunto dos reais, temos que ab > 0 pois eh radicando.Logo vamos excluir a hipotese de que a e b possuem sinais opostos.
Para ab > 0:
a>0 e b>0 (hipotese 1)
OU
a<0 e b<0 (hipotese 2)
A hipotese 2 eh inconveniente, pois:
(a + b)/2 >= (ab)^(1/2)
(negativo + negativo)/2 >= (negativo)*(negativo)^(1/2)
negativo >= positivo (IMPOSSIVEL)
Considerando por exclusao a correta eh a hipotese 1, ou faca o mesmo que fiz acima com a hipotese 1 e provar-se-a que:
(a + b)/2 >= (ab)^(1/2) se a,b > 0
Em uma mensagem de 16/1/2004 14:31:22 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá. Estou em dúvida em como provar as desigualdades abaixo, eu cheguei em
algumas conclusões mas não sei se é essa a prova que pede. Agradeceria
também se pudessem me explicar mais detalhadamente o que seria "provar" pois
de vez em quando me surgem algumas dúvidas. Obrigado.
a^2 < b^2 se b > a > 0
a + a^(-1) >= 2 se a > 0
(a + b)/2 >= (ab)^(1/2) se a,b > 0
