[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Temos 4^6 = 4096 = -4 (mod 100). 2^222 = 4^111 = 4^3*4^108 = 4^3*(-4)^18 = 4^3*4^18 = 4^3*(-4)^3 = -4^6 = -(-4) = 4 (mod 100) Em sáb, 11 de jan de 2020 11:30, Vanderlei Nemitz escreveu: > Está em um livro na parte de potenciação. > Mas mesmo assim, como faria com essa ideia? > > Em sáb, 11 de jan de 2020 11:18, Esdras Muniz > escreveu: > >> Acho que é d) 04 >> >> Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz >> escreveu: >> >>> Pode usar a função fi. >>> >>> Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz >>> escreveu: >>> Bom dia! Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais! Alguém conhece um modo relativamente simples? Os dois últimos algarismos de 2^222 são: a) 84 b) 24 c) 64 d) 04 e) 44 Muito obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Vamos analisar 2^222 módulo 4 e módulo 25. Caso vc não seja familiar a isso, dizer a = b (mod c) significa dizer que a e b tem o mesmo resto na divisão por c. 2^222 = 0 (mod 4) 2^222 = 4^111 = (5-1)^111 Expandindo usando o binômio de newton, todos os termos são divisíveis por 25, exceto os dois últimos: (5^1)(1^110) - (5^0)(1^111) = = 5 - 1 = 4 Ou seja, 2^222 = 4 (mod 25) 04 = 0 (mod 4) e 04 = 4 (mod 25) Então os últimos dígitos são 04 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Está em um livro na parte de potenciação. Mas mesmo assim, como faria com essa ideia? Em sáb, 11 de jan de 2020 11:18, Esdras Muniz escreveu: > Acho que é d) 04 > > Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz > escreveu: > >> Pode usar a função fi. >> >> Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais! >>> >>> Alguém conhece um modo relativamente simples? >>> >>> Os dois últimos algarismos de 2^222 são: >>> a) 84 >>> b) 24 >>> c) 64 >>> d) 04 >>> e) 44 >>> >>> Muito obrigado! >>> >>> Vanderlei >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência de primo
Se p|k então (p-1)|(p^(k-1) +p^(k-2)+...+1) pois p é congruente a 1 módulo (p-1). Mas nesse caso não pode ocorrer (p-1)!=p^k - 1 se k = p, pois podemos mostrar por indução que (n-1)! n^n - 1 para todo natural maior que 1. Em 18 de maio de 2015 20:34, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Considere que (p-1)!=p^k-1, com p5, e divida ambos os membros por p-1, assim teremos (p-2)!=p^(k-1) +p^(k-2)+...+1, o primeiro membro da equação possui um fator 2 e o fator (p-1)/2 então o primeiro membro possui um fator p-1, e o segundo membro da equação não possui este fator, assim não é possível a igualdade. E para p=1 o segundo membro da equação é igual a k diferente de zero. Douglas Oliveira Em 18 de maio de 2015 07:13, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja p um número primo.Demonstrar que (p-1)! + 1 é uma potência de p se, e só se, p = 2, p= 3 ou p = 5. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] potência
Mas e se colocarmos em questao a sequencia 0^x? Obteremos outro valor para 0^0 --- Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Para ser sincero, devo afirmar que não sei. É mais fácil perguntar lim x^x quando x-0+ que é 1 (precisa demonstrar). E quanto vale lim x^x quando x-0- ? Deve ser 1 também (precisa demonstrar). Daí poderíamos definir 0^0 como 1 para que a função x^x fosse contínua no ponto 0. Mas será que esta definição faz sentido? Isto é, será que ela não entra em contradição com alguma outra coisa? É tentador trivializar o essencial e essencializar o trivial, como diz nosso colega Paulo ... Mas, tenho a leve impressão que isso já foi deve ter sido perguntado (e portanto presumo que deve haver alguma mensagem antiga com a resposta). []s - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 22, 2005 6:13 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência os livros dizem que a propriedade a^m-n= a^m/a^n só é válida se a é diferente de 0. e a pergunta continua.. 0^0=1 ou 0^0 não existe? - O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso -- MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência
Para ser sincero, devo afirmar que não sei. É mais fácil perguntar lim x^x quando x-0+ que é 1 (precisa demonstrar). Equanto vale lim x^x quando x-0- ? Deve ser 1 também (precisa demonstrar). Daí poderíamos definir 0^0 como 1 para que a função x^x fosse contínua no ponto 0. Mas será que esta definição faz sentido? Isto é, será que ela não entra em contradição com alguma outra coisa? É tentadortrivializar o essencial e essencializar o trivial, como diz nosso colega Paulo ... Mas, tenho a leve impressão que isso já foideve ter sido perguntado (e portanto presumo que deve haver alguma mensagem antiga com a resposta). []s - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 22, 2005 6:13 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência os livros dizem que a propriedade a^m-n= a^m/a^n só é válida se a é diferente de 0. e a pergunta continua.. 0^0=1 ou 0^0 não existe? - O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência
os livros dizem que a propriedade a^m-n= a^m/a^n só é válida se a é diferente de 0. e a pergunta continua.. 0^0=1 ou 0^0 não existe? - O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Se é pra calcular via programaçao, existe uma formula p/ f(n) = n - S(n) , onde S(n) é a soma dos digitos de n na base 2(bits)entao basta fazer um pequeno loop de n = 1 ate 1023 e calcular o resultado... Essa formula é uma consequencia daquela famosa formula do calculo da potencia de um primo de n!, que alias, tambem da pra ser usada pra se calcular essa soma, é somente vc perceber que, por exemplo, entre 513=2^9 + 1 e 1023=2^10 - 1 , vc dividirá cada numero deste intervalo por 2, 2^2, 2^3 ...ate 2^9 entao , sem considerar a funçao piso aplicada a cada um, pode-se fazer (1/2 + 1/2^2 ...1/2^9)(513 + 514...1023) e calcular a funçao piso deste resultado...Aplica-se esse raciociocio pra todas as potencias de 2 restantes e soma-se todos os resultados...o resultado deverá ser muito proximo do resultado real, coisa de unidades a mais, já que a funçao piso nao esta sendo aplicada de forma totalmente correta a partir da formula original Quem nao souber do que eu estou falando veja em: http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^x por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro! Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da estimativa numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. Ok! Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k = 0). Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = 2^(k-2)*(2^(k-1) + 1) - 2^(k-1) + 1. Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + 1. A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10 + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremos a S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + 2^8*(2 + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - 1)^2. Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. [], Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^x por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro! Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da estimativa numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. Ok! Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k = 0). Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = 2^(k-2)*(2^(k-1) + 1) - 2^(k-1) + 1. Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + 1. A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10 + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremos a S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + 2^8*(2 + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - 1)^2. Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. [], Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
S_3 = f(1) + f(2) + f(3) f(1) = 0 f(2): 2! = 2, == f(2) = 1 f(3): 3! = 3, == f(3) = 1 Logo S_3 = 0 + 1 + 1 = 2. (isso pq na ultima passagem vc usa sabendo que S_3=1) Não vi o resto, Daniel. Será que arrumando isso chegaremos na mesma resposta? Veja aí, estou morrendo de sono! Até amanhã! Abraço! BrunoOn 5/22/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^xpor não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro!Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agoraencontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da estimativa numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez.Ok!Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n),e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k= 0).Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o únicointeiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... =n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) +f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x.Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)),assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3+ ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = 2^(k-2)*(2^(k-1)+ 1) - 2^(k-1) + 1.Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + 1.A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10+ 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremosaS_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + 2^8*(2 + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - 1)^2.Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19- 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144.[],Daniel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Hehehe, para variar, eu não acerto nem de segunda... Vc está certo, Bruno, S_3 = 2 (fiquei com o f(3) na cabeça...), e então basta acrescentar 2^9 ao meu resultado anterior, obtendo S_1023 = 2^19 - 3*2^11 + 2^9 = 518656, e finalmente nossas respostas coicidem! []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Mon, 23 May 2005 00:39:11 -0300 ''From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''S_3 = f(1) + f(2) + f(3) ''f(1) = 0 ''f(2): 2! = 2, == f(2) = 1 ''f(3): 3! = 3, == f(3) = 1 ''Logo S_3 = 0 + 1 + 1 = 2. ''(isso pq na ultima passagem vc usa sabendo que S_3=1) ''Não vi o resto, Daniel. Será que arrumando isso chegaremos na mesma ''resposta? '' ''Veja aí, estou morrendo de sono! Até amanhã! '' ''Abraço! ''Bruno '' ''On 5/22/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: '' '' Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + ''2^x '' por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez '' de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o '' erro! '' '' Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora '' encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da '' estimativa '' numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. '' '' Ok! '' '' Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), '' e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou '' iguais '' a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica ''B_k '' = 0). '' '' Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único '' inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + '' '' [n/2^3] '' + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = '' n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + '' f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + '' f(2^(k-1))) '' = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. '' '' Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), '' assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - '' f(2^(k-1))). '' '' Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 '' + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = '' 2^(k-2)*(2^(k-1) '' + 1) - 2^(k-1) + 1. '' '' Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + '' 1. '' '' A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = '' S_(2^10 '' + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, '' chegaremos '' a '' '' S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + '' 2^8*(2 '' + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - '' 1)^2. '' '' Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 '' - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que '' '' S_1023 '' = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. '' '' [], '' Daniel '' '' '' '' = '' Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em '' http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html '' = '' '' '' '' ''-- ''Bruno França dos Reis ''email: bfreis - gmail.com http://gmail.com ''gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key ''icq: 12626000 '' ''e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
