[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Em qui, 29 de ago de 2019 às 12:42, Carlos Monteiro
escreveu:
>
> Valeu!
> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>
Seis é um número muito bom para testar congruências de primos, pois no
conjunto 1,2,3,4,5,6 apenas 1 e 5 são primos com 6. Em outras
palavras, primos são números da forma 6K+-1.
>
> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira escreveu:
>>
>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>
>> Resposta longa:
>> Sejam p1> porque então a soma seria par.
>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou -1
>> (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas
>> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
>> divisível por 3).
>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me
>> leva a tentar
>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro
>> wrote:
>>>
>>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
>>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Exato, 6 é um número pequeno com "muitos" divisores, então é um bom ponto
de partida...
Claro, a gente podia continuar analisando o problema e achando mais e mais
restrições (módulo 12... módulo 15... módulo 120...)... Mas, em algum
momento, você tem que partir para tentar uns números e ver o que acontece,
senão não fecha nunca. :D
On Thu, Aug 29, 2019 at 1:02 PM Claudio Buffara
wrote:
> Acho que apenas o fato de que, apesar de existirem 6 restos possíveis ao
> se dividir um inteiro por 6, os primos maiores que 3 deixam apenas resto 1
> ou resto 5 (== -1).
>
>
> On Thu, Aug 29, 2019 at 12:42 PM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Valeu!
>> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>>
>>
>> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira
>> escreveu:
>>
>>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>>
>>> Resposta longa:
>>> Sejam p1>> p1=2, porque então a soma seria par.
>>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1
>>> ou -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6.
>>> Mas então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
>>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
>>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
>>> divisível por 3).
>>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto
>>> me leva a tentar
>>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>>
Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e
a soma dos seus quadrados são números primos também.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Acho que apenas o fato de que, apesar de existirem 6 restos possíveis ao se
dividir um inteiro por 6, os primos maiores que 3 deixam apenas resto 1 ou
resto 5 (== -1).
On Thu, Aug 29, 2019 at 12:42 PM Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
> Valeu!
> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>
>
> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira
> escreveu:
>
>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>
>> Resposta longa:
>> Sejam p1> porque então a soma seria par.
>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou
>> -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas
>> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
>> divisível por 3).
>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me
>> leva a tentar
>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
>>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Valeu!
Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira
escreveu:
> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>
> Resposta longa:
> Sejam p1 porque então a soma seria par.
> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou
> -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas
> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
> divisível por 3).
> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me
> leva a tentar
> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>
> Abraço, Ralph.
>
> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Boa noite! Bruno, Grato pela a ajuda. Foi o que pensei. Portanto, o enunciado não está legal. Deveria ser dos quatro menores primos. Para excluir o 113. Nem sei se tem outros fatores. Mas agora, confirmei 2, 3, 5, 29 e 113 e ainda podem existir mais. Saudações, PJMS Em Sáb, 9 de jun de 2018 16:34, Bruno Visnadi escreveu: > 15^(4k + 3) = 98 (mod 113), para todo k inteiro. E 15^15 = 3 (mod 4) > Então, 15^(15^15) + 15 = 98 + 15 = 0 mod (113), isto é, 113 divide > 15^(15^15) + 15. > > Em 9 de junho de 2018 15:55, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15? >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Ajudem-me. >>> p=113 ==> Fi(113) = 112 >>> >>> 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. >>> 15^15= 15 mod 112. >>> 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 >>> 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 >>> logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. >>> 113 é primo. >>> O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... >>> >>> Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15 >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José escreveu: >>> Boa tarde! Já tinha corrigido. Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e 29. Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo escreveu: > O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k > > Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Não tive tempo de corrigir. >> Seja a= 15^15 >> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, >> quando coloquei 15 em evidência. >> >> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p >> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. >> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p >> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 >> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. >> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não >> atende. >> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 >> = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. >> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não >> atende >> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende >> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. >> >> O outro primo é 29. >> >> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. >> Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 >> = >> 29^k, com k natural. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite. >>> Desconsiderar. >>> Está errado. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! p| 15(15^(15^15)+1) então: 15^(15^15) = -1 mod p. Como 15^(p-1) =1 mod p 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como mostrar, sem a dica do enunciado. Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. Para p=11, 15^15=5 mod10 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. Até chegar a p=31. 15^15= 15 mod 30 15^15 = ? mod 31 15^2=8 mod 31 15^4 =64=2 mod 31 14^8=4 mod 31 15^14=8*2*4=2 mod 31. 15^15= -1 mod 31. Então o outro primo é 31. Saudações, PJMS. Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo escreveu: > A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: > R: 39 > > Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência > temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 > tbm é > fator. > Minha dificuldade é descobrir o terceiro > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
15^(4k + 3) = 98 (mod 113), para todo k inteiro. E 15^15 = 3 (mod 4) Então, 15^(15^15) + 15 = 98 + 15 = 0 mod (113), isto é, 113 divide 15^(15^15) + 15. Em 9 de junho de 2018 15:55, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15? > > Saudações, > PJMS > > > Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Ajudem-me. >> p=113 ==> Fi(113) = 112 >> >> 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. >> 15^15= 15 mod 112. >> 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 >> 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 >> logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. >> 113 é primo. >> O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... >> >> Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15 >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Já tinha corrigido. >>> Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e >>> 29. >>> >>> Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo >>> escreveu: >>> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não tive tempo de corrigir. > Seja a= 15^15 > p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando > coloquei 15 em evidência. > > p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p > p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. > b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p > p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 > 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. > p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. > p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 > = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. > p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não > atende > p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende > p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. > > O outro primo é 29. > > Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. > Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = > 29^k, com k natural. > > Saudações, > PJMS. > > Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite. >> Desconsiderar. >> Está errado. >> >> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> p| 15(15^(15^15)+1) então: >>> 15^(15^15) = -1 mod p. >>> >>> Como 15^(p-1) =1 mod p >>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei >>> como mostrar, sem a dica do enunciado. >>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >>> Para p=11, 15^15=5 mod10 >>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >>> Até chegar a p=31. >>> 15^15= 15 mod 30 >>> 15^15 = ? mod 31 >>> 15^2=8 mod 31 >>> 15^4 =64=2 mod 31 >>> 14^8=4 mod 31 >>> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >>> 15^15= -1 mod 31. >>> Então o outro primo é 31. >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo >>> escreveu: >>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: R: 39 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. Minha dificuldade é descobrir o terceiro -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Boa tarde! Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15? Saudações, PJMS Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Ajudem-me. > p=113 ==> Fi(113) = 112 > > 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. > 15^15= 15 mod 112. > 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 > 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 > logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. > 113 é primo. > O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... > > Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15 > > Saudações, > PJMS > > > Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> Já tinha corrigido. >> Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e >> 29. >> >> Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo >> escreveu: >> >>> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k >>> >>> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Não tive tempo de corrigir. Seja a= 15^15 p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando coloquei 15 em evidência. p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. O outro primo é 29. Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com k natural. Saudações, PJMS. Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: > Boa noite. > Desconsiderar. > Está errado. > > Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> p| 15(15^(15^15)+1) então: >> 15^(15^15) = -1 mod p. >> >> Como 15^(p-1) =1 mod p >> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei >> como mostrar, sem a dica do enunciado. >> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >> Para p=11, 15^15=5 mod10 >> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >> Até chegar a p=31. >> 15^15= 15 mod 30 >> 15^15 = ? mod 31 >> 15^2=8 mod 31 >> 15^4 =64=2 mod 31 >> 14^8=4 mod 31 >> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >> 15^15= -1 mod 31. >> Então o outro primo é 31. >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo >> escreveu: >> >>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: >>> R: 39 >>> >>> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos >>> os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é >>> fator. >>> Minha dificuldade é descobrir o terceiro >>> -- >>> Fiscal: Daniel Quevedo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Boa tarde! Ajudem-me. p=113 ==> Fi(113) = 112 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. 15^15= 15 mod 112. 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. 113 é primo. O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15 Saudações, PJMS Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Já tinha corrigido. > Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e > 29. > > Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo > escreveu: > >> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k >> >> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Não tive tempo de corrigir. >>> Seja a= 15^15 >>> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando >>> coloquei 15 em evidência. >>> >>> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p >>> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. >>> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p >>> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 >>> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. >>> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. >>> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = >>> -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. >>> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende >>> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende >>> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. >>> >>> O outro primo é 29. >>> >>> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, >>> o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, >>> com k natural. >>> >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: >>> Boa noite. Desconsiderar. Está errado. Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José escreveu: > Boa noite! > p| 15(15^(15^15)+1) então: > 15^(15^15) = -1 mod p. > > Como 15^(p-1) =1 mod p > 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). > Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei > como mostrar, sem a dica do enunciado. > Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. > Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. > Para p=11, 15^15=5 mod10 > 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. > Até chegar a p=31. > 15^15= 15 mod 30 > 15^15 = ? mod 31 > 15^2=8 mod 31 > 15^4 =64=2 mod 31 > 14^8=4 mod 31 > 15^14=8*2*4=2 mod 31. > 15^15= -1 mod 31. > Então o outro primo é 31. > Saudações, > PJMS. > > Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo > escreveu: > >> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: >> R: 39 >> >> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos >> os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é >> fator. >> Minha dificuldade é descobrir o terceiro >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Boa tarde! Já tinha corrigido. Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e 29. Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo escreveu: > O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k > > Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Não tive tempo de corrigir. >> Seja a= 15^15 >> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando >> coloquei 15 em evidência. >> >> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p >> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. >> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p >> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 >> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. >> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. >> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = >> -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. >> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende >> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende >> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. >> >> O outro primo é 29. >> >> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o >> objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com >> k natural. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: >> >>> Boa noite. >>> Desconsiderar. >>> Está errado. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! p| 15(15^(15^15)+1) então: 15^(15^15) = -1 mod p. Como 15^(p-1) =1 mod p 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como mostrar, sem a dica do enunciado. Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. Para p=11, 15^15=5 mod10 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. Até chegar a p=31. 15^15= 15 mod 30 15^15 = ? mod 31 15^2=8 mod 31 15^4 =64=2 mod 31 14^8=4 mod 31 15^14=8*2*4=2 mod 31. 15^15= -1 mod 31. Então o outro primo é 31. Saudações, PJMS. Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo escreveu: > A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: > R: 39 > > Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os > fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. > Minha dificuldade é descobrir o terceiro > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não tive tempo de corrigir. > Seja a= 15^15 > p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando > coloquei 15 em evidência. > > p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p > p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. > b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p > p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 > 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. > p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. > p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1 > e 4 não divide 14; p=17 não atende. > p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende > p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende > p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. > > O outro primo é 29. > > Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o > objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com > k natural. > > Saudações, > PJMS. > > Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: > >> Boa noite. >> Desconsiderar. >> Está errado. >> >> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> p| 15(15^(15^15)+1) então: >>> 15^(15^15) = -1 mod p. >>> >>> Como 15^(p-1) =1 mod p >>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei >>> como mostrar, sem a dica do enunciado. >>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >>> Para p=11, 15^15=5 mod10 >>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >>> Até chegar a p=31. >>> 15^15= 15 mod 30 >>> 15^15 = ? mod 31 >>> 15^2=8 mod 31 >>> 15^4 =64=2 mod 31 >>> 14^8=4 mod 31 >>> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >>> 15^15= -1 mod 31. >>> Então o outro primo é 31. >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo >>> escreveu: >>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: R: 39 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. Minha dificuldade é descobrir o terceiro -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Bem, eu conheço um assim: Como estudo de caso, seja 7 o primo que estamos pesquisando. 1 - Encontre um divisor da forma M*10+1. No caso, 7*3=21, M=2. 2 - A cada passo, faça isto aqui: 2a - Arranque o último dígito, e duplique-o (M=2, e 7*3=2*10+1); 2b - Subtraia do restante do número. Por exemplo, 1001 é múltiplo de 7? 1001 = 100-2=98 = 9-2*8=-7, OK, pois 7 é múltiplo! Encontrar divisores da forma 10K+1 é fácil, basta olhar a tabuada. Em 03/08/11, regis barrosregisgbar...@yahoo.com.br escreveu: Boa Tarde Pessoal Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta lista mandou algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou encontrando o email com o link sobre o assunto. Regis Godoy BarrosGraduado em Licenciatura em Fisica - IFSPGraduando em Licenciatura em Matemática - UNICAMP -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7 e 11 e que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
7^a*11^b têm 16 divisores no total. (a+1)(b+1)=16 Liste as possibilidades e finalize! Em 04/08/11, Marcus Aurelio Gonçalves Rodriguesmarcusaureli...@globo.com escreveu: Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7 e 11 e que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1 -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Números Primos
obrigado!!! From: le.silvas.l...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos Date: Fri, 9 Apr 2010 08:57:55 -0300 Olá, Vitor! A média aritmética de dois números primos pode ser um número primo! Por exemplo: Dado a primo, (a + a)/2 = a; Ou, (7 + 3)/2 = 5; Ou, (101 + 5)/2 = 53. Mas, também pode a média aritmética entre dois primos não ser um primo. Por exemplo: (5 + 7)/2 = 6; Ou, (1001 + 3) = 52. Abraço! Leandro. From: vitor alves Sent: Friday, April 09, 2010 8:00 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Números Primos Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número primo? Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no Hotmail. _ O Internet Explorer 8 te dá dicas de como navegar mais seguro. Clique para ler todas. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
