Parece que essa questão não tem correlação com a matemática olímpica. Mas
imaginem uma banca que lembre de números diferentes e consiga fazer
questões abordando o assunto. Isso pegaria nossos atletas desprevenidos...
[]s
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Paulo C. Santos (PC)
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de Fernando A Candeias
Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2008 18:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...
Caros colegas de lista
Uma outra maneira de responder ao questionamento do Paulo, mais trabalhosa
porém mais intuitiva, está descrita em Foundations of Geometry, de Hilbert.
Ele desenvolve a geometria de maneira puramente axiomática, e no # 8 trata
dos axiomas de continuiidade, que são o de Arquimedes V.1 e o da Completude
da Reta, V.2. A partir do que, juntamente com os axiomas que dizem respeito
à ordem, é possível demonstrar a equivalência entre os pontos da reta e do
conjunto dos reais.
Em outro livro que tenho, de G. Verrier, uma introdução às geometrias não
euclidianas por métodos elementares, o autor substitui os dois postulados
citados pelo axioma de Dedekind, o que imediatamente identifica a reta
geométrica com os reais, como dito pelo Ralph. O livro baseia-se na obra de
Hilbert. Trata de todos axiomas comuns às três geomertrias, e posteriormente
introduz novos postulados e/ou suprime alguns, a partir do que desenvolve o
assunto. Tudo por métodos elementares. É muito interessante. Está escrito
em francês, adquiri em 1951, creio que esta esgotado. Mas se alguém tiver
interesse, posso doá-lo juntamente com o de Hilbert.
Sobre os surreais conheço pouco, mas parece muito interessante a idéia de
que os numeros infinitesimais passem a ter existência efetiva, o que
dispensaria em parte os complicados épsilons e deltas da definição usual de
continuidade de uma função em um ponto. (Weierstrasse). Vou ver se encontro
o livro mencionado pelo Nehab. Gostaria de saber como os problemas
geoméricos são abordados, se fazendo corresponder a cada segmento de reta a
parte Re do surreal, ou o número completo, incluindo um infinitesimal. Nessa
hipótese lembraria Leibntz com suas mônadas, ou o sonho pitagórico do tudo
é número.
Fernando A Candeias
