Os fantásticos números complxos resolvem.
Vejamos, como ilustração, o triângulo ( e um pouco do quadrado) que vc.
resolveu geométricamente
Sejaz = e^(ib) , 0 =b2pi, representando os pontos da circunferência com
centro na origem do plano complexo(Argand-Gauss) .
As raizes de terceira ordem de 1, i.e., da equação z^3=1, representam os
vértices do triângulo inscrito:
e^(i3b) =1 = 3b=j.2.pi = b=j.2.pi/3 , j= {0,1 ,2}; assim, os vértices do
triângulo localizam-se em
z_0=1, no semi-eixo real positivo, (seja o vértice V_0) , z_1=e^(i2.pi/3) e
z_2=e^(i4.pi/3) .
Poderiamos também partir da equação z^3 - 1 =0 (I) , e sabendo que uma
solução é z=z_0=1, dividi-la por z - 1 obtendo, z^2 + z + 1=0 , que reproduz as
mesmas raizes acima, z_1 e z_2 (z_2 apareceria como e^(-i2.pi/3)=e^(i4.pi/3) ).
Para as cordas, sem perda de generalidade, escolhemos o vértice V_0 como o
comum à elas e definimos como w = z - z_0 =z -1 as cordas vetoriais. Fazendo
a mudança de variável na equação (I),
(w+1)^3 - 1 =0 = w^3 + 3w^2 + 3w = 0 , que dividida por w=w_0= 0 (a
corda V_0V_0, que gracinha...) resultando em w^2 +3w + 3 =0 cujas raizes são as
de z subtraidas de 1. Mas , no caso, o que importa é que o termo indepente
fornece o produto das raizes, 3. ( observe que parao comprimento das cordas
teriamos que trocar w por |w| mas como, no produto há compensação de sinais,
não é necessário.
Para o quadrado mantendo z=z_0=1 e dividindo a equação z^4 - 1= 0 (II)por z-1,
obtemos a equação
z^3+z^2+z+1=0 , cujas raizesrepresentam os outros 3 vértices (os dois do eixo
imaginário e o do semi=eixo real positivo. Fazendo a mudança de variável, z = w
+ 1 em (II),
(w+1)^4 - 1 =0 = w^4 + 4w^3+6w^2+4w=0, que dividida por w fornece
w^3+4w^2+6w+4 = 0, termo independente , produto das raizes, 4.
Genéricamente, para o polígono de n lados, a equação z^n - 1 = 0 (III), em
termos de w,
(w+1)^n - 1 = w^n + n w^(n-1) + ...+ (n , j) w^(n-j) +...n=0 , onde (n , j)
são os coeficientes binomiais, mostra que o termo independente , produto das
raizes, é n.
[ ]'s
De: Martins Rama martin...@pop.com.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 3:53
Assunto: [obm-l] Polígono regular inscrito
Caros amigos da lista...
A afirmação abaixo é verdadeira? Como prová-la? Indução, talvez?
Para um polígono regular convexo de n vértices V1, V2, ...,Vn, inscrito
num círculo de raio unitário, qual o valor do produto das medidas das
(n-1) cordas traçadas de um vértice, por exemplo, V1?
P = V1V2 x V1V3 x ... x V1Vn = ?
Sei que para o:
- triângulo equilátero, temos: (raiz de 3)x(raiz de 3) = 3
- quadrado, temos: (raiz de 2)x(raiz de 2)x2 = 4
- hexágono regular, temos: 1x(raiz de 3)x2x(raiz de 3)x1 = 6
É possível generalizar a solução e encontrar a resposta n para todos os
polígonos regulares?
Abraços,
Martins Rama.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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