[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conguência

[Pedro José]

Boa tarde!

Pegando carona na resolução do Marcone.

k = 1..11 = 1/9 * (10^81-1) = 1/9 ( (9+1)^81 - 1) = 1/9 (9^81 + 81.
9^80 + ...+ 81*9) = 0 mod81.

Saudações.

Em 13 de fevereiro de 2017 12:49, Pacini Bores 
escreveu:

>
>
>
> Olá Marcone,
>
> será que a ideia a seguir é por congruência?
>
> K=1...1 = 10^80+10^79+...+10+1.
>
> 10^n =(9+1)^n , daí :
>
> (9+1)^80 = 9.80+1 mod(81) ; (9+1)^79 = 9.79+1 mod(81) ...,...
>
> Logo K = [9.( 80+79+...+1) +81] mod(81) =0 mod(81).
>
> Abraços
>
> Pacini
>
>
>
> Em 12/02/2017 21:55, marcone augusto araújo borges escreveu:
>
> Mostre que 111...11(81 uns) é múltiplo de 81
>
>
>
> Pelo algoritmo da divisão eu fiz. Como resolver por congruência?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Conguência

[Pacini Bores]

 

Olá Marcone, 

será que a ideia a seguir é por congruência? 

K=1...1 = 10^80+10^79+...+10+1. 

10^n =(9+1)^n , daí : 

(9+1)^80 = 9.80+1 mod(81) ; (9+1)^79 = 9.79+1 mod(81) ...,... 

Logo K = [9.( 80+79+...+1) +81] mod(81) =0 mod(81). 

Abraços 

Pacini 

Em 12/02/2017 21:55, marcone augusto araújo borges escreveu: 

> Mostre que 111...11(81 uns) é múltiplo de 81 
> 
> Pelo algoritmo da divisão eu fiz. Como resolver por congruência? 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conguência

[Pedro José]

Boa tarde!

Um outro modo.

111...111= 10^(n-1) + 10(n-2)+ ... + 10^1 + 10^0

10 = 1 mod 9 ==> 10^m = 1 mod 9, m natural.

81 | 11...11 ==> 9 | 111>>111 ==> 1 + 1 + 1 ... +1  + 1 = n = 0 mod 9.

o menor n >0  que atende é 9 e a seguir seus múltiplos.

111.111.111 : 9 = 12345679
O número x  procurado é da forma11..11 com 9 k algarismos


x/9 = 1234567912345679...12345679 com k repetições.

9 | x/9 ==> 81 | x.   9 | x/9 ==> x/9 = 10^(8k-1) + 2*10^(8k-2)+3*10^(8k-3)
+ 4*10(8k-4) + 5*10^(8k-5) + 6*10^(8k-6) + 7*10^(8k-7) + 9*10^(8(k-1)) +
10^(8(k-1)-1) + + 1*10^7 + 2*10^6 + 3*10^5 + 4*10^4 + 5* 10^3
+ 6*10^2 + 7*10 +9 = k*37 = 0 mod9 ==> k= 9a; a>o e a natural.

81| ...111 com 81a algarismos, com a natural e a> 0.

Saudações,
PJMS







Em 13 de fevereiro de 2017 10:48, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> x = 1...111 (81 algarismos)
>
> x= (10^81-1)/9
>
> 81 | x ==> 3^6 | 10^81 -1 ==> 10^81 = 1 mod 3^6
>
> a = 1 mod 3^6 ==> a = 1 mod 3^3.
>
> Achando ord2710, ou seja, o menor natural d <> 0 onde 10^d = 1 mod 27.
>
> Como ord2710 | φ(27)=18; possíveis candidatos: 1, 2, 3, 6,9 , 18.
>
> 1 não; 2 não e 3 sim pois 27 | 999.
>
> 10^3 <> 1 mod 3^6.
>
> 10^3 = 1 mod 27 ==> 10^3 = K.27 +1
>
> O menor número m de algarismos 111...11 que divide 81 tem de ser múltiplo
> de 3 e qualquer múltiplo k de m também  implica que 111...11 com k
> algarismos divide  81.
>
> (10^3)^b = 1 mod 3^6
>
> (k27 +1 )^b = (0,b)* (27k)^b +(1,b)* (27k)^(b-1) ++ (b-1,b)*27 + 1 = 1
> mod 3^6, onde (m,n) é o numero combinatório de n m a m.
>
> Só sobram (b-1,b)*27 +1 = 1 mod 3^6 ==> 27b  = 0 mod 3^6 ==> b = 27 ==> m
> =81.
>
> Então qualquer sequência de algarismos 1..111 com k algarismos e 81 |
> k, será divisível por 81.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 12 de fevereiro de 2017 23:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2017-02-12 21:55 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
>> :
>> > Mostre que 111...11(81 uns) é múltiplo de 81
>>
>> Vou fazer (na marra) com 3 uns.  Você adapta para 81 = 3^4 uns, é igual:
>>
>> 1) Note que 111 = 999/9 = (10^3 - 1)/9
>> 2) Para mostrar que 111 é divisível por 3, "basta" mostrar que (10^3 -
>> 1) é divisível por 27.
>> 3) 10^2 = 100 = 3*30 + 10 == 3*3 + 10 = 19 mod 27
>> 4) 10^3 == 10*19 = 190 = 10 + 180 = 10 + 6*30 == 10 + 6*3 = 28 == 1 mod 27
>>
>> (Sugestão para calcular 10^81: calcule 10^5, depois eleve ao quadrado
>> até chegar em 10^80, e no final multiplique por 10)
>>
>>
>> Se você quiser provar o caso geral (3^n "uns" é divisível por 3^n)
>> você na verdade vai ter que provar que 10^(3^n) - 1 é *exatamente*
>> divisível por 3^(n+2), por indução.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conguência

[Pedro José]

Bom dia!

x = 1...111 (81 algarismos)

x= (10^81-1)/9

81 | x ==> 3^6 | 10^81 -1 ==> 10^81 = 1 mod 3^6

a = 1 mod 3^6 ==> a = 1 mod 3^3.

Achando ord2710, ou seja, o menor natural d <> 0 onde 10^d = 1 mod 27.

Como ord2710 | φ(27)=18; possíveis candidatos: 1, 2, 3, 6,9 , 18.

1 não; 2 não e 3 sim pois 27 | 999.

10^3 <> 1 mod 3^6.

10^3 = 1 mod 27 ==> 10^3 = K.27 +1

O menor número m de algarismos 111...11 que divide 81 tem de ser múltiplo
de 3 e qualquer múltiplo k de m também  implica que 111...11 com k
algarismos divide  81.

(10^3)^b = 1 mod 3^6

(k27 +1 )^b = (0,b)* (27k)^b +(1,b)* (27k)^(b-1) ++ (b-1,b)*27 + 1 = 1
mod 3^6, onde (m,n) é o numero combinatório de n m a m.

Só sobram (b-1,b)*27 +1 = 1 mod 3^6 ==> 27b  = 0 mod 3^6 ==> b = 27 ==> m
=81.

Então qualquer sequência de algarismos 1..111 com k algarismos e 81 |
k, será divisível por 81.

Saudações,
PJMS


Em 12 de fevereiro de 2017 23:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2017-02-12 21:55 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
> :
> > Mostre que 111...11(81 uns) é múltiplo de 81
>
> Vou fazer (na marra) com 3 uns.  Você adapta para 81 = 3^4 uns, é igual:
>
> 1) Note que 111 = 999/9 = (10^3 - 1)/9
> 2) Para mostrar que 111 é divisível por 3, "basta" mostrar que (10^3 -
> 1) é divisível por 27.
> 3) 10^2 = 100 = 3*30 + 10 == 3*3 + 10 = 19 mod 27
> 4) 10^3 == 10*19 = 190 = 10 + 180 = 10 + 6*30 == 10 + 6*3 = 28 == 1 mod 27
>
> (Sugestão para calcular 10^81: calcule 10^5, depois eleve ao quadrado
> até chegar em 10^80, e no final multiplique por 10)
>
>
> Se você quiser provar o caso geral (3^n "uns" é divisível por 3^n)
> você na verdade vai ter que provar que 10^(3^n) - 1 é *exatamente*
> divisível por 3^(n+2), por indução.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Conguência

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2017-02-12 21:55 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
:
> Mostre que 111...11(81 uns) é múltiplo de 81

Vou fazer (na marra) com 3 uns.  Você adapta para 81 = 3^4 uns, é igual:

1) Note que 111 = 999/9 = (10^3 - 1)/9
2) Para mostrar que 111 é divisível por 3, "basta" mostrar que (10^3 -
1) é divisível por 27.
3) 10^2 = 100 = 3*30 + 10 == 3*3 + 10 = 19 mod 27
4) 10^3 == 10*19 = 190 = 10 + 180 = 10 + 6*30 == 10 + 6*3 = 28 == 1 mod 27

(Sugestão para calcular 10^81: calcule 10^5, depois eleve ao quadrado
até chegar em 10^80, e no final multiplique por 10)


Se você quiser provar o caso geral (3^n "uns" é divisível por 3^n)
você na verdade vai ter que provar que 10^(3^n) - 1 é *exatamente*
divisível por 3^(n+2), por indução.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=