[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica

[Tiago]

Olá, você já estudou análise real? Sei que no livro no Rudin tem isto
demonstrado da maneira mais elementar possível (elementar no sentido de usar
poucas ferramentas). Só usa que R é completo e algumas desigualdades. Não
lembro exatamente como é a demonstração, mas basicamente é isso:

*Teorema*: Dado r real positivo e n natural, existe um único x positivo tal
que x^n=r. (O que você quer segue trivialmente disto).

*Ideia da demonstração:* Ver que a solução é única é fácil, visto que 0r e, depois, sup(A)^n

> A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario.
>
> Podemos fazer algumas suposições:
> |r| < 1. De fato, se |r|<1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim,
> teremos X^n=R, com |R|>1, e resolver essa equacao é equivalente
> resolver a original.
>
> Caso n ímpar:
> Se r < 0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r>1.
>
> Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r>0. Isso e relativamente
> facil de demonstrar usando limites ou algo que valha.
> Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r<0.
>
> Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois
> extremos tal que x^n=r=0.
>
> O caso par fica por sua conta :)
>
>
> Em 11/09/10, Guilherme Vieira escreveu:
> >
> > Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir.
> > Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto,
> > parece-me muito difícil.
> >
> > Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é
> > uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução
> > real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r>0.
> >
> >
> > Obrigado!!!
> > Guilherme
>
>
> --
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> Quadrinista e Taverneiro!
>
> http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Quadrinhos, histórioas e afins
> http://baratoeletrico.blogspot.com />> Um pouco sobre elétrons em
> movimento
> http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit!
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com

[obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica

[Johann Dirichlet]

A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario.

Podemos fazer algumas suposições:
|r| < 1. De fato, se |r|<1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim,
teremos X^n=R, com |R|>1, e resolver essa equacao é equivalente
resolver a original.

Caso n ímpar:
Se r < 0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r>1.

Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r>0. Isso e relativamente
facil de demonstrar usando limites ou algo que valha.
Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r<0.

Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois
extremos tal que x^n=r=0.

O caso par fica por sua conta :)


Em 11/09/10, Guilherme Vieira escreveu:
>
> Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir.
> Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto,
> parece-me muito difícil.
>
> Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é
> uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução
> real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r>0.
>
>
> Obrigado!!!
> Guilherme 


-- 
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Quadrinista e Taverneiro!

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica.

[Marcelo Leitner]

On Tue, Nov 12, 2002 at 07:21:30AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
> On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote:
> >  Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa 
> > abaixo é verdadeira ou falsa.
> >   "Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes 
> > reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o 
> > maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) 
> > tem, no máximo M raízes inteiras e positivas.
> >Valeu!!!
> 
> (P-Q)(x) é um polinômio de grau no máximo M e tem portanto
> no máximo M raízes complexas e em particular no máximo M raízes
> inteiras e positivas. []s, N.
---end quoted text---

Credo, nao vi o _e em particular_ na linha do meio! Foi mal ae.

[]'s
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica.

[Marcelo Leitner]

On Tue, Nov 12, 2002 at 07:21:30AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
> On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote:
> >  Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa 
> > abaixo é verdadeira ou falsa.
> >   "Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes 
> > reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o 
> > maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) 
> > tem, no máximo M raízes inteiras e positivas.
> >Valeu!!!
> 
> (P-Q)(x) é um polinômio de grau no máximo M e tem portanto
> no máximo M raízes complexas e em particular no máximo M raízes
> inteiras e positivas. []s, N.
---end quoted text---

Por que "e positivas"? E mesmo se P(x) for um polinomio de grau
impar?

[]'s!
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica.

[Nicolau C. Saldanha]

On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote:
>  Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa 
> abaixo é verdadeira ou falsa.
>   "Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes 
> reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o 
> maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) 
> tem, no máximo M raízes inteiras e positivas.
>Valeu!!!

(P-Q)(x) é um polinômio de grau no máximo M e tem portanto
no máximo M raízes complexas e em particular no máximo M raízes
inteiras e positivas. []s, N.
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