[obm-l] Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi Eduardo,
Eu acho que vc se confundiu na definição de H. Do jeito que vc colocou,
H teria n^n elementos. Eu acho que vc estava querendo dizer GxG, estou certo?
Nesse caso, H teria n^2 elementos...
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para
g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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=
[]'s, Yuri
ICQ: 64992515
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Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Vôcê tem razão, erro meu...
From: [EMAIL PROTECTED]
Oi Eduardo,
Eu acho que vc se confundiu na definição de H. Do jeito que vc colocou,
H teria n^n elementos. Eu acho que vc estava querendo dizer GxG, estou
certo?
Nesse caso, H teria n^2 elementos...
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para
g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
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