[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática - (2^2 n) - 1
Valeu Denisson...muito obrigado pela ajuda
Caiu na prova um pareceido e acertei.
Abração, Marcelo.
2009/4/4 Denisson
> Uma forma da indução é a seguinte:
>
> Suponha que uma afirmação sobre os números naturais é verdadeira para n = 1
> Além disso se a afirmação for verdadeira para n = k implicar que ela é
> verdadeira para n = k +1 então vc pode ter certeza que a afirmação vale para
> todo m >= 1.
>
> Por exemplo.
>
> 2^(2n) - 1 assume o valor 3 quando n = 1. Logo 3 divide este número (ok).
>
> Suponha que a afirmação seja válida para um certo número k. Isto é 2^(2k) -
> 1 é divisível por 3.
>
> Provemos que é verdadeira para k + 1 também.
>
> 2^[2(k+1)] - 1 = 2^(2k + 2) - 1 = 2^(2k)*(2^2) - 1 = 4*2^(2k) - 1 =
> {3*2^(2k)} + [2^(2k) - 1]
>
> note que o termo em chaves é divisivel por 3 e o termo em colchetes também
> (por hipótese de indução), logo a afirmação está provada.
>
> O importante em perceber:
>
> Verificamos que a afirmação é válida pra n = 1.
>
> Daí como provamos que a validade pra n implica a validade de n+1 então se n
> = 1 é verdade logo n = 2 será verdade. E por isso n = 3 será verdade, e uma
> espécie de efeito dominó te garante que todos os naturais satisfazem essa
> propriedade (4,5,6,7...).
>
> Espero que tenha entendido:
>
> Uma explicação bem mais profissional (mas clara) vocÊ encontra em
>
> http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.pdf
>
>
>
> 2009/3/12 Marcelo Rodrigues
>
> Olá pessoal
>>
>> Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
>> envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
>> há somatório.
>>
>> Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
>> natural.
>>
>> Fiz o seguinte:
>>
>> P(1) = > 3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
>> da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
>> direito dela ?)
>>
>> P(1) = > 3(1) = (2^2) -1 = > 3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))
>>
>> P(k) = > 3k = (2^2k) - 1
>>
>> Provando por Indução:
>>
>> P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
>> para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
>> funciona)= (2^2k) + k
>>
>> Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.
>>
>> Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?
>>
>> Abraços, Marcelo.
>>
>
>
>
> --
> Denisson
>
>
[obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática - (2^2n) - 1
Uma forma da indução é a seguinte:
Suponha que uma afirmação sobre os números naturais é verdadeira para n = 1
Além disso se a afirmação for verdadeira para n = k implicar que ela é
verdadeira para n = k +1 então vc pode ter certeza que a afirmação vale para
todo m >= 1.
Por exemplo.
2^(2n) - 1 assume o valor 3 quando n = 1. Logo 3 divide este número (ok).
Suponha que a afirmação seja válida para um certo número k. Isto é 2^(2k) -
1 é divisível por 3.
Provemos que é verdadeira para k + 1 também.
2^[2(k+1)] - 1 = 2^(2k + 2) - 1 = 2^(2k)*(2^2) - 1 = 4*2^(2k) - 1 =
{3*2^(2k)} + [2^(2k) - 1]
note que o termo em chaves é divisivel por 3 e o termo em colchetes também
(por hipótese de indução), logo a afirmação está provada.
O importante em perceber:
Verificamos que a afirmação é válida pra n = 1.
Daí como provamos que a validade pra n implica a validade de n+1 então se n
= 1 é verdade logo n = 2 será verdade. E por isso n = 3 será verdade, e uma
espécie de efeito dominó te garante que todos os naturais satisfazem essa
propriedade (4,5,6,7...).
Espero que tenha entendido:
Uma explicação bem mais profissional (mas clara) vocÊ encontra em
http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.pdf
2009/3/12 Marcelo Rodrigues
> Olá pessoal
>
> Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
> envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
> há somatório.
>
> Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
> natural.
>
> Fiz o seguinte:
>
> P(1) = > 3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
> da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
> direito dela ?)
>
> P(1) = > 3(1) = (2^2) -1 = > 3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))
>
> P(k) = > 3k = (2^2k) - 1
>
> Provando por Indução:
>
> P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
> para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
> funciona)= (2^2k) + k
>
> Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.
>
> Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?
>
> Abraços, Marcelo.
>
--
Denisson
[obm-l] RE: [obm-l] Indução Matemática
Olá!
a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1, para n >= 0
Verifique a validade para n = {0, 1}
Hipótese de indução:
2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) 1 ... validade para n
Verificação para n+1:
2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n + 2^(n+1) = 2^(n+1) - 1 + 2^(n+1) ... só
usei a hipótese de indução!
= 2^(n+2) - 1 ... CQD!
b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n) < 1
Verifique a validade para n = 1
Trata-se de uma PG com a[1] = r = 1/2 , obviamente, 1/2 < 1
Para n -> +infinito , a soma dos termos desta PG converge para
a[1]/(1-r) = 1
Logo, para um n finito, a soma é menor do que 1 . CQD!
Sds.,
AB
_
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Venildo Amaral
Sent: Thursday, November 13, 2008 3:31 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução Matemática
Boa tarde
Alguém poderia ajudar a resolver essa indução matemática, mas
detalhadamente, estou um pouco perdido.
a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1, para n >= 0;
b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n) < 1,
Atenciosamente,
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]
http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática
De nada alias, que truque? o princípio da indução? bom, vc pode usar indução pra demonstrar várias coisas normalmente quando é uma afirmação do tipo: "prove que todo n inteiro maior que x possui uma certa propiedade P". O problema que vc propos, por exemplo, é desse tipo: a propriedade P seria que x^n-1 seja divisível por x-1. 2008/9/12 Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]> > Ok Rafael, > > Tinha deduzido isso, mas fiquei na dúvida. > > OBrigado > > ps: Qual é a ocasião que utilizo esse truque?? > > > > Atenciosamente, > Venildo Junio do Amaral > [EMAIL PROTECTED] > http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual > Home Work > (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 > > - Original Message - > *From:* Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]> > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Sent:* Friday, September 12, 2008 9:34 AM > *Subject:* Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática > > bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta > certo sim! > Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1, > certo? pra isso falta somar esse (x-1) > > x(x^n - 1) + (x-1) = x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1 > > 2008/9/12 Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]> > >> Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais >> detalhadamente esse passo. >> >> *x(x^n -1)* >> >> Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto??? >> >> De onde apareceu o (x-1). >> >> Realmente estou perdido >> >> >> >> Atenciosamente, >> Venildo Junio do Amaral >> [EMAIL PROTECTED] >> http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual >> Home Work >> (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 >> >> - Original Message - >> *From:* Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]> >> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br >> *Sent:* Friday, September 12, 2008 8:50 AM >> *Subject:* Re: [obm-l] Indução Matemática >> >> Pra n=1 é obvio que vale. >> Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um >> polinomio. >> >> x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x) >> um polinomio. >> >> Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1 >> >> On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]>wrote: >> >>> Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução >>> matemática. >>> >>> Obrigado >>> >>> >>> Atenciosamente, >>> Venildo Junio do Amaral >>> [EMAIL PROTECTED] >>> http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual >>> Home Work >>> (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 >>> >> >> >> >> -- >> Rafael >> >> > > > -- > Rafael > > -- Rafael
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática
Ok Rafael, Tinha deduzido isso, mas fiquei na dúvida. OBrigado ps: Qual é a ocasião que utilizo esse truque?? Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 - Original Message - From: Rafael Ando To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 12, 2008 9:34 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta certo sim! Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1, certo? pra isso falta somar esse (x-1) x(x^n - 1) + (x-1) = x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1 2008/9/12 Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]> Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais detalhadamente esse passo. x(x^n -1) Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto??? De onde apareceu o (x-1). Realmente estou perdido Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 - Original Message - From: Rafael Ando To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 12, 2008 8:50 AM Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática Pra n=1 é obvio que vale. Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um polinomio. x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x) um polinomio. Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1 On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução matemática. Obrigado Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 -- Rafael -- Rafael
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática
bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta certo sim! Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1, certo? pra isso falta somar esse (x-1) x(x^n - 1) + (x-1) = x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1 2008/9/12 Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]> > Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais > detalhadamente esse passo. > > *x(x^n -1)* > > Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto??? > > De onde apareceu o (x-1). > > Realmente estou perdido > > > > Atenciosamente, > Venildo Junio do Amaral > [EMAIL PROTECTED] > http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual > Home Work > (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 > > - Original Message - > *From:* Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]> > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Sent:* Friday, September 12, 2008 8:50 AM > *Subject:* Re: [obm-l] Indução Matemática > > Pra n=1 é obvio que vale. > Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um > polinomio. > > x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x) > um polinomio. > > Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1 > > On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]>wrote: > >> Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução >> matemática. >> >> Obrigado >> >> >> Atenciosamente, >> Venildo Junio do Amaral >> [EMAIL PROTECTED] >> http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual >> Home Work >> (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 >> > > > > -- > Rafael > > -- Rafael
[obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática
Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais detalhadamente esse passo. x(x^n -1) Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto??? De onde apareceu o (x-1). Realmente estou perdido Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 - Original Message - From: Rafael Ando To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 12, 2008 8:50 AM Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática Pra n=1 é obvio que vale. Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um polinomio. x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x) um polinomio. Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1 On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução matemática. Obrigado Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 -- Rafael
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática
Analisando bem, ficou meio estranho mesmo. Vou tentar entender melhor. Obrigado Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, September 09, 2008 7:30 PM Subject: RES: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática Não entendi não, não estou vendo como vc chegou aa conclusao desejada. A expressao nao eh 5 vezes um multiplo de 8 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Venildo Amaral Enviada em: terça-feira, 9 de setembro de 2008 18:15 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática Marcelo Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim: base: n=0 => 5¹ + 2.3^0 + 1 = 8 , logo é divisivel por 8 H.I . P.I = n+1 5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1 = 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1 = 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3 Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante é divisivel por 8. DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO? Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática Olá Venildo, para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8. suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim: 5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 5^(k+1) + 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1... veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para k=0, temos: 5+1 = 6 vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim: 5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 3^(u+1) também é. voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1. desculpa a confusão, fiz correndo aqui.. qquer dúvida é só dizer.. abraços, Salhab On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Poderia me ajudar nessa indução, provar que 5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8 Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450
RES: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática
Não entendi não, não estou vendo como vc chegou aa conclusao desejada. A expressao nao eh 5 vezes um multiplo de 8 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Venildo Amaral Enviada em: terça-feira, 9 de setembro de 2008 18:15 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática Marcelo Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim: base: n=0 => 5¹ + 2.3^0 + 1 = 8 , logo é divisivel por 8 H.I . P.I = n+1 5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1 = 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1 = 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3 Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante é divisivel por 8. DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO? Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]> http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato<mailto:[EMAIL PROTECTED]> To: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br> Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática Olá Venildo, para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8. suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim: 5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 5^(k+1) + 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1... veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para k=0, temos: 5+1 = 6 vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim: 5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 3^(u+1) também é. voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1. desculpa a confusão, fiz correndo aqui.. qquer dúvida é só dizer.. abraços, Salhab On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral < [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>> wrote: Poderia me ajudar nessa indução, provar que 5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8 Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]> http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450
[obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática
Marcelo Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim: base: n=0 => 5¹ + 2.3^0 + 1 = 8 , logo é divisivel por 8 H.I . P.I = n+1 5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1 = 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1 = 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3 Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante é divisivel por 8. DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO? Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática Olá Venildo, para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8. suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim: 5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 5^(k+1) + 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1... veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para k=0, temos: 5+1 = 6 vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim: 5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 3^(u+1) também é. voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1. desculpa a confusão, fiz correndo aqui.. qquer dúvida é só dizer.. abraços, Salhab On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Poderia me ajudar nessa indução, provar que 5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8 Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450
