[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
O João está certo.E minha pergunta no final foi se basta provar que DOIS lados opostos são paralelos e congruentes.Um abraço. Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) From: hfernande...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos. Todo uqadrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo. Prova: Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos. Mas voltando ao problema, Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que: 1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2 2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida Analogamente para YZ e WX. Logo se trata de um paralelogramo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer Os vértices do quadrilátero são os pontos médios dos lados do trapézio. []'sJoão Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) From: hfernande...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.Todo uqadrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo. Prova:Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos. Mas voltando ao problema, Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que: 1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/22) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida Analogamente para YZ e WX. Logo se trata de um paralelogramo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Thu, 21 Apr 2011 16:05:12 + O João está certo.E minha pergunta no final foi se basta provar que DOIS lados opostos são paralelos e congruentes.Um abraço. Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) From: hfernande...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos. Todo uqadrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo. Prova: Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos. Mas voltando ao problema, Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que: 1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2 2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida Analogamente para YZ e WX. Logo se trata de um paralelogramo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] Re: [obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
Tem razão, Marcone e João... relendo agora entendi melhor a questão. Abs. Hugo. Em 21 de abril de 2011 14:28, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Thu, 21 Apr 2011 16:05:12 + O João está certo.E minha pergunta no final foi se basta provar que DOIS lados opostos são paralelos e congruentes.Um abraço. -- Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) From: hfernande...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: *Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.* *Todo uq**adrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo.* * * *Prova:* *Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos.* * * *Mas voltando ao problema,* * * * * *Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:* *1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2* *2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida* *Analogamente para YZ e WX.* * * *Logo se trata de um paralelogramo* * * * * *[]'s* *João* * * * * -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.Todo uqadrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo. Prova:Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos. Mas voltando ao problema, Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/22) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medidaAnalogamente para YZ e WX. Logo se trata de um paralelogramo []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: *Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.* *Todo uq**adrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo.* * * *Prova:* *Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos.* * * *Mas voltando ao problema,* * * * * *Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:* *1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2* *2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida* *Analogamente para YZ e WX.* * * *Logo se trata de um paralelogramo* * * * * *[]'s* *João* * * * * -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas..
On Sun, Mar 07, 2004 at 12:18:39PM -0300, Daniel Silva Braz wrote: Alguém por favor me ajude !!! preciso de uma informação..e não estou me entendento com o site da OBM..eu posso fazer a prova se minha universidade não for cadastrada? o que eu preciso? como faço pra me inscrever? com quem falo? Se a sua universidade não está cadastrada, você tem dois caminhos: (1) Você ainda pode convencer algum professor da sua universidade a se cadastrar. Ele ou ela só precisa divulgar a prova, organizar para que as provas sejam aplicadas e corrigir a primeira fase. Se alguém topar, deve entrar em contato com a Nelly. Note que a OBM universitária é só no segundo semestre, ainda dá tempo de alguém se tornar coordenador. (2) Você pode fazer a prova em outro lugar. Neste caso você deve descobrir uma outra universidade que fique em um lugar relativamente próximo e que já tenha coordenador. Fale com o coordenador de lá e explique a sua situação: ele deve autorizar você a fazer a prova lá. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
Definitivamente indução nao serve a nao ser em casos doidos. desculpa falar assim, mas isso q vc escreveu ai eh pura besteira!! Esse segundo pode ser resolvido shine-mente abrindo e fatorando.Ou mesmo com trigonometria. resolva quando vc falar... eh a mesma coisa de um exercicio ta na secao de PA de um livro e, mesmo vc sabendo que eh de PA, nao consegue resolver. Resumindo, eh uma dica que nem sempre serve. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas A que solucao voce se refere? Do 1o. ou do 2o. problema? Inducao nao me parece aplicavel a nenhum dos dois. on 04.08.03 13:37, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não que eu esteja duvidando da solução, mas onde encontro a prova dessa solução? Achei muito bacana, será que usando indução sai? - Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 8:05 AM Subject: Re: [obm-l] Olimpíadas on 04.08.03 00:10, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, não consegui resolver essas 2 abaixo. Quem me pediu disse que eram de Olimpíadas. Não sei se são. Se alguém puder, me ajude por favor. 1) Quantos quadrados perfeitos existem entre 7^4 e 4^7? 7^4 = (7^2)^2 = 49^2 4^7 = 2^14 = (2^7)^2 = 128^2 Logo, o numero de quadrados eh 128 - 48 = 80 (incluindo 7^4 e 4^7). Se quisermos os quadrados estritamente entre 7^4 e 4^7, o numero eh 78. 2) resolva a equação: x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))) Esse foi um problema da OBM-2002. De uma olhada na mensagem do MuriloRFL pra lista de 14-Julho-2003. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas on 05.08.03 00:07, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Refiro-me ao 1), vejamos: 7^4 = (7^2)^2 = 49^2 4^7 = 2^14 = (2^7)^2 = 128^2 Logo, o numero de quadrados eh 128 - 48 = 80 (incluindo 7^4 e 4^7). Se quisermos os quadrados estritamente entre 7^4 e 4^7, o numero eh 78. Eu não entendi bem o que garante que a resposta é 128-48. Os quadrados perfeitos entre 49^2 e 128^2 (incluindo as extremidades) sao: 49^2, 50^2, 51^2, ..., 127^2, 128^2 == total de 128 - 49 + 1 = 128 - 48 = 80. Essa soluçao seria a mesma se eu quisesse 3^4 e 4^3 Nesse caso teriamos 3^4 = 9^2 e 4^3 = 8^2. Logo, os quadrados seriam: 8^2 e 9^2 == total de 2. E se tivéssemos x^y e y^x? Generalizando, a ideia eh achar m e n tais que que m^2 = x^y e n^2 = y^x == m = x^(y/2) e n = y^(x/2). Claro que esses numeros podem nao ser inteiros. Por exemplo, considere os numeros 7^3 e 3^7. O menor quadrado perfeito maior do que 7^3 eh 19^2 e o maior quadrado perfeito menor do que 3^7 eh 46^2. Logo, o numero de quadrados perfeitos entre 7^3 e 3^7 eh 46 - 19 + 1 = 28 (sao eles: 19^2, 20^2, 21^2, ..., 45^2, 46^2). Espero que tenha ficado claro. Um abraco, Claudio. Vc usou: logo, o número... essa passagem não ficou clara p/ mim. Talvez seja algum resultado que eu não conheço. Desde já agradeço. - Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 10:40 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas A que solucao voce se refere? Do 1o. ou do 2o. problema? Inducao nao me parece aplicavel a nenhum dos dois. on 04.08.03 13:37, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não que eu esteja duvidando da solução, mas onde encontro a prova dessa solução? Achei muito bacana, será que usando indução sai? - Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 8:05 AM Subject: Re: [obm-l] Olimpíadas on 04.08.03 00:10, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, não consegui resolver essas 2 abaixo. Quem me pediu disse que eram de Olimpíadas. Não sei se são. Se alguém puder, me ajude por favor. 1) Quantos quadrados perfeitos existem entre 7^4 e 4^7? 2) resolva a equação: x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))) Esse foi um problema da OBM-2002. De uma olhada na mensagem do MuriloRFL pra lista de 14-Julho-2003. Um abraco, Claudio. Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra http://www.emailprotegido.terra.com.br/ . Scan engine: VirusScan / Atualizado em 01/08/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas Refiro-me ao 1), vejamos: 7^4 = (7^2)^2 = 49^24^7 = 2^14 = (2^7)^2 = 128^2Logo, o numero de quadrados eh 128 - 48 = 80 (incluindo 7^4 e 4^7).Se quisermos os quadrados estritamente entre 7^4 e 4^7, o numero eh 78. Eu não entendi bem o que garante quea resposta é 128-48. Essa soluçao seria a mesma se eu quisesse 3^4 e 4^3 E se tivéssemos x^y e y^x? Vc usou: " logo, o número..." essa passagem não ficou clara p/ mim. Talvez seja algum resultado que eu não conheço. Desde já agradeço. - Original Message - From: Claudio Buffara To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 10:40 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas A que solucao voce se refere? Do 1o. ou do 2o. problema?Inducao nao me parece aplicavel a nenhum dos dois.on 04.08.03 13:37, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não que eu esteja duvidando da solução, mas onde encontro a prova dessa solução?Achei muito bacana, será que usando indução sai? - Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 8:05 AMSubject: Re: [obm-l] Olimpíadason 04.08.03 00:10, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, não consegui resolver essas 2 abaixo. Quem me pediu disse que eram de Olimpíadas. Não sei se são.Se alguém puder, me ajude por favor.1) Quantos quadrados perfeitos existem entre 7^4 e 4^7?2) resolva a equação: x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x)))Esse foi um problema da OBM-2002. De uma olhada na mensagem do MuriloRFL pra lista de 14-Julho-2003. Um abraco,Claudio. Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 01/08/2003 / Versão: 1.3.13Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
Definitivamente indução nao serve a nao ser em casos doidos.Esse segundo pode ser resolvido shine-mente abrindo e fatorando.Ou mesmo com trigonometria. --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: A que solucao voce se refere? Do 1o. ou do 2o. problema? Inducao nao me parece aplicavel a nenhum dos dois. on 04.08.03 13:37, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não que eu esteja duvidando da solução, mas onde encontro a prova dessa solução? Achei muito bacana, será que usando indução sai? - Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 8:05 AM Subject: Re: [obm-l] Olimpíadas on 04.08.03 00:10, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, não consegui resolver essas 2 abaixo. Quem me pediu disse que eram de Olimpíadas. Não sei se são. Se alguém puder, me ajude por favor. 1) Quantos quadrados perfeitos existem entre 7^4 e 4^7? 7^4 = (7^2)^2 = 49^2 4^7 = 2^14 = (2^7)^2 = 128^2 Logo, o numero de quadrados eh 128 - 48 = 80 (incluindo 7^4 e 4^7). Se quisermos os quadrados estritamente entre 7^4 e 4^7, o numero eh 78. 2) resolva a equação: x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))) Esse foi um problema da OBM-2002. De uma olhada na mensagem do MuriloRFL pra lista de 14-Julho-2003. Um abraco, Claudio. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
Title: Re: [obm-l] Olimpíadas Não que eu esteja duvidando da solução, mas onde encontro a prova dessa solução? Achei muito bacana, será que usando indução sai? - Original Message - From: Claudio Buffara To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 8:05 AM Subject: Re: [obm-l] Olimpíadas on 04.08.03 00:10, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, não consegui resolver essas 2 abaixo. Quem me pediu disse que eram de Olimpíadas. Não sei se são.Se alguém puder, me ajude por favor.1) Quantos quadrados perfeitos existem entre 7^4 e 4^7?7^4 = (7^2)^2 = 49^24^7 = 2^14 = (2^7)^2 = 128^2Logo, o numero de quadrados eh 128 - 48 = 80 (incluindo 7^4 e 4^7).Se quisermos os quadrados estritamente entre 7^4 e 4^7, o numero eh 78.2) resolva a equação: x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x)))Esse foi um problema da OBM-2002. De uma olhada na mensagem do MuriloRFL pra lista de 14-Julho-2003. Um abraco,Claudio. Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 01/08/2003 / Versão: 1.3.13Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Dizer q os numeros a,b,c sao tangentes de um triangulo eh equivalente a dizer que a+b+c=abc. Logo, basta resolver essa eq. nos inteiros positivos.. 1/(bc) + 1/(ac) + 1/(ab) = 1... Agora, nao eh dificil ver que a unica solucao nos inteiros positivos de * 1/x+1/y+1/z = 1 com x=y=z eh (x,y,z)=(2,3,6) (note que ninguem pode ser 1. tmb nao se pode ter x=y=2, pois isso daria 1/z=0.. logo, 1/x+1/y = 1/2+1/3 = 5/6, de modo que 1/z=1/6 ou z=6. ai vc testa rapidinho os casos q sobram). Supondo, spg, ab=bc=ac: ab=2, bc=3, ac=6, logo a=2, b=1, c=3.. Resp: Os nrs sao 1,2,3. Deve ser mais simples que isso resolver a+b+c=abc.. eh que eu ja sabia * e foi mais facil pra mim assim.. Marcio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 22, 2003 6:49 PM Subject: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo Estou resolvendo o exercício abaixo, quase todo por inspeção. Calculei tg de 15 graus, tg de 75 graus, arctgb=2, obtendo b=60graus mais um acréscimo x.., arctga=3, obtendo a=75 graus menos y e assim por diante...Ja da para concluir algumas coisas, mas gostaria de saber se existe um caminho menos braçal, ou, se não houver, gostaria que me confirmassem... Desde já agradeço, Crom. Espanha-1998 As tangentes dos ãngulos de um triângulo são inteiros positivos. Determine estes números. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Oi para todos! Sejam x, y e z=180º-(x+y) os 3 ângulos do triângulo. Usando tg(x+y) = (tg(x) + tg(y))/(1 - tg(x)tg(y)) e tg(180º-x) = -tg(x), tg(z) = (tg(x) + tg(y))/(tg(x)tg(y) -1) Então basta resolver a equação a = (b+c)/(bc-1) = abc -a =b+c = abc = a+b+c. É fácil ver que (1,2,3) é resposta Falta provar que essa é a única resposta. Se não me engano isso caiu na Unicamp em 2001 (2ª fase) André T. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 22, 2003 6:49 PM Subject: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo Estou resolvendo o exercício abaixo, quase todo por inspeção. Calculei tg de 15 graus, tg de 75 graus, arctgb=2, obtendo b=60graus mais um acréscimo x.., arctga=3, obtendo a=75 graus menos y e assim por diante...Ja da para concluir algumas coisas, mas gostaria de saber se existe um caminho menos braçal, ou, se não houver, gostaria que me confirmassem... Desde já agradeço, Crom.Espanha-1998As tangentes dos ãngulos de um triângulo são inteiros positivos. Determine estes números.
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Infelizmente você está sendo grosseiro e arrogante (mesmo sem querer). Eu não vejo problema algum em uma pessoa querer saber se há soluções alternativas para um problema que ela já resolveu. E isso não tem nada a ver com auto-confiança. Acho que as pessoas fazem parte da lista pra aprender e se aperfeiçoar e não pra se mostrar e fazer grosserias, que parece ser o seu caso. Claudio Buffara. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 11, 2003 12:59 PM Subject: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo. So uma pergunta:voce nao confia em si mesmo?Sem querer ser grosseiro,claro...[EMAIL PROTECTED] wrote: Resolvi o problema abaixo, mas gostaria de ver( se possível ) a solução de outros da lista e poder concluir se a minha é a mais otimizada ou não ( ficou grande ). Problema:Eduardo escreveu todos os produtos, todas as somas e todos os valores absolutos das diferenças dos inteiros positivos a_1,a_2,a_3,.,a_100 tomados dois a dois. Qual o maior número de inteiros ímpares obtidos por Eduardo??ps-Cheguei numa função f(n), que dá o maior número possível de inteiros ímpares obtidos por Eduardopara conseguir esse número máximo de ímpares é necessário que na sequência de cem números inteiros positivos existam 66 ou 67 ímparesSerá que errei nos cálculos??? Um abraço,nb! sp; Crom Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Nesse problema, é para mostrar que entre qualquer seleção de 2^(2n-1) + 1 ímpares nesse intervalo, sempre existem dois elementos a, b tais que b não divide a² e a não divide b², é isso? [ ]'s - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 11, 2003 6:08 PM Subject: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo. Devo lembrar-lhe caro Dirichlet, que Gaus fez três demonstrações de sua tese de doutorado ao longo de sua vidaserá que ele não procurava uma demonstração mais bonita, completa ou elegante??? .Quando pergunto se alguém fez de outro jeito, é porque acredito que vendo diversas resoluções incorporo aos meus arquivos neurais novas referenciasja vi problemas resolvidos de maneiras difrentes com conceitos totalemente diferentes que me ensinaram coisas diferentes. Não sou campeão olímpico e nem tenho esta preocupação...quero retomar o estudo de rudimentos de teoria dos números , bem como questões olimpicas diversas...sou um mero aprendiz de matemática olimpica, , tentando melhorar meus pouquissimos conhecimentos nessa área. Faço isso apenas por realização pessoal...Comecei do zero e hoje , através de comparações com resoluções de outros ja arranho alguns problemas olimpicos. Para que minha mensagem não fique off-topic, Vou mandar um Russo de 2002.Problema:No intervalo ( 2^(2n), 3^(2n)), são escolhidos 2^(2n-1) + 1 números ímpares. Mostre que podemos encontrar entre estes números dois números tais que o quadrado de cada um deles não é divisível pelo outro...Agradeço antecipadamente possíveis soluções... Cromps- Caro Dirichlet, suas resoluções( presumivelmente ótimas) serão bem vindas...
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
estou achando esse problema meio
estranho...
se for pra provar que dado qualquer escolha de
2^(2n - 1) + 1 ímpares entre (2^(2n), 3^(2n)) sempre há dois ímpares a, b tais
que a² não divide b² e nem b² divide a²:
se a² | b²
= existe c inteiro tq. b² =
c.a²
= (b - raiz(c).a)(b +
raiz(c).a) = 0
= b = +/- raiz(c).a, como a e b são
inteiros c deve ser quadrado perfeito, c = d² pra um inteiro
= b = +/- d.a = a | b
considere qualquer conjunto ordenado de t = 2^(2n -
1) + 1 ímpares entre (2^(2n), 3^(2n))
{x1, x2, ..., x[t]}
queremos verificar que não há jeito de manter a
propriedade x[i] | x[j] para todo 1 = i = j = t, ou seja é
impossível não haver dois elementos cujos quadrados não podem ser
múltiplo/divisor.
bom, temos que x2 = y1*x1 para algum y1 inteiro, y1
1, pois x2 != x1, além disso y1 != 2 pois x2 é ímpar, logo y1 =
3.
da mesma forma x3 = y2*x2 = y2*y1*x2 e y2 = 3
pelo mesmo raciocínio... logo x3 = 9x1, x4 = 27x1...
x[t] = 3^[2^(2n - 1)]x1, mas isso é bem maior
do que 3^(2n), e isso é o que me cheira estranho problemas desse tipo nunca
deixam uma margem tão folgada assim... será que eu interpretei o problema de
forma errada ou o enunciado está errado, ou ainda, há um erro no meu raciocínio
exposto nesta mensagem?
[ ]'s
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To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, June 11, 2003 6:08
PM
Subject: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor
do mundo.
Devo lembrar-lhe caro Dirichlet, que Gaus fez três
demonstrações de sua tese de doutorado ao longo de sua vidaserá que ele
não procurava uma demonstração mais bonita, completa ou elegante??? .Quando
pergunto se alguém fez de outro jeito, é porque acredito que vendo diversas
resoluções incorporo aos meus arquivos neurais novas referenciasja vi
problemas resolvidos de maneiras difrentes com conceitos totalemente
diferentes que me ensinaram coisas diferentes. Não sou campeão olímpico e nem
tenho esta preocupação...quero retomar o estudo de rudimentos de teoria dos
números , bem como questões olimpicas diversas...sou um mero aprendiz de
matemática olimpica, , tentando melhorar meus pouquissimos conhecimentos nessa
área. Faço isso apenas por realização pessoal...Comecei do zero e hoje ,
através de comparações com resoluções de outros ja arranho alguns problemas
olimpicos. Para que minha mensagem não fique off-topic, Vou mandar um Russo de
2002.Problema:No intervalo ( 2^(2n), 3^(2n)), são escolhidos 2^(2n-1)
+ 1 números ímpares. Mostre que podemos encontrar entre estes números dois
números tais que o quadrado de cada um deles não é divisível pelo
outro...Agradeço antecipadamente possíveis
soluções...
Cromps- Caro Dirichlet, suas resoluções( presumivelmente ótimas) serão bem
vindas...
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo.....
Aqui vai uma para voce
comparar.. Considere os numeros modulo 2 (i.e, como soh a paridade importa, olhe
os pares comoP e os impares como I).
Se existirem k I's, entao tem-se 100-k P's
e:
Para a soma dar impar, voce tem
que somar umaP com um I. Existem portanto k(100-k) somas
impares.
Para a diferenca o resultado eh
igual: k(100-k) (pois a-b e a+b tem a mesma paridade).
Para o produto dar impar, vc
deve pegar dois impares, o que pode ser feito de Binomial (k,2) = k(k-1)/2
modos.
Portanto, o numero total de impares
eh:
f(k) = 2k(100-k) + k(k-1)/2
=(399k-3k^2) /2 = (3/2) * k * (133-k) , com k um natural em
{0,1,...,100}.
Analisando a funcao do 2o grau k(133-k), vemos que
o valor desse dominio na qual ela eh minima eh de fato 66 ou 67, exatamente como
voce afirmou.
Marcio
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Sent: Tuesday, June 10, 2003 9:20
PM
Subject: [obm-l] olimpíadas ao redor do
mundo.
Resolvi o problema abaixo, mas gostaria de ver( se possível
) a solução de outros da lista e poder concluir se a minha é a mais otimizada
ou não ( ficou grande ). Problema:Eduardo escreveu todos os
produtos, todas as somas e todos os valores absolutos das diferenças dos
inteiros positivos a_1,a_2,a_3,.,a_100 tomados dois a dois. Qual o maior
número de inteiros ímpares obtidos por Eduardo??ps-Cheguei numa função
f(n), que dá o maior número possível de inteiros ímpares obtidos por
Eduardopara conseguir esse número máximo de ímpares é necessário que na
sequência de cem números inteiros positivos existam 66 ou 67
ímparesSerá que errei nos
cálculos??? Um
abraço,
Crom
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
E aí rapaziada!! Tudo bem??Alguém ai tem disposição para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1, existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é composto. Valeu. Crom * Oi, Crom: Imagino que você queira dizer 1 + a + ... + a^(p-1) é composto. Se esse for o caso, teremos: a = 2 == 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^10 = 2^11 -1 = 23*89 == composto. Agora, seja a um inteiro qualquer = 3. Seja p o menor primo que divide a - 1 (como a - 1 = 2,a existência de um tal primo estará assegurada - foi por isso que eu separei o caso a = 2). Então, p também irá dividir a^2 - 1, a^3 - 1, ..., a^(p-1) - 1. Só que: (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 - 1) + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 + a + a^2 + ... + a^(p-1)) - p, ou seja: 1 + a + + a^(p-1) = p + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) Como p divide cada parcela do lado direito (e, portanto, sua soma), concluímos que p também dividirá o lado esquerdo. Como p dividea - 1, teremos que p = a - 1 1 + a = 1 + a + ... + a^(p-1). Logo, 1 + a + ... + a^(p-1)tempelo menos um outro fator primo além de p == 1 + a+ ... + a^(p-1) é composto. Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Nossa , Cláudio...que distração!!! Estava tentando resolver para um natural qualquer...copiei errado e comecei a pensar neleme pareceu absurdo a principio, mas ja quebrei a cara por deixar minha intuição prevalecer em problemas olímpicos...fico feliz com a sua resolução, pois, do jeito que eu copiei o enunciado , realmente o problema não teria sentido.Valeu mais uma vez. Ruy
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Cláudio, eu tive a mesma idéia que você, mas havia expressado de outra forma... seja p um primo tal que a ~ 1 (mod p) a menos de a = 2, esse primo existe, basta pegar um primo que divida a - 1 (como vc bem notou, esse primo existe sempre para a 2). agora note que 1 + a + ... + a^(p-1) ~ 1 + 1 + ... + 1 = p ~ 0 (mod p) ou seja p divide o somatório, como sabemos que p 1 + a + ... + a^(p-1), temos que o número é composto. [ ]'s - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 12:58 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo E aí rapaziada!! Tudo bem??Alguém ai tem disposição para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1, existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é composto. Valeu. Crom * Oi, Crom: Imagino que você queira dizer 1 + a + ... + a^(p-1) é composto. Se esse for o caso, teremos: a = 2 == 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^10 = 2^11 -1 = 23*89 == composto. Agora, seja a um inteiro qualquer = 3. Seja p o menor primo que divide a - 1 (como a - 1 = 2,a existência de um tal primo estará assegurada - foi por isso que eu separei o caso a = 2). Então, p também irá dividir a^2 - 1, a^3 - 1, ..., a^(p-1) - 1. Só que: (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 - 1) + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 + a + a^2 + ... + a^(p-1)) - p, ou seja: 1 + a + + a^(p-1) = p + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) Como p divide cada parcela do lado direito (e, portanto, sua soma), concluímos que p também dividirá o lado esquerdo. Como p dividea - 1, teremos que p = a - 1 1 + a = 1 + a + ... + a^(p-1). Logo, 1 + a + ... + a^(p-1)tempelo menos um outro fator primo além de p == 1 + a+ ... + a^(p-1) é composto. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
É isso aí. A mesma solução, só queem linguagem decongruências. De fato, com congruências fica até mais fácil mostrar o seguinte: Para todo inteiro a 2, existe um primo p tal que: 1 + 2a + 3a^2 + ... + pa^(p-1) é composto (e múltiplo de p). Será que pra a = 2 também vale? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Domingos Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 3:02 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo Cláudio, eu tive a mesma idéia que você, mas havia expressado de outra forma... seja p um primo tal que a ~ 1 (mod p) a menos de a = 2, esse primo existe, basta pegar um primo que divida a - 1 (como vc bem notou, esse primo existe sempre para a 2). agora note que 1 + a + ... + a^(p-1) ~ 1 + 1 + ... + 1 = p ~ 0 (mod p) ou seja p divide o somatório, como sabemos que p 1 + a + ... + a^(p-1), temos que o número é composto. [ ]'s - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 12:58 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo E aí rapaziada!! Tudo bem??Alguém ai tem disposição para pensar nesse??? Mostre que para todo inteiro a1, existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é composto. Valeu. Crom * Oi, Crom: Imagino que você queira dizer 1 + a + ... + a^(p-1) é composto. Se esse for o caso, teremos: a = 2 == 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^10 = 2^11 -1 = 23*89 == composto. Agora, seja a um inteiro qualquer = 3. Seja p o menor primo que divide a - 1 (como a - 1 = 2,a existência de um tal primo estará assegurada - foi por isso que eu separei o caso a = 2). Então, p também irá dividir a^2 - 1, a^3 - 1, ..., a^(p-1) - 1. Só que: (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 - 1) + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) = (1 + a + a^2 + ... + a^(p-1)) - p, ou seja: 1 + a + + a^(p-1) = p + (a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) Como p divide cada parcela do lado direito (e, portanto, sua soma), concluímos que p também dividirá o lado esquerdo. Como p dividea - 1, teremos que p = a - 1 1 + a = 1 + a + ... + a^(p-1). Logo, 1 + a + ... + a^(p-1)tempelo menos um outro fator primo além de p == 1 + a+ ... + a^(p-1) é composto. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
a =2, p = 5 1 + 2.2 + 3.2² + 4.2³ + 5.2^4= 1 + 4 + 12 + 32 + 80 = 129 = 3*43 - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 4:35 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo É isso aí. A mesma solução, só queem linguagem decongruências. De fato, com congruências fica até mais fácil mostrar o seguinte: Para todo inteiro a 2, existe um primo p tal que: 1 + 2a + 3a^2 + ... + pa^(p-1) é composto (e múltiplo de p). Será que pra a = 2 também vale? Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo...
Nao precisa disso tudo...Analise uma equaçao de segundo grau em x ai ce resolve com deltas e manda balaUse teoria bem elementar dos numeros. Na outra use as definiçoes -- Mensagem original -- E aí moçada.tô mandando uns problemas , na esperança de ajuda... 1) Determine todos os pares de números inteiros ( x,y ) que satisfazem a equação: y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12)=0. neste exercicio fiz o seguinte( baseado na resolução de uma outra equação pelo Claudio pratica), fiz y=x+a, substitui na equação e depois fiz a análise para alguns valores de a que anulavam parcelas da equação achando os pares , (4,4), ( 0,0 ), ( 0,6 ) e (-8,-2 ).Mas como posso analisar as soluções para valores de a que não anulam essas parcelas??? 2) 2n tem 28 divisores distintos, 3n tem 30 divisores distintos...determine o numero de divisores de 6n, onde n é natural??? Se alguem mandar uma ajuda, será de grande valia pra mim, que não tinha contato com matemática olímpica. Está matemática que banaliza a maioria das provas de vestibular e com certeza as provas acadêmicas da faculdade( dada a imprevisibilidade das questões) é tão fascinante quanto complexa...principalmente pra iniciantes como eu. Crom TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....
Oi, Korshinói: Aqui vai minha solução para o seu outro problema: Determine todos os inteiros x e y que satisfazem à equação x^3+9xy+127=y^3. Ela é longa e deselegante, mas acho que está certa. A idéia é achar uma relação do tipo y = x + a, para algum a inteiro, que facilite a resolução. Inicialmente, reescrevemos a equação como uma diferença de cubos e reduzimos mod 3: y^3 - x^3 = 9xy + 127 = 9*(xy + 14) + 1 == y^3 - x^3 = 1 (mod 3) == y - x = 1 (mod 3) == y = x + 3m + 1 para algum inteiro m Substituindo y = x + 3m + 1 em: (y - x)(y^2 + xy + x^2) = 9xy + 127 obtemos: (3m+1)(x^2 + 2(3m+1)x + (3m+1)^2 + x(x+3m+1) + x^2) = 9x(x+3m+1) + 127 == (3m+1)(3x^2 + 3(3m+1)x + (3m+1)^2) = 9x^2 + 9(3m+1)x + 127 == (3(3m+1) - 9)x^2 + (3(3m+1)^2 - 9(3m+1))x + (3m+1)^3 - 127 = 0 == x^2 + (3m+1)x + [(3m+1)^3 - 127]/[3(3m+1) - 9] = 0 (***) == Como x^2 e (3m+1)x são inteiros, temos que ter, necessariamente: [3(3m+1) - 9] divide [(3m+1)^3 - 127] Mas: 3(3m+1) - 9 = 3(3m-2) e (3m+1)^3 - 127 = 27m^3 + 27m^2 + 9m -126 = 9(3m^3 + 3m^2 + m - 14) Levando em conta que 3m-2 é primo com 3, concluímos que: 3m-2 divide (3m^3 + 3m^2 + m - 14) Agora, mediante divisões sucessivas de polinômios em m, vamos tentar achar os valores de m para os quais a divisibilidade ocorre: A) 3m^3 + 3m^2 + m - 14 = (3m - 2)(m^2 + 5m/3 + 13/9) - 100/9 == 5m/3 + 13/9 - 100/(9(3m-2)) é inteiro == (15m^2 + m - 14)/(3m-2) é inteiro == B) 15m^2 + m - 14 = (3m - 2)(5m + 11/3) - 20/3 == 11/3 - 20/(3(3m-2)) é inteiro == (11m - 14)/(3m - 2) é inteiro == 3 + (2m - 8)/(3m - 2) é inteiro == 3m - 2 divide 2m - 8 Ora, se 3m -2 divide 2m - 8, então |3m - 2| = |2m - 8|. Essa desigualdade de valores absolutos só ocorre para -6 = m = 2. Testando estes valores, achamos que a condição de divisibilidade só é satisfeita para m = -6, -1, 0, 1 ou 2. Substituindo estes valores de m na equação (***) acima: x^2 + (3m+1)x + [(3m+1)^3 - 127]/[3(3m+1) - 9] = 0, chegaremos às seguintes 5 equações: m = -6: x^2 -17x + 84 = 0 == sem soluções inteiras m = -1: x^2 -2x + 9 = 0 == sem soluções inteiras m = 0: x^2 + x + 21 = 0 == sem soluções inteiras m = 1: x^2 + 4x - 21 = 0 == soluções: x = 3 e x = -7 m = 2: x^2 + 7x + 18 = 0 == sem soluções inteiras Assim, somente m = 1 produz valores inteiros para x. Os valores correspondentes de y (= x+3m+1 = x+4) serão: x = 3 == y = 7 x = -7 == y = -3 Logo, as únicas soluções são (3,7) e (-7,-3). Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....
Se voce tem um PS em sua casa va no site da olimpiada bulgara,e na Eureka! -- Mensagem original -- 1)Determine o menor número natural n talq que a soma dos quadrados de seus divisores(incluindo 1 e n ) é igual ( n+ 3 )^2. 2)Determine todos os inteiros x e y que satisfazem à equação x^3+9xy+127=y^3. Se alguem me der uma dica agradeço. Obrigado, Korshinói ps Como vocês, que têm muita experiência em olimpíadas, vêem o grau de dificuldade dos exercicios da seção Olimpíadas pelo mundo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....
Caro Korshinoi: Eu fiz alguma coisa na primeira. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:00 AM Subject: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo 1)Determine o menor número natural n talq que a soma dos quadrados de seus divisores(incluindo 1 e n ) é igual ( n+ 3 )^2. (n+3)^2 = n^2 + 6n + 9 == soma dos quadrados dos divisores próprios de n = SQDP(n) = 6n + 9 n tem 1 divisor próprio == n é primo e SQDP(n) = 1^2 = 1 6*n + 9 n tem 2 divisores próprios == n = p^2 (p: primo) e SQDP(n) = 1 + p^2 6p^2 + 9 n tem 3 divisores próprios == n = p^3 ou n = pq (p,q: primos distintos) n = p^3 == SQDP(n) = 1 + p^2 + p^4 = 6p^3 + 9 == p^4 - 6p^3 + p^2 - 8 = 0 == não tem raízes inteiras n = pq == SQDP(n) = 1 + p^2 + q^2 = 6pq + 9 == q^2 - (6p)q + (p^2 - 8) = 0 == q = 3p +/- 2*raiz(2p^2 + 2) por inspeção (eufemismo para no braço) verificamos que o menor primo p tal que raiz(2p^2 + 2) é inteiro é p = 7 == raiz(2*7^2+2) = 10 == q = 3*7 +/- 2*10 == q = 1 (não é primo) ou q = 41 == q = 41 == n = p*q = 7*41 = 287 Checando: 1^2 + 7^2 + 41^2 + 287^2 = 84.100 = (287 + 3)^2 Agora, temos que ter certeza de que nenhum n inferior a 287 tem SQDP(n) = 6n + 9 ou então achar um tal n, mas eu tou meio sem idéias e sem saco de checar por inspeção, apesar de que podemos eliminar os casos em que n é primo ou quadrado de primo ou produto de dois primos distintos. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....
Tenta no site da Bulgaria ou esperem publicar na Eureka! -- Mensagem original -- Caro Korshinoi: Eu fiz alguma coisa na primeira. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:00 AM Subject: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo 1)Determine o menor número natural n talq que a soma dos quadrados de seus divisores(incluindo 1 e n ) é igual ( n+ 3 )^2. (n+3)^2 = n^2 + 6n + 9 == soma dos quadrados dos divisores próprios de n = SQDP(n) = 6n + 9 n tem 1 divisor próprio == n é primo e SQDP(n) = 1^2 = 1 6*n + 9 n tem 2 divisores próprios == n = p^2 (p: primo) e SQDP(n) = 1 + p^2 6p^2 + 9 n tem 3 divisores próprios == n = p^3 ou n = pq (p,q: primos distintos) n = p^3 == SQDP(n) = 1 + p^2 + p^4 = 6p^3 + 9 == p^4 - 6p^3 + p^2 - 8 = 0 == não tem raízes inteiras n = pq == SQDP(n) = 1 + p^2 + q^2 = 6pq + 9 == q^2 - (6p)q + (p^2 - 8) = 0 == q = 3p +/- 2*raiz(2p^2 + 2) por inspeção (eufemismo para no braço) verificamos que o menor primo p tal que raiz(2p^2 + 2) é inteiro é p = 7 == raiz(2*7^2+2) = 10 == q = 3*7 +/- 2*10 == q = 1 (não é primo) ou q = 41 == q = 41 == n = p*q = 7*41 = 287 Checando: 1^2 + 7^2 + 41^2 + 287^2 = 84.100 = (287 + 3)^2 Agora, temos que ter certeza de que nenhum n inferior a 287 tem SQDP(n) = 6n + 9 ou então achar um tal n, mas eu tou meio sem idéias e sem saco de checar por inspeção, apesar de que podemos eliminar os casos em que n é primo ou quadrado de primo ou produto de dois primos distintos. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo....
Coloquei em uma programa de matemática, a resposta foi: Fatorar: x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^2)(y^2) - 2(y^2)(z^2) - 2(z^2)(x^2) Resultado: (x + y + z)·(x + y - z)·(x - y - z)·(x - y + z) Daniel O. Costa - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 04, 2003 2:32 AM Subject: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo Alguém consegue fatorar??A=x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2. Obrigado
