[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] perímetro mínimo
Obrigado pelos esclarecimentos. Estou analisando aqui. --- Em seg, 23/6/08, Luiz Alberto Duran Salomão [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Luiz Alberto Duran Salomão [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] perímetro mínimo Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 23 de Junho de 2008, 10:37 Caro Ponce: Creio que sua intenção foi dizer que C é a interseção de OY com BP (e não AP) e que B estaria na interseção de OX com CQ (e não AQ), não é mesmo? Abraços, Luiz Alberto - Original Message - From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, June 22, 2008 6:40 PM Subject: Re: [obm-l] perímetro mínimo Ola' Eder, suponhamos que o ponto B ja' estivesse marcado, e que estamos apenas procurando pelo ponto C otimo, sobre OY. Nesse caso, para minimizar BC + CA , vemos que C e' a intersecao de OY com AP , onde P e' o ponto simetrico de A em relacao a OY. O mesmo aconteceria se C ja' estivesse marcado, e estivessemos procurando pelo ponto B otimo, que estaria na intersecao de OX com AQ, onde Q e' o simetrico de A em relacao a OX. Portanto, como cada um dos vertices C e B necessariamente otimiza a soma de suas distancias aos outros dois vertices, basta localizar os simetricos de A em relacao a OX e OY, e uni-los, de forma a determinar os vertices C e B. []'s Rogerio Ponce Em 22/06/08, Eder Albuquerque[EMAIL PROTECTED] escreveu: Por gentileza, ajudem-me na questão abaixo Dado um ângulo agudo XOY e um ponto interior A, achar um ponto B sobre OX e um ponto C sobre OY tais que o perímetro do triângulo ABC seja mínimo. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 270.4.1/1514 - Release Date: 23/6/2008 07:17 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] Re: [obm-l] perímetro mínimo
Caro Ponce: Creio que sua intenção foi dizer que C é a interseção de OY com BP (e não AP) e que B estaria na interseção de OX com CQ (e não AQ), não é mesmo? Abraços, Luiz Alberto - Original Message - From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, June 22, 2008 6:40 PM Subject: Re: [obm-l] perímetro mínimo Ola' Eder, suponhamos que o ponto B ja' estivesse marcado, e que estamos apenas procurando pelo ponto C otimo, sobre OY. Nesse caso, para minimizar BC + CA , vemos que C e' a intersecao de OY com AP , onde P e' o ponto simetrico de A em relacao a OY. O mesmo aconteceria se C ja' estivesse marcado, e estivessemos procurando pelo ponto B otimo, que estaria na intersecao de OX com AQ, onde Q e' o simetrico de A em relacao a OX. Portanto, como cada um dos vertices C e B necessariamente otimiza a soma de suas distancias aos outros dois vertices, basta localizar os simetricos de A em relacao a OX e OY, e uni-los, de forma a determinar os vertices C e B. []'s Rogerio Ponce Em 22/06/08, Eder Albuquerque[EMAIL PROTECTED] escreveu: Por gentileza, ajudem-me na questão abaixo Dado um ângulo agudo XOY e um ponto interior A, achar um ponto B sobre OX e um ponto C sobre OY tais que o perímetro do triângulo ABC seja mínimo. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 270.4.1/1514 - Release Date: 23/6/2008 07:17 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] perímetro mínimo
Perfeito, Luiz Alberto! (escrevi apressadamente sem fazer o desenho, e me estrepei...) Reescrevendo corretamente, vem: Suponhamos que o ponto B ja' estivesse marcado, e que estamos apenas procurando pelo ponto C otimo, sobre OY. Nesse caso, para minimizar BC + CA , vemos que C e' a intersecao de OY com BP , onde P e' o ponto simetrico de A em relacao a OY. O mesmo aconteceria se C ja' estivesse marcado, e estivessemos procurando pelo ponto B otimo, que estaria na intersecao de OX com CQ, onde Q e' o simetrico de A em relacao a OX. Portanto, como cada um dos vertices C e B necessariamente otimiza a soma de suas distancias aos outros dois vertices, basta localizar os simetricos de A em relacao a OX e OY, e uni-los, de forma a determinar os vertices C e B. []'s Rogerio Ponce Em 23/06/08, Luiz Alberto Duran Salomão[EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Ponce: Creio que sua intenção foi dizer que C é a interseção de OY com BP (e não AP) e que B estaria na interseção de OX com CQ (e não AQ), não é mesmo? Abraços, Luiz Alberto - Original Message - From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, June 22, 2008 6:40 PM Subject: Re: [obm-l] perímetro mínimo Ola' Eder, suponhamos que o ponto B ja' estivesse marcado, e que estamos apenas procurando pelo ponto C otimo, sobre OY. Nesse caso, para minimizar BC + CA , vemos que C e' a intersecao de OY com AP , onde P e' o ponto simetrico de A em relacao a OY. O mesmo aconteceria se C ja' estivesse marcado, e estivessemos procurando pelo ponto B otimo, que estaria na intersecao de OX com AQ, onde Q e' o simetrico de A em relacao a OX. Portanto, como cada um dos vertices C e B necessariamente otimiza a soma de suas distancias aos outros dois vertices, basta localizar os simetricos de A em relacao a OX e OY, e uni-los, de forma a determinar os vertices C e B. []'s Rogerio Ponce Em 22/06/08, Eder Albuquerque[EMAIL PROTECTED] escreveu: Por gentileza, ajudem-me na questão abaixo Dado um ângulo agudo XOY e um ponto interior A, achar um ponto B sobre OX e um ponto C sobre OY tais que o perímetro do triângulo ABC seja mínimo. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 270.4.1/1514 - Release Date: 23/6/2008 07:17 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] perímetro mínimo
Vamos construir o triângulo primeiro. Considere a circunferência que tangencia os lados do ângulo dado e que passa pelo ponto no interior do ângulo. A reta por esse tal ponto que é tangente à circunferência construída fornece o triângulo de perímetro mínimo. É claro que é necessário provar esse fato.Para isso trace uma outra reta qualquer pelo ponto interior e mostre que ela fornece um triângulo de perímetro maior do que o anterior ( não é difícil e é divertido ). A circunferência usada pode ser construída assim: Construa uma circunferência qualquer que tangencia os lados ângulo dado. Trace uma semi-reta com origem no vértice do ângulo e que passa pelo ponto interior dado.Essa semi-reta corta a circunferência auxiliar em dois pontos, aquele mais próximo da origem é homotético ao ponto interior dado para a homotetia de centro no vértice do ângulo. Fazendo um desenho fica tudo muito claro. Agora é só construir a circunferência que vamos usar para encontrar o triângulo de perímetro mínimo. Fica provado também que tal triângulo é construtível com a régua e o compasso. Isso é interessante porque o segmento de comprimento mínimo que passa pelo ponto e se apóia nos lados do ângulo não goza dessa propriedade. Veja se isso é suficiente. Arconcher.
[obm-l] Re: [obm-l] Perímetro Mínimo
A função correta do perímetro em função de um dos lados é P(b) = 2(400/b +b), ou P(b) = 800/b + 2b, que NÃO é quadrática. Sua derivada é P'(b) = -800/b² + 2b, que zera quando b vale raiz cúbica de 400. Nesse ponto deve estar o mínimo (claro, admitindo tacitamente que, já que o problema afirmou que tem mínimo, esse ponto será mesmo de mínimo) Abraço, João Luís - Original Message - From: Tales Prates Correia To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, November 16, 2007 2:16 PM Subject: RE: [obm-l] Perímetro Mínimo Olá! Lembremo-nos, em primeiro momento, de que todo retângulo é um paralegramo. Conseguintemente, se denotarmos por a e b as medidas de dois de seus lados consecutivos, a medida de se perímetro será P = 2(a + b) * Para tal afirmação recorremos à seguinte propriedade dos paralelogramos: qualquer par de lados opostos são congruentes. Sabemos ainda que a área do retângulo dá-se pelo produto das medidas de seus lados: A = ab **. Logo, é válido afirmar que a = A/b ***. Se substituirmos *** em *, obteremos a lei de correspondência da função perímetro: P(b) = 2(A + b²)/b definida em R+ com imagens em R+. A função derivada de P é definida pela seguinte lei P'(b) = 2(b² - A)/b A única raiz dessa função é b = 20, uma vez que D(P') = R+. Com um pouco de paciência, é possível mostrar que existe uma vizinhança V de b = 20 tal que P'(x) 0 se x b e P'(x) 0 se x b. Por conseguinte P(b) é o mínimo absoluto de P, pois não existem outros extremantes. Assim, o perímetro mínimo do retângulo cuja área vale 400cm² é P(20) = 80cm. Acho que é isso. -- Date: Fri, 16 Nov 2007 12:33:39 -0200 Subject: [obm-l] Perímetro Mínimo From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal ,não consigo montar minha função quadrática em função do perímetro. Dentre os retângulos com área 400cm2, existe um, cujo perímetro é o menor possível. Qual o perímetro deste retângulo, em cm? -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!
[obm-l] Re: [obm-l] Perímetro Mínimo
Opa, errei!!! No email anterior sobre essa questão, escrevi que P'(b) = -800/b² + 2b. Mas o correto é que a derivada é P'(b) é -800/b² + 2, que zera para b=20. - Original Message - From: Tales Prates Correia To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, November 16, 2007 2:16 PM Subject: RE: [obm-l] Perímetro Mínimo Olá! Lembremo-nos, em primeiro momento, de que todo retângulo é um paralegramo. Conseguintemente, se denotarmos por a e b as medidas de dois de seus lados consecutivos, a medida de se perímetro será P = 2(a + b) * Para tal afirmação recorremos à seguinte propriedade dos paralelogramos: qualquer par de lados opostos são congruentes. Sabemos ainda que a área do retângulo dá-se pelo produto das medidas de seus lados: A = ab **. Logo, é válido afirmar que a = A/b ***. Se substituirmos *** em *, obteremos a lei de correspondência da função perímetro: P(b) = 2(A + b²)/b definida em R+ com imagens em R+. A função derivada de P é definida pela seguinte lei P'(b) = 2(b² - A)/b A única raiz dessa função é b = 20, uma vez que D(P') = R+. Com um pouco de paciência, é possível mostrar que existe uma vizinhança V de b = 20 tal que P'(x) 0 se x b e P'(x) 0 se x b. Por conseguinte P(b) é o mínimo absoluto de P, pois não existem outros extremantes. Assim, o perímetro mínimo do retângulo cuja área vale 400cm² é P(20) = 80cm. Acho que é isso. -- Date: Fri, 16 Nov 2007 12:33:39 -0200 Subject: [obm-l] Perímetro Mínimo From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal ,não consigo montar minha função quadrática em função do perímetro. Dentre os retângulos com área 400cm2, existe um, cujo perímetro é o menor possível. Qual o perímetro deste retângulo, em cm? -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!
