Qto a equação pitagórica, um exercício :
Provar que o mdc entre os produtos xyz de todos os ternos pitagoricos
primitivos é o produto xyz do menor terno pitagórico primitivo (3,4 e 5).
Abs
Felipe
--- Em qua, 23/12/09, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: Último Teorema de
Fermat
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 23 de Dezembro de 2009, 14:56
Marco, se voce estiver falando serio, preste MUITA atencao no que eu vou
escrever para entender melhor o enunciado do UTF. Agora, se voce estiver
Trolling, pode rir aa vontade. :) :) :)
O que o Bruno estah dizendo eh que esse teoremas nao sao apenas uma equacao
cada. Eles tem hipoteses, que tem de ser lidas com cuidado.
Por exemplo, o Teorema de Pitagoras nao diz que a^2=b^2+c^2. Ele diz que,
**se a eh a hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos sao b e c**,
***ENTAO*** a^2=b^2+c^2.
Idem, o UTF nao diz que a^nb^n+c^n. Ele diz que, **dados a, b, c e n inteiros
positivos quaisquer, com n2, ENTAO a^nb^n+c^n. (E estes a, b e c nao tem
nada a ver com os a, b e c da linha de cima do Pitagoras.)
Entao vejamos o comeco do seu argumento:
2009/12/23 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com
Olá Fernando,
O UTF diz que não existem soluções inteiras para a equação diofantina
a^n=b^n+c^n quando n2 e a, b, c não-nulos.
O que voce escreveu aqui estah correto, o UTF diz isso. Mas cuidado, nos
queremos PROVAR o UTF, certo? Entao voce nao pode USAR este fato ainda.
(Ah, repare que o enunciado UTF nao diz eh impossivel encontrar a, b e c que
satisfazem isso para todos os valores de n; quero dizer, nao eh que voce estah
tentando achar a, b e c tais que valem **simultanemante** a^3=b^3+c^3 e
a^4=b^4+c^4 e a^5=b^5+c^5... e nao consegue encontra-los... O UTF diz que voce
estah tentando achar uma solucao (a,b,c) de ***ALGUMA*** dessas equacoes -- e
mesmo assim nao consegue, nem umazinha.)
Para n=2 temos o teorema de Pitágoras, i.e., a^2=b^2+c^2. Agora, multiplicando
por a essa equação vem
Nao entendi. Voce estah dizendo que, quaisquer que sejam a, b e c, tem-se
a^2=b^2+c^2? Isto eh falso, neh?...
Ou talvez voce queira dizer suponha que a^2=b^2+c^2. Mas, neste caso,
estariamos trabalhando com valores especificos de a, b e c que satisfazem a
hipotese do Teorema de Pitagoras -- apenas triplas (a,b,c) que sejam lados de
um triangulo retangulo. Mesmo que voce prove que estes valores especificos de
a, b e c nao servem para a^3=b^3+c^3, voce nao prova que a equacao x^3=y^3+z^3
eh impossivel nos inteiros positivos -- voce soh mostra que a equacao eh
impossivel ***dentre as triplas (a,b,c) que satisfazem a^2=b^2+c^2***.
a^3=a.b^2+a.c^2
Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos inteiros positivos, pois não
existem
raízes cúbicas inteiras e positivas desses números.
Nao, voce nao conclui **dali** que a.b^2 e a.c^2 nunca serao cubos inteiros
positivos. Nao sei porque voce concluiu isso... Soh entendo duas possibilidades:
i) Voce usou o UTF, isto eh, que x^3=y^3+z^3 eh impossivel nos inteiros
positivos. Mas usar um teorema eh proibido se voce estah tentando demonstra-lo,
certo?
ii) Talvez voce tenha achado que uma expressao da forma a.b^2 nunca eh um cubo
perfeito, ponto. Bom, isso eh falso -- tente a=64 e b=27, ou a=k^3 e b=m^3 com
m e k inteiros, por exemplo;
Agora, mesmo que voce conseguisse de algum jeito (usando outras hipoteses)
mostrar que a.b^2 e a.c^2 nao sao cubos perfeitos... Voce teria demonstrado
apenas que a^3 nao pode ser escrito como soma de cubos DESTE JEITO a.b^2+a.c^2;
quem garante que nao ha OUTROS jeitos de decompor a^3 como soma de dois cubos?
Espero que voce tenha entendido melhor o enunciado do UTF com esta discussao...
:) :) :)
Abraco, Ralph.
2009/12/22 fernandobar...@bol.com.br
Marco,
nem vou entrar no mérito do acerto ou não do seu desenvolvimento.
Mas, no máximo, o que você conseguiu provar é que, considerando-se a,b,c
inteiros,
Se a^2=b^2+c^2 então a^(n+1) = b^(n+1) + c^(n+1) não acontece.
Infelizmente, este resultado é ridiculamente trivial, e não tem nada a ver com
Fermat.
Feliz Natal.
Em 22/12/2009 04:36, Marco Bivar marco.bi...@gmail.com escreveu:
Faltou-me esclarecer duas coisas:
1ª: Em Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos. leia-se (...)
cubos inteiros.
2ª: Em E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números x^{n+1}=a.b^n
e y^{n+1}=a.c^n tais que (...). leia-se E também as parcelas a.b^n e a.c^n
nunca formarão números inteiros x^{n+1} tal que x^{n+1}=a.b^n, e y^{n+1} tal
que y^{n+1}=a.c^n. Portanto, a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z nunca será equação
diofantina.
=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
