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2018-05-09 Por tôpico Anderson Torres 
Em 6 de maio de 2018 09:07, Yair Benjamini  escreveu:
> 2018-05-05 13:54 GMT-03:00 Anderson Torres :
>> Em 3 de maio de 2018 11:55, Yair Benjamini  escreveu:
>>> 2018-05-03 7:25 GMT-03:00 Anderson Torres :
 Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  
 escreveu:
> 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
>> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
>>>
> não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I 
> seja a
> "base" e II o "passo".
> se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
> deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
> de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.
[...]
 Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
 nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
 e somente se".
>
> A rigor "tem essa"  porque não é difícil descobrir livros com definições assim
>
> Definition 1.5 An integer n is even if n = 2k for some integer k.

Aqui está um tanto claro que se trata de uma definição - o cabeçalho
explicita isso.

Por exemplo, poderíamos ter um "Capítulo 1, Exercício 1: Um inteiro n
é par se n=6k para algum inteiro k".

>
>>>
>>> isso não é questão de dicionário, é convenção.
>>
>> Engraçado, pois todo livro que conheço que usa definições recursivas
>> não faz nenhuma suposição desse gênero, e quando dela precisa, afirma
>> explicitamente que não há outros elementos além dos que podem ser
>> gerados a partir de tais e tais leis de formação.
>
> talvez nos que usam faça sentido. Eu me referiam aos que descrevem o processo.
> Em livros de lógica, onde as fórmulas são definidas indutivamente,
> também é comum
> explicitarem a restrição às regras de formação.
>
>>
>> Para dar um exemplo concreto, tenho o "Elements of Theory of
>> Computation". Eis um exercício:
>
> "In closing this section we shall introduce the idea of a recursively
> defined set X. [...]
>  also given an implicit restriction — that is, a statement to the
> effect that no element
> can be found in the set X except for those that were given in the
> initial collection or those
> that were formed using the prescribed rule(s) provided in the
> recursive process."
> Discrete and Combinatorial mathematics, Grimaldi
>
> "We now turn our attention to how sets can be defined
> recursively.[...] Recursive definitions may also include an
> exclusion rule, which specifies that a recursively defined set
> contains nothing other than those
> elements specified in the basis step or generated by applications of
> the recursive step. In our
> discussions, we will always tacitly assume that the exclusion rule
> holds and no element belongs
> to a recursively defined set unless it is in the initial collection
> specified in the basis step or can
> be generated using the recursive step one or more times."
> Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H. Rosen

Bem, aí é outra coisa. Aqui nós fomos pelo "denominador comum", não
querendo introduzir hipóteses sobre o exercício.

E, bem, aqui estou sendo pedante, ainda não seria de bom tom o
exercício não explicitar tal coisa, justamente por causa disso: o
aluno com dúvida poderia obter uma orientação errônea porque não
transmitiu essas suposições ocultas ao perguntar a algupém que não
conhece a origem do exercício.

Mas acho que já está bem esclarecido aqui.

>
>>> Todo  livro que eu conheço e que fala sobre definição recursiva de conjunto 
>>> avisa que "ficará
>>> assumido implicitamente que ."
>>
>> Este problema que o postador original trouxe é de algum livro que você 
>> conhece?
>
> sim, o do Rosen acima
>
>>
>
> Agora, eu paro por aqui essa thread.
> De início eu só queria contribuir no sentrido de com um pouco de boa
> vontade poderia-se esclarecer a dúvida inicial do rapaz.
> Mas isso estendeu-se demais e fugiu do escopo.
>
> abraço
>
>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

2018-05-06 Por tôpico Yair Benjamini 
2018-05-05 13:54 GMT-03:00 Anderson Torres :
> Em 3 de maio de 2018 11:55, Yair Benjamini  escreveu:
>> 2018-05-03 7:25 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>> Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  
>>> escreveu:
 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
>>
 não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja 
 a
 "base" e II o "passo".
 se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
 deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
 de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.
>>>[...]
>>> Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
>>> nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
>>> e somente se".

A rigor "tem essa"  porque não é difícil descobrir livros com definições assim

Definition 1.5 An integer n is even if n = 2k for some integer k.

>>
>> isso não é questão de dicionário, é convenção.
>
> Engraçado, pois todo livro que conheço que usa definições recursivas
> não faz nenhuma suposição desse gênero, e quando dela precisa, afirma
> explicitamente que não há outros elementos além dos que podem ser
> gerados a partir de tais e tais leis de formação.

talvez nos que usam faça sentido. Eu me referiam aos que descrevem o processo.
Em livros de lógica, onde as fórmulas são definidas indutivamente,
também é comum
explicitarem a restrição às regras de formação.

>
> Para dar um exemplo concreto, tenho o "Elements of Theory of
> Computation". Eis um exercício:

"In closing this section we shall introduce the idea of a recursively
defined set X. [...]
 also given an implicit restriction — that is, a statement to the
effect that no element
can be found in the set X except for those that were given in the
initial collection or those
that were formed using the prescribed rule(s) provided in the
recursive process."
Discrete and Combinatorial mathematics, Grimaldi

"We now turn our attention to how sets can be defined
recursively.[...] Recursive definitions may also include an
exclusion rule, which specifies that a recursively defined set
contains nothing other than those
elements specified in the basis step or generated by applications of
the recursive step. In our
discussions, we will always tacitly assume that the exclusion rule
holds and no element belongs
to a recursively defined set unless it is in the initial collection
specified in the basis step or can
be generated using the recursive step one or more times."
Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H. Rosen

>> Todo  livro que eu conheço e que fala sobre definição recursiva de conjunto 
>> avisa que "ficará
>> assumido implicitamente que ."
>
> Este problema que o postador original trouxe é de algum livro que você 
> conhece?

sim, o do Rosen acima

>

Agora, eu paro por aqui essa thread.
De início eu só queria contribuir no sentrido de com um pouco de boa
vontade poderia-se esclarecer a dúvida inicial do rapaz.
Mas isso estendeu-se demais e fugiu do escopo.

abraço


>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

2018-05-05 Por tôpico Anderson Torres 
Em 3 de maio de 2018 11:55, Yair Benjamini  escreveu:
> 2018-05-03 7:25 GMT-03:00 Anderson Torres :
>> Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  escreveu:
>>> 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
 Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
>
>>> não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja a
>>> "base" e II o "passo".
>>> se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
>>> deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
>>> de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.
>>[...]
>> Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
>> nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
>> e somente se".
>
> isso não é questão de dicionário, é convenção.

Engraçado, pois todo livro que conheço que usa definições recursivas
não faz nenhuma suposição desse gênero, e quando dela precisa, afirma
explicitamente que não há outros elementos além dos que podem ser
gerados a partir de tais e tais leis de formação.

Para dar um exemplo concreto, tenho o "Elements of Theory of
Computation". Eis um exercício:

1.4.3.
Let C be a set of sets defined as follows,
A. {} is in c
B. If S1 is in C and S2 is in C, then {S1,S2} is in C.
C. If S1 is in C and S2 is in C, then S1 x S2 is in C.
D. Nothing is in C except that which follows from A), B), and C).


> Todo  livro que eu conheço e que fala sobre definição recursiva de conjunto 
> avisa que "ficará
> assumido implicitamente que ."

Este problema que o postador original trouxe é de algum livro que você conhece?

>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

2018-05-03 Por tôpico Yair Benjamini 
2018-05-03 7:25 GMT-03:00 Anderson Torres :
> Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  escreveu:
>> 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 

>> não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja a
>> "base" e II o "passo".
>> se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
>> deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
>> de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.
>[...]
> Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
> nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
> e somente se".

isso não é questão de dicionário, é convenção. Todo  livro que eu conheço e
que fala sobre definição recursiva de conjunto avisa que "ficará
assumido implicitamente que ."

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

2018-05-03 Por tôpico Anderson Torres 
Em 1 de maio de 2018 18:54, Yair Benjamini  escreveu:
>
>
> 2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>
>> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
>> escreveu:
>> >
>> >
>> > 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> >>
>> >>
>> >> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
>> >> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
>> >> (supondo
>> >> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
>> >> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas
>> >> que
>> >> este é <= 3.
>> >>
>> >> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que
>> >> o
>> >> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
>> >> que 4
>> >> ou 5 pertençam a A.
>> >>
>> >> []s,
>> >> Claudio.
>> >
>> >
>> >
>> > Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
>> > recursiva.
>>
>> Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
>> conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.
>
>
> não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja a
> "base" e II o "passo".
> se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
> deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
> de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.

Se é definição, não posso supor absolutamente nada além do que diz o
enunciado. E o enunciado não diz nada do gênero "não existe nenhum
elemento que não satisfaça I e II". De fato, em muitas questões de
definição que eu encontro em livros-texto (especificamente em Teoria
da Computação), os autores são esmerados o suficiente para escrever
coisas como "nada mais pode ser um autômato de pilha".

Não tem essa de "se é definição então é se e somente se". Acredito que
nenhum dicionário descreve "definição" como equivalente a "então é se
e somente se".

Se 1 está no conjunto, ele não fere a parte I (3 está no conjunto). A
única coisa que feriria este enunciado é "3 não está neste conjunto",
e a presença de 1 no conjunto não impede a presença do 3.

O mesmo pode ser dito da parte II da definição, mudando os respectivos detalhes.

>
>
>> E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
>> menor elemento", como já foi mostrado.
>>
>>
>> > Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que
>> > está
>> > faltando:
>> > Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não
>> > são
>> > multiplos de 3 é nãõ vazio.
>> > Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
>> > com
>> > x,y em A, portanto m em A. Contradição.
>> >
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues
>> >> :
>> >>>
>> >>> Olá, pessoal!
>> >>> Boa tarde!
>> >>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>> >>>
>> >>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente
>> >>> da
>> >>> seguinte maneira:
>> >>> I. 3∈A;
>> >>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos
>> >>> múltiplos
>> >>> de 3.
>> >>>
>> >>> Estou com muitas dúvidas:
>> >>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
>> >>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
>> >>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
>> >>> . Posso fazer a demonstração por indução?
>> >>>
>> >>> Agradeço qualquer ajuda.
>> >>> Muito obrigado e um abraço!
>> >>> Luiz
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

2018-05-01 Por tôpico Yair Benjamini 
2018-04-29 10:26 GMT-03:00 Anderson Torres :

> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
> escreveu:
> >
> >
> > 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >>
> >>
> >> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> >> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo
> >> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
> >> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas
> que
> >> este é <= 3.
> >>
> >> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que
> o
> >> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
> que 4
> >> ou 5 pertençam a A.
> >>
> >> []s,
> >> Claudio.
> >
> >
> >
> > Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> > recursiva.
>
> Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
> conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.
>

não entendi, foi dito q a definição é recursiva. Então, entendo que I seja
a "base" e II o "passo".
se é definição, então é "se e somente se", logo pra pertencer ao conjunto
deve ser por um de dois motivos,  I ou  II;
de modo que 1 não pertenceria ao conjunto.


E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
> menor elemento", como já foi mostrado.


> > Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que
> está
> > faltando:
> > Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não
> são
> > multiplos de 3 é nãõ vazio.
> > Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
> com
> > x,y em A, portanto m em A. Contradição.
> >
> >>
> >>
> >>
> >> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Boa tarde!
> >>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
> >>>
> >>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
> >>> seguinte maneira:
> >>> I. 3∈A;
> >>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
> >>> de 3.
> >>>
> >>> Estou com muitas dúvidas:
> >>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
> >>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
> >>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
> >>> . Posso fazer a demonstração por indução?
> >>>
> >>> Agradeço qualquer ajuda.
> >>> Muito obrigado e um abraço!
> >>> Luiz
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

2018-04-29 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Oi, Anderson!
Muito obrigado pela ajuda!
Um abraço!
Luiz

On Sun, Apr 29, 2018, 10:38 AM Anderson Torres 
wrote:

> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
> escreveu:
> >
> >
> > 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >>
> >>
> >> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> >> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo
> >> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
> >> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas
> que
> >> este é <= 3.
> >>
> >> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que
> o
> >> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
> que 4
> >> ou 5 pertençam a A.
> >>
> >> []s,
> >> Claudio.
> >
> >
> >
> > Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> > recursiva.
>
> Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
> conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.
>
> E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
> menor elemento", como já foi mostrado.
>
> > Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que
> está
> > faltando:
> > Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não
> são
> > multiplos de 3 é nãõ vazio.
> > Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
> com
> > x,y em A, portanto m em A. Contradição.
> >
> >>
> >>
> >>
> >> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Boa tarde!
> >>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
> >>>
> >>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
> >>> seguinte maneira:
> >>> I. 3∈A;
> >>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
> >>> de 3.
> >>>
> >>> Estou com muitas dúvidas:
> >>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
> >>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
> >>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
> >>> . Posso fazer a demonstração por indução?
> >>>
> >>> Agradeço qualquer ajuda.
> >>> Muito obrigado e um abraço!
> >>> Luiz
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

2018-04-29 Por tôpico Anderson Torres 
Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim  escreveu:
>
>
> 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>
>>
>> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
>> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo
>> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
>> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
>> este é <= 3.
>>
>> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
>> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que 4
>> ou 5 pertençam a A.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>
>
>
> Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> recursiva.

Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.

E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
menor elemento", como já foi mostrado.

> Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que está
> faltando:
> Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não são
> multiplos de 3 é nãõ vazio.
> Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y com
> x,y em A, portanto m em A. Contradição.
>
>>
>>
>>
>> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Boa tarde!
>>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>>>
>>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
>>> seguinte maneira:
>>> I. 3∈A;
>>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
>>> de 3.
>>>
>>> Estou com muitas dúvidas:
>>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
>>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
>>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
>>> . Posso fazer a demonstração por indução?
>>>
>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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