[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 28/05/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Tb eh interessante pensar na procedencia de potencias dentro de raizes quadradas. Veja : sqrt((-3)^2) = ? Certamente pela definicao de modulo voce sabe que isso eh |-3| = 3 Portanto, devemos primeiro aplicar a potencia no -3 e depois multiplicar as potencias 2 por 1/2. Caso contrario obteriamos ((-3)^2)^(0.5) = (-3)^(2*0.5) = (-3)^1 = -3 niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Olá, niski. Você escreveu: Tb eh interessante pensar na procedencia de potencias dentro de raizes quadradas. Veja : sqrt((-3)^2) = ? Aqui, a presença de um sinal funcional infixo (sqrt) e dos parênteses no argumento são suficientes para tornar a expressão perfeitamente decodificável. Temos: sqrt((-3)^2) = sqrt(9) = 3. Certamente pela definicao de modulo voce sabe que isso eh |-3| = 3 Sim, isto seria OUTRA forma de REDUZIR a expressão (como se diz em Lógica), desta vez na presença de uma regra de transformação, qual seja, sqrt(x^2)--|x|. (Tente implementar isto numa linguagem de reescritura como o Mathematica, que opera essencialmente -- em quase todos os casos -- com concordância sintática.) Portanto, devemos primeiro aplicar a potencia no -3 e depois multiplicar as potencias 2 por 1/2. Caso contrario obteriamos ((-3)^2)^(0.5) = (-3)^(2*0.5) = (-3)^1 = -3 Não, o raciocínio aqui não se relaciona propriamente com o nosso tema, que é o papel da precedência de sinais na ambigüidade notacional. Você está simplesmente fornecendo um exemplo de que a propriedade multiplicativa dos expoentes (a^b)^c = a^(b*c) NÃO É VÁLIDA se b,c NÃO forem inteiros! Isto costuma causar surpresa aos estudantes inclinados ao puro formalismo, isto é, à manipulação cega de sinais sem o cuidado de observar as possíveis restrições a que estão sujeitos. Os matemáticos do século XVIII (como o grande Euler) eram exímios formalistas neste sentido, e os erros que cometeram são hoje célebres. Para ver um exemplo com potências e pertinente ao assunto, considere 27^1/3 = ? Colocada para ser reduzida num sistema formal, sem nenhum contexto, esta expressão emperraria a máquina: é ambígua. Seria (27^1)/3 = 9 OU 27^(1/3) = 3? Torna-se necessário estipular uma regra de precedência. Conforme nos ensinam na escola, a potenciação tem prioridade sobre a multiplicação e a divisão. (Por que será?) PORTANTO, 27^1/3 = (27^1)/3 = 9. Abraços, Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Oi, Niski: Fiquei curioso. Por que voce acha que a interpretacao convencional de a+b*c eh a+(b*c) e nao (a+b)*c? Serah que eh porque (a+b)*c = (a*c)+(b*c) eh sempre verdade enquanto que a+(b*c) = (a+b)*(a+c) em geral eh falso? Nao tenho certeza se esse eh um bom motivo. Por exemplo, se a, b, c forem conjuntos, + for uniao e * for intersecao, entao ambas as propriedades distributivas serao sempre verdadeiras. Nesse caso, como voce interpretaria algo como: A uniao B intersecao C ? Um abraco, Claudio. - Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Thu, 29 May 2003 10:57:34 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Tb eh interessante pensar na procedencia de potencias dentro de raizes quadradas. Veja : sqrt((-3)^2) = ? Certamente pela definicao de modulo voce sabe que isso eh |-3| = 3 Portanto, deve potencia no -3 e depois multiplicar as potencias 2 por 1/2. Caso contrario obteriamos ((-3)^2)^(0.5) = (-3)^(2*0.5) = (-3)^1 = -3 niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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claudio.buffara wrote: Oi, Niski: Fiquei curioso. Por que voce acha que a interpretacao convencional de a+b*c eh a+(b*c) e nao (a+b)*c? Serah que eh porque (a+b)*c = (a*c)+(b*c) eh sempre verdade enquanto que a+(b*c) = (a+b)*(a+c) em geral eh falso? Nao tenho certeza se esse eh um bom motivo. Por exemplo, se a, b, c forem conjuntos, + for uniao e * for intersecao, entao ambas as propriedades distributivas serao sempre verdadeiras. Nesse caso, como voce interpretaria algo como: A uniao B intersecao C ? Um abraco, Claudio. Oi Claudio. Nao entendi o motivo desta pergunta... ja que na mensagem anterior eu comentei a respeito de potencias sobre a ordem de procedencia assumida para (((-3)^2)^0.5) Aguardo resposta para discutirmos melhor! Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
