[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido
Olá, Ralph! Tudo bem? Eu gostei muito da maneira que você indicou na segunda opção de resolução. Olhamos o plano xy "por cima" e calculamos a integral "empilhando" os trapézios em relação ao eixo z. Muito obrigado pela resposta! Abraços! Luiz Em qua, 12 de fev de 2020 2:27 PM, Ralph Teixeira escreveu: > Vamos fixar um z (entre 0 e 2) para desenhar a seção horizontal. Como > x+y=z^2 e x+y=2z são duas retas paralelas, a seção horizontal é um trapézio > mais ou menos assim: > > |\ > | \ > | \ > | \ > |\ > \\ > \\ > > As retas inclinadas são x+y=z^2, e x+y=2z. A reta vertical é o eixo y > entre z^2 e z, e a horizontal é o eixo x entre z^2 e z. > > Então o problema na sua integral é que nem sempre o x vai de z^2-y até > 2z-y, depende do valor de y! Trace uma vareta horizontal atravessando o > trapézio: > > -- Na parte "de baixo" do trapézio, a vareta fura o trapézio nas duas > retas inclinadas, ou seja, ali temos o x variando de z^2-y até 2z-y que nem > você falou. Mas isso é só na parte de baixo, ou seja, apenas quando 0 -- Na parte de cima, a vareta fura na reta vertrical e na inclinada, isto > é, 0 > Ou seja, para resolver isso com uma integral tripla dxdydz, vai ter que > dividi-la em duas: > > Int (0 a 2) Int (0 a z^2) Int (z^2-y a 2z-y) dx dy dz + > + Int (0 a 2) Int (z^2 a z) Int (0 a 2z-y) dx dy dz > > ---///--- > > Outra opção (equivalente ao que o Buffara fez, mas subtraindo no plano > antes de integrar para achar o volume): o trapézio pode ser pensado como a > diferença de dois triângulos retângulos isósceles com vértice na origem -- > um grande tem cateto 2z, o pequeno z^2. Então a área de cada trapézio é: > > [(2z)^2 - (z^2)^2]/2 = 2z^2-z^4/2 > > que, naturalmente, varia com z. Note que, como era de se esperar, a área > dá 0 em z=0 e z=2. > > Agora é só integrar essa área para 0<=z<=2. Ou seja: > > Volume = 2.2^3/3 - 2^5/10 = 16/3 - 16/5 = 32/15. > > Abraço, Ralph. > > > On Wed, Feb 12, 2020 at 9:29 AM Pedro José wrote: > >> Bom dia! >> Alguém poderia me ajudar e mostrar onde errei os limites? Resolvendo por >> integral tripla, usando f(x,y,z)=1. >> >> Grato, >> PJMS >> >> Em ter, 11 de fev de 2020 13:11, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos >>> limites e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém >>> me ajudasse onde errei na integral tripla. >>> Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e >>> 2z para dy e finalmente 0 e 2 para dz. >>> Onde está o erro? >>> Grato, >>> PJMS >>> >>> Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas) compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo da z = raiz(x+y). A superfície e o plano se intersectam numa reta: raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z = 2. Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais duplas, calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e x+y = 4. Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA. Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica: Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2)) = 64/3 - (4/15)*4^(5/2) = 64/3 - 128/15 = 64/5 A segunda integral é: Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx = 32/3 Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15 (se não errei nenhuma conta...) []s, Claudio. On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, pessoal! > Tudo bem? > Estou tentando resolver o seguinte problema: > > Ache o volume da região tridimensional definida por: > > z^2 > Sendo que: > x>0 e y>0 e z>0 > > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em > questão. > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo > o resultado por 4. > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. > Alguém pode me ajudar? > Muito obrigado e um abraço! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de
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Luiz Antonio, Creio que os livros de Cálculo cubram integrais iteradas. Eu estudei pelo livro do James Stewart, mas dê uma olhada no livro que você já está acostumado que deve ter esse conteúdo. Mas, basicamente, quando você tem algo do tipo [image: image.png] Você primeiro integra f(x,y,z) de x0 até x1. O resultado vai ser uma função g(y,z). Então integra g(y,z) de y0 até y1, e o resultado vai ser uma h(z). Então integra h(z) de z0 até z1 e obtém um número. (ou seja, vai integrando de dentro pra fora) Outra coisa: esse processo é o mesmo independente da quantidade de integrais que você tiver: integral dupla, tripla, quadrupla, etc é sempre de dentro pra fora. Uma aplicação de integrais iteradas é justamente o cálculo de volume. Se f(x,y,z) = 1, então a integral iterada em dxdydz vai ser o volume do sólido definido pelos limites de integração (volume da região de integração). Um detalhe é que os limites de integração podem ser em função das variáveis mais externas (no caso da imagem, os limites de x podem depender de y e z, e os limites de y podem depender de z, mas os limites de z devem ser fixos) Atenciosamente, Rodrigo de Castro Ângelo Em qua., 12 de fev. de 2020 às 12:14, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, Claudio! > Olá, Pedro! > Tudo bem? > Muito obrigado pela resposta! > Eu estava tentando resolver o problema "empilhando" secções do plano xy, > mas demorei para perceber que eram trapézios. > Isso não deixa de ser uma forma de integração. > Vocês podem me indicar um bom material para eu aprender a trabalhar com as > integrais duplas e triplas? > Percebi que pelas integrais duplas é bem mais fácil. > Não tenho muito conhecimento para utilizar as integrais triplas. > Abraços! > Luiz > > > > Em qua, 12 de fev de 2020 9:29 AM, Pedro José > escreveu: > >> Bom dia! >> Alguém poderia me ajudar e mostrar onde errei os limites? Resolvendo por >> integral tripla, usando f(x,y,z)=1. >> >> Grato, >> PJMS >> >> Em ter, 11 de fev de 2020 13:11, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos >>> limites e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém >>> me ajudasse onde errei na integral tripla. >>> Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e >>> 2z para dy e finalmente 0 e 2 para dz. >>> Onde está o erro? >>> Grato, >>> PJMS >>> >>> Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas) compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo da z = raiz(x+y). A superfície e o plano se intersectam numa reta: raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z = 2. Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais duplas, calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e x+y = 4. Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA. Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica: Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2)) = 64/3 - (4/15)*4^(5/2) = 64/3 - 128/15 = 64/5 A segunda integral é: Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx = 32/3 Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15 (se não errei nenhuma conta...) []s, Claudio. On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, pessoal! > Tudo bem? > Estou tentando resolver o seguinte problema: > > Ache o volume da região tridimensional definida por: > > z^2 > Sendo que: > x>0 e y>0 e z>0 > > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em > questão. > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo > o resultado por 4. > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. > Alguém pode me ajudar? > Muito obrigado e um abraço! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Olá, Pedro! Vou pensar na questão novamente e ver se consigo chegar na resposta. Eu escreverei para dizer se consegui. Muito obrigado! Abraços! Luiz Em seg, 10 de fev de 2020 7:19 PM, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Não sei onde errei está dando exatamente a metade 16/15. > Saudações, > PJMS > > Em seg, 10 de fev de 2020 15:46, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Pedro! >> Tudo bem? >> Obrigado pela resposta! >> A resposta realmente não tem pi: é 32/15. >> Eu percebi ontem que o meu erro foi fazer uma rotação em torno do eixo z. >> Se seccionarmos a figura no plano xy teremos um trapézio. >> Vou pensar na sua sugestão e tentar fazer tudo de novo. >> Muito obrigado! >> Abraços! >> Luiz >> >> >> >> Em seg, 10 de fev de 2020 1:38 PM, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse. >>> Para evitar que postemos soluções erradas. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres < >>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >>> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues escreveu: > > Olá, pessoal! > Tudo bem? > Estou tentando resolver o seguinte problema: > > Ache o volume da região tridimensional definida por: > > z^2>>> > > Sendo que: > x>0 e y>0 e z>0 > > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão. > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o resultado por 4. > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. > Alguém pode me ajudar? Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez? > Muito obrigado e um abraço! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Boa noite! Não sei onde errei está dando exatamente a metade 16/15. Saudações, PJMS Em seg, 10 de fev de 2020 15:46, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, Pedro! > Tudo bem? > Obrigado pela resposta! > A resposta realmente não tem pi: é 32/15. > Eu percebi ontem que o meu erro foi fazer uma rotação em torno do eixo z. > Se seccionarmos a figura no plano xy teremos um trapézio. > Vou pensar na sua sugestão e tentar fazer tudo de novo. > Muito obrigado! > Abraços! > Luiz > > > > Em seg, 10 de fev de 2020 1:38 PM, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse. >> Para evitar que postemos soluções erradas. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues >>> escreveu: >>> > >>> > Olá, pessoal! >>> > Tudo bem? >>> > Estou tentando resolver o seguinte problema: >>> > >>> > Ache o volume da região tridimensional definida por: >>> > >>> > z^2>> > >>> > Sendo que: >>> > x>0 e y>0 e z>0 >>> > >>> > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em >>> questão. >>> > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo >>> o resultado por 4. >>> > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. >>> > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. >>> > Alguém pode me ajudar? >>> >>> Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez? >>> >>> > Muito obrigado e um abraço! >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
