[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
NSSA!!!Ta irritado hoje!?!??!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!? De onde voce tirou tanta raiva acumulada? Resposta do trekitchoz:o angulo maximo deve ser 90 graus.Ai o treco ja fica legal. -- Mensagem original -- Querido Duda ... Querido nao, que isso e coisa de boiola ! Caro Duda, Mas de forma alguma eu ficaria chateado com voce ou com qualquer outra pessoa que porventura mostrasse uma falha ou varias falhas em meus raciocinios, pois se ate os Grandes Prof's desta lista falham e comentem erros, quanto mais eu, um simples estudante ainda lutando para aprender alguma coisa... Em verdade, so nao cometem erros e nao tem duvidas DEUS E OS IMBECIS. Como nao sou uma coisa e nem outra, eu cometi, cometo e cometerei muitos erros : e gostam de mim aqueles que me alertam para que eu me corrija ! Francamente, nao sou castelinho de areia ou estrelinha de papel que a qualquer toque (critica) se desmancha e fica emburradinho no canto guardando rancor. Sem essas viadagens e frescuras vou procurando ser util ao ideal olimpico. Para que essa mensagem nao fique fora de escopo, apresento um problema bacaninho que vi em um cartaz : NUM TRIANGULO ABC, AB=5 e BC=6. QUAL A AREA DO TRIANGULO ABC SE O ANGULO C E MAXIMO ? OBS : O problema e de nivel medio. Portanto, nao vale usar derivadas ou qualquer outro teorema ou raciocinio do CALCULO. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 5,1425,230502 PS : Po, Duda. Essa de acordar de manha, caminhando pra la e pra ca retorcendo o bigode foi genial. To rindo ate agora ! From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal) Date: Thu, 23 May 2002 13:16:33 -0300 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 Caro amigo Paulo, eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente o meu mal entendido. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. PS. eu não possuo bigode. PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista :) Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Grande Duda ! E ai maluco, tudo blz ? Realmente, eu nao recebi a mensagem do Fabio a que voce se refere. Aqui onde estou ha uma preocupacao muito grande com seguranca, mas o sub-sistema que cuida disso ta meio doido e as vezes passa sistematicamente a bloquear certas mensagens, que ele identifica por letras contidas no nome da pessoa que envia. Ele vai ser trocado, mas, ate la, sou obrigado a conviver com isso. O problema surgiu com o nosso colega Dirichlet, que perguntou : E POSSIVEL QUE AS RAIZES CUBICAS DE TRES NUMEROS PRIMOS, DOIS A DOIS DISTINTOS, SEJAM TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA ? Eu conjecturei algo mais amplo, a saber : SE A, B e C SAO NATURAIS, DOIS A DOIS DISTINTOS, NENHUM DELES POTENCIA N-ESIMA DE OUTRO NATURAL, ENTAO ELES NAO PODEM SER TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA. Claramente que a prova do fato acima responde a pergunta do Dirichlet. PRIMEIRO PASSO DA IDEIA Sem perda de generalidade podemos supor A B C. Evidentemente : RAIZ_N(A) RAIZ_N(B) RAIZ_N(C). Dizer que essas raizes sao termos de uma mesma PA significa dizer que existem naturais R, S e T tais que : X + YR = RAIZ_N(A) X + YS = RAIZ_N(B) X + YT = RAIZ_N(C) Para algum par (X,Y) de numeros reais ( que serao, respectivamente : X=primeiro termo da PA, Y=razao da PA ) Veja que eu nao estou impondo que R, S e T estejam em PA. Nao estou impondo tambem uma ordem qualquer sobre eles, isto e, nao estou impondo que, por exemplo, R S T. O certo e que haverao os ponto (R,RAIZ_N(A)) e (T,RAIZ_N(C)). Como a funcao X + Y*N - X e Y reais fixos e N percorrendo os naturais - e linear, se Y o ela sera crescente e, obrigatoriamente, R S T. Se Y 0 ela sera decrescente e R S T. Nos dois casos, a RAIZ_N(B) sera a ordenada de um ponto interior ao intervalo de extremos R e T. Vamos supor doravante, sem perda de generalidade, que R T. Queremos, pois, saber se pode existir um natural Z do conjunto R+1, R+2, ..., T-2,T-1 tal que X + YZ = RAIZ_N(B). SEGUNDO PASSO DA IDEIA. Imagine que voce esta no ponto (R,RAIZ_N(A)). Qual sera a ordenada do ponto que esta sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)) e que tem abscissa R+1 ? sera : RAIZ_N(A) + (RAIZ_N(C)-RAIZ_N(A))/(T-R) = [RAIZ_N(A)*(T-R-1) + RAIZ_N(C)]/(T-R) Se fosse no ponto de abscissa R+2, seria : [RAIZ_N(A)*(T-R-2) + 2RAIZ_N(C)]/(T-R) Os pesos sao sempre da forma : T-R-i e i, isto e, nos estamos diante de uma media ponderada da forma : (p*RAIZ_N(A)+ q*RAIZ_N(C))/(p+q) com p e q naturais e p+q=T-R. Essa e a forma das ordenadas dos pontos sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)). Ja vimos que a RAIZ_N(B) tem que estar entre estes dois pontos. Logo, devem existir p e q atendendo as condicoes que especificamos acima e tais que : RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) Caro amigo Paulo, usando a sua notação. Suponhamos que existe três pontos a b c naturais (não potências n-ésimas) de forma que R_n(a), R_n(b) e R_n(c) pertencem a uma progressão aritmética. Essa progressão possui primeiro termo X e razão Y. E existem dois inteiros R e T tais que: X + Y*R = R_n(a) X + Y*T = R_n(c) Você mostrou que caso seja verdade que R_n(b) pertenca a essa mesma progressão aritmética então vai existir um natural S tal que: X + Y*S = R_n(b) E mais o S divide o segmento [R, T] na mesma proporção que o R_n(b) divide o segmento [R_n(a), R_n(c)]. Em outras palavras o ponto (S, R_n(b)) pertence à reta que liga os dois pontos (R, R_n(a)) e (T, R_n(c)). Mas repare que nenhum desses tres pontos pertence ao gráfico da função contínua f(x) = R_n(x). Os pontos que pertencem ao gráfico são os seguintes: (a, R_n(a)), (b, R_n(b)) e (c, R_n(c)) Ou ainda (a, X + Y*R), (b, X + Y*S) e (c, X + Y*T) E esses três pontos não precisam estar sobre uma reta. Por que os a, b e c não pertencem a uma mesma progressão aritmética, pelo menos isso você não demonstrou. E desse modo a convexidade da função f não contradisse a existência dos R_n(a), R_n(b) e R_n(c) dentro de uma progressão aritmética. Outro detalhe: onde na sua prova, você usa o fato de que R_n(a), R_n(b) e R_n(c) não são inteiros? Um abração! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. TERCEIRO PASSO DA IDEIA : A funcao Y=RAIZ_N(X) e CONTINUA, CRESCENTE e CONVEXA. Isto e, para quaisquer naturais A e C vale : RAIZ_N((A+C)/2) (RAIZ_N(A) + RAIZ_N(C))/2 O que me pareceu e que a contradicao vai surgir aqui, pois a expressao de convexidade acima pode ser trabalhada para incluir uma media ponderada tal como a que vimos no segundo passo. Mas, em verdade, EU NAO FIZ UMA DEMONSTRACAO, vale dizer, NAO PROVEI NADA, apenas dei uma sugestao de um caminho que me pareceu viavel. ALERTEI QUE AS RAIZES N-ESIMAS DE PONTENCIAS N-ESIMAS E UMA PA, EVIDENTEMENTE ! Um abraco Paulo Santa Rita 4,1247,220502 = Instruções para entrar
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Grande Duda, Parece que agora, realmente, estamos fazendo jus ao titulo da lista : lista de DISCUSSAO de problemas de Matematica. Varias inteligencias pensando produzem muito mais que uma. A linguagem e um problema e fica dificil voce exprimir com precisao as coisas. Voce pensa que passou bem uma ideia e ai alguem, com toda justica, entende outra. O ideal seria que as pessoas se comunicassem pelo pensamento. Bom, vamos la. O que voce diz ai embaixo e precisamente o que eu falei ... Quando eu coloquei : RAIZ_N[ (A+B)/2 ] (RAIZ_N(A)+RAIZ_N(B))/2 DISSE ( ou penso que disse ! ) que o lado direito da desigualdade pode ser trabalhado para aparecer a media ponderada que eu havia falado no passo anterior e que dai e que vai surgir a contradicao, pois o fato das tres raizes estarem em PA implica que a raiz do meio deve, obrigatoriamente, ser uma media ponderada das raizes dos extremos. Sejam A e B dois numeros naturais com B A+1. tomando um natural qualquer C tal que A C B e sempre possivel exprimir C como uma media poderada entre A e B. Seja C=A+i [A*(B-A-i)+ B*i]/(B-A)=[(A+i)(B-A)]/(B-A)=A+i=C A primeira razao e uma media ponderada entre A e B. POR ESSA RAZAO EU DISSE QUE ERA POSSIVEL TRABALHAR A DEFINICAO HABITUAL DE CONVEXIDADE DE FORMA A APARECER A MEDIA PONDERADA, ou seja, EU FALEI EXATAMENTE O QUE VOCE OBSERVOU. A ideia imediata de quem olha uma primeira vez e trabalhar com : Existe p e q tais que p+q=T-R e RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) ? Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal) Date: Thu, 23 May 2002 07:51:21 -0300 Caro amigo Paulo, Mas repare que nenhum desses tres pontos pertence ao gráfico da função contínua f(x) = R_n(x). Os pontos que pertencem ao gráfico são os seguintes: (a, R_n(a)), (b, R_n(b)) e (c, R_n(c)) Ou ainda (a, X + Y*R), (b, X + Y*S) e (c, X + Y*T) E esses três pontos não precisam estar sobre uma reta. Por que os a, b e c não pertencem a uma mesma progressão aritmética, pelo menos isso você não demonstrou. _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 Caro amigo Paulo, eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente o meu mal entendido. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. PS. eu não possuo bigode. PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista :) Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Querido Duda ... Querido nao, que isso e coisa de boiola ! Caro Duda, Mas de forma alguma eu ficaria chateado com voce ou com qualquer outra pessoa que porventura mostrasse uma falha ou varias falhas em meus raciocinios, pois se ate os Grandes Prof's desta lista falham e comentem erros, quanto mais eu, um simples estudante ainda lutando para aprender alguma coisa... Em verdade, so nao cometem erros e nao tem duvidas DEUS E OS IMBECIS. Como nao sou uma coisa e nem outra, eu cometi, cometo e cometerei muitos erros : e gostam de mim aqueles que me alertam para que eu me corrija ! Francamente, nao sou castelinho de areia ou estrelinha de papel que a qualquer toque (critica) se desmancha e fica emburradinho no canto guardando rancor. Sem essas viadagens e frescuras vou procurando ser util ao ideal olimpico. Para que essa mensagem nao fique fora de escopo, apresento um problema bacaninho que vi em um cartaz : NUM TRIANGULO ABC, AB=5 e BC=6. QUAL A AREA DO TRIANGULO ABC SE O ANGULO C E MAXIMO ? OBS : O problema e de nivel medio. Portanto, nao vale usar derivadas ou qualquer outro teorema ou raciocinio do CALCULO. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 5,1425,230502 PS : Po, Duda. Essa de acordar de manha, caminhando pra la e pra ca retorcendo o bigode foi genial. To rindo ate agora ! From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal) Date: Thu, 23 May 2002 13:16:33 -0300 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 Caro amigo Paulo, eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente o meu mal entendido. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. PS. eu não possuo bigode. PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista :) Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l]Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
ANSWER:quem comecou essa discussao esta aqui agora.E dizer que tudo isso foi um simples esfrega no moral de certas pessoas que nao pensam no que escrevem...Enfim,este trocitchoz comecou numa aula do Etapa com os professores Shine e Tengan(GRNDES Shine e Tengan).Eu naquela duvida com isso de uma aula de Divisibilidade,resolvi me inscrever nessa lista.So que demporei que so vendo...E ja tentei enviar essa mensagem pelo hotmail mas so dava html!E resolvi usar o Zipmail.Dai tive sucesso na de Eisenstein,enviei essa.Mas ai o Paulo resolveu de um jeito estranhissimo.O furo dessa e que como os reais sao densos nao da pra definir a divisao com perfeiçao(restos e etc.) Outra hora vou empentelhar-lhes a paciencia AT MAAAISPloft!!!Peterdirichlet -- Mensagem original -- From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 Caro amigo Paulo, eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente o meu mal entendido. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. PS. eu não possuo bigode. PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista :) Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Grande Duda ! E ai maluco, tudo blz ? Realmente, eu nao recebi a mensagem do Fabio a que voce se refere. Aqui onde estou ha uma preocupacao muito grande com seguranca, mas o sub-sistema que cuida disso ta meio doido e as vezes passa sistematicamente a bloquear certas mensagens, que ele identifica por letras contidas no nome da pessoa que envia. Ele vai ser trocado, mas, ate la, sou obrigado a conviver com isso. O problema surgiu com o nosso colega Dirichlet, que perguntou : E POSSIVEL QUE AS RAIZES CUBICAS DE TRES NUMEROS PRIMOS, DOIS A DOIS DISTINTOS, SEJAM TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA ? Eu conjecturei algo mais amplo, a saber : SE A, B e C SAO NATURAIS, DOIS A DOIS DISTINTOS, NENHUM DELES POTENCIA N-ESIMA DE OUTRO NATURAL, ENTAO ELES NAO PODEM SER TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA. Claramente que a prova do fato acima responde a pergunta do Dirichlet. PRIMEIRO PASSO DA IDEIA Sem perda de generalidade podemos supor A B C. Evidentemente : RAIZ_N(A) RAIZ_N(B) RAIZ_N(C). Dizer que essas raizes sao termos de uma mesma PA significa dizer que existem naturais R, S e T tais que : X + YR = RAIZ_N(A) X + YS = RAIZ_N(B) X + YT = RAIZ_N(C) Para algum par (X,Y) de numeros reais ( que serao, respectivamente : X=primeiro termo da PA, Y=razao da PA ) Veja que eu nao estou impondo que R, S e T estejam em PA. Nao estou impondo tambem uma ordem qualquer sobre eles, isto e, nao estou impondo que, por exemplo, R S T. O certo e que haverao os ponto (R,RAIZ_N(A)) e (T,RAIZ_N(C)). Como a funcao X + Y*N - X e Y reais fixos e N percorrendo os naturais - e linear, se Y o ela sera crescente e, obrigatoriamente, R S T. Se Y 0 ela sera decrescente e R S T. Nos dois casos, a RAIZ_N(B) sera a ordenada de um ponto interior ao intervalo de extremos R e T. Vamos supor doravante, sem perda de generalidade, que R T. Queremos, pois, saber se pode existir um natural Z do conjunto R+1, R+2, ..., T-2,T-1 tal que X + YZ = RAIZ_N(B). SEGUNDO PASSO DA IDEIA. Imagine que voce esta no ponto (R,RAIZ_N(A)). Qual sera a ordenada do ponto que esta sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)) e que tem abscissa R+1 ? sera : RAIZ_N(A) + (RAIZ_N(C)-RAIZ_N(A))/(T-R) = [RAIZ_N(A)*(T-R-1) + RAIZ_N(C)]/(T-R) Se fosse no ponto de abscissa R+2, seria : [RAIZ_N(A)*(T-R-2) + 2RAIZ_N(C)]/(T-R) Os pesos sao sempre da forma : T-R-i e i, isto e, nos estamos diante de uma media ponderada da forma : (p*RAIZ_N(A)+ q*RAIZ_N(C))/(p+q) com p e q naturais e p+q=T-R. Essa e a forma das ordenadas dos pontos sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)). Ja vimos que a RAIZ_N(B) tem que estar entre estes dois pontos. Logo, devem existir p e q atendendo as condicoes que especificamos acima e tais que : RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) TERCEIRO PASSO DA IDEIA : A funcao Y=RAIZ_N(X) e CONTINUA, CRESCENTE e CONVEXA. Isto e, para quaisquer naturais A e C vale : RAIZ_N((A+C)/2) (RAIZ_N(A) + RAIZ_N(C))/2 O que me pareceu e que a contradicao vai surgir aqui, pois a expressao de convexidade acima pode ser trabalhada para incluir uma media ponderada tal como a que vimos no segundo passo. Mas, em verdade, EU NAO FIZ UMA DEMONSTRACAO, vale dizer, NAO PROVEI NADA, apenas dei uma sugestao de um caminho que me pareceu viavel. ALERTEI QUE AS RAIZES N-ESIMAS DE PONTENCIAS N-ESIMAS E UMA PA, EVIDENTEMENTE ! Um abraco Paulo Santa Rita 4,1247,220502 Oi Paulo! Não sei se compreendi bem esse seu e-mail. :) O problema é o seguinte: desenhe no plano os pontos (R_N(x), x) para todo x inteiro positivo. Você vai ter destacado alguns pontos da função contínua f(x) = R_N(x) para todo x real. Agora escolha uma PA de 3 termos inteiros positivos, digamos Y_1, Y_2, Y_3. Marque os três pontos no eixo ordenado (0,Y_1), (0, Y_2) e (0, Y_3), para cada um deles trace uma reta horizontal, ou seja, paralela ao eixo das abscissas. Suponhamos que essas três retas passem por três dos pontos do gráfico que você tinha destacado. Esses três pontos chame de (X_1, Y_1) também (X_2, Y_2) e finalmente (X_3, Y_3). O que nós temos, agora, é que os Y_1, Y_2 e Y_3 está em forma de PA, mas isso não precisa acontecer com os X_1, X_2 e X_3. OU SEJA, os pontos (X_n, Y_n) NÃO PRECISAM ESTAR SOBRE UMA RETA. E daí esse seu argumento não prova nada sobre o problema inicial. Em outras palavras, o que você demonstrou pela convexidade da f, a saber, que nenhuma reta corta o gráfico da f em três pontos distintos, não garante que se p, q e r foram primos distintos então f(p), f(q) e f(r) não formam uma PA. Se o seu argumento é só um passo para resolver o problema, perdoe o meu comentário acima: mas eu acredito que esse caminho não vai levar a uma solução. E só para terminar o e-mail: o Fabio Dias Moreira é que ressaltou isso que eu disse aí em cima, e pelo visto, o Paulo não chegou a ler a mensagem dele. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. PS. eu não descarto a possibilidade de eu não ter compreendido
