[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma questão de Análise Real
não francisco. n tem que ser natural. vc pegou n = (A-1)/b. vc sabe que existe n natural tal que nb A. Então tome este. 2009/12/23 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com: Entendi. Tentei refazer o item 1. Como a 1, a = 1 + b para algum b 0. Para qualquer A que se candidate a cota superior, basta tomar n = (A - 1)/b, isto é, 1+bn = A. Posso fazer isso pois em um corpo arquimediano K, N contido em K é ilimitado. Da relação (1+b)^n 1+ bn (*) segue que a^n A. Logo a^n é ilimitada superiormente. Prova da relação (*), Fazendo n = 1, vemos que a igualdade é válida. Suponha que a relação vale para n = k (1+b)^k 1+bk Vemos que (1+b)^(k+1) = (1+b)*(1+b)^k (1+b)(1+bk) = (1+bk) + b*(1+bk) (1+bk) + b = 1+ b(k+1) Segue que (1+b)^(k+1) 1+ b(k+1) isto é se a relação * vale para n = k então vale para n = k+1. Por indução, segue que * vale para todo n = 1 2009/12/23 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Oi, Francisco. Cuidado -- a esta altura da teoria, nao sabemos se a^n eh divergente!!! Alias, eh o contrario, depois que fizermos este item (i), CONCLUIREMOS que a^n eh divergente. Acho que o jeito mais logicamente solido de fazer o item (i) eh escrever a=1+b, com b0. Depois, use (ou prove por inducao) que (1+b)^n1+bn para n natural e b0. A partir daqui, fica mais facil mostrar que a^n eh divergente, isto eh, que o conjunto f(Z) eh ilimitado superiormente. Abraco, Ralph. 2009/12/22 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com Oi. Vamos ver se eu consigo fazer o primeiro item. Repare que a sequência definida por x_n = a^n é divergente para a 1. Isto é, ilimitada. Para restrição de f a N, o caso reduz-se ao acima, afinal, uma sequência é uma função de índices em N. Este caso na verdade é uma subsequência de f, que é ilimitada. Portanto, f é ilimitada. 2009/12/22 Luiz Neto Neto uizn...@yahoo.com.br Questão de número 26 do assunto número reais curso de análise livro de Elon Larges. 26) Seja a1 num corpo arquimediano K. Considere a função f : Z--K, definida por f(n)=a^n. Prove as seguintes afirmações: (i) f(Z) não é limitado superiormente; (ii) inf f(Z)=0. (Z conjunto dos números inteiros); Gostaria de que alguém me ajudasse a fazer essa questão de preferência a (ii)! Agradeço! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- Julio Cesar Conegundes da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Se eu mostrar que existe inf, a minha justificativa fica válida? Porque isso me parece verdade. A sequência (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) é limitada inferiormente, e portanto deve ter um ínfimo, já que o conjunto de seus elementos é um subconjunto do conjunto dos números reais. Ou não? 2009/12/23 Julio Cesar jcconegun...@gmail.com Bom, Francisco. Estamos falando de um corpo arquimediano K. Para tirar ínfimos de conjutos devemos ter que K é completo. A sua idéia está certa. Mas, o argumento nem tanto. Vc precisa justificar usando a arquimedianeidade (nossa, será que eu escrevi certo?) do corpo. 2009/12/22 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com: Quanto ao item 2, pensei no seguinte, consideremos apenas a restrição de f aos inteiros negativos e o zero, isto é, tomemos a subsequencia (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) Qual o limite desta sequencia? Sabemos que lim a^n = +infinito, logo o lim 1/a^n = 0 Falta mostrar que este é o inf desta subsequencia. Seja o a = inf x_n (infimo desta subsequencia) Dado e 0, tem se a+ e a e portanto a + e não é cota inf, logo existe um elemento x_n desta subsequência tal que a+ e x_n a a -e logo a é o limite desta subsequencia. Bem, todos os elementos da sequência maiores que 1 não podem ser inf, pois não são cota inferior. Basta considerar esta subsequência mesmo. 2009/12/22 Luiz Neto Neto uizn...@yahoo.com.br Questão de número 26 do assunto número reais curso de análise livro de Elon Larges. 26) Seja a1 num corpo arquimediano K. Considere a função f : Z--K, definida por f(n)=a^n. Prove as seguintes afirmações: (i) f(Z) não é limitado superiormente; (ii) inf f(Z)=0. (Z conjunto dos números inteiros); Gostaria de que alguém me ajudasse a fazer essa questão de preferência a (ii)! Agradeço! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- Julio Cesar Conegundes da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
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Isso é verdade. Sua intuição está certa. Mas, o ponto é que vc está tentando usar resultados de seqüencias válidos em corpos completos quando vc não precisa disto. Quando vc diz sabemos que lim a^n = +infinito vc tem razão. Mas, vc está criando a placenta e jogando fora o bebê. Na realidade, o espírito do exercício é provar que lim a^n = +infinito para n-\infty e que lim a^n = 0 quando n- -\infty. Mas, vc não precisa falar em sequências para isto. Basta usar as definições de conjunto ilimitado superiormente e ínfimo de um conjunto. Definição: Um corpo K é arquimediano se (*) para todo x e y 0 em K, existe n natural tal que nx y equivalentemente (isto se eu não me engano, está provado no livro do Elon) (**) para todo x 0 em K existe n natural não nulo tal que 1/n x. Daí resultado estará provado se (i) para todo n natural existir algum elemento de f(Z) maior que n (ii) para todo n natural existir algum elemento de f(Z) menor que 1/n para provar estas afirmações vc vai precisar da desigualdade (e + 1)^n e.n quando e 0 (perceba que o nosso a é da forma e + 1). 2009/12/23 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com: Se eu mostrar que existe inf, a minha justificativa fica válida? Porque isso me parece verdade. A sequência (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) é limitada inferiormente, e portanto deve ter um ínfimo, já que o conjunto de seus elementos é um subconjunto do conjunto dos números reais. Ou não? 2009/12/23 Julio Cesar jcconegun...@gmail.com Bom, Francisco. Estamos falando de um corpo arquimediano K. Para tirar ínfimos de conjutos devemos ter que K é completo. A sua idéia está certa. Mas, o argumento nem tanto. Vc precisa justificar usando a arquimedianeidade (nossa, será que eu escrevi certo?) do corpo. 2009/12/22 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com: Quanto ao item 2, pensei no seguinte, consideremos apenas a restrição de f aos inteiros negativos e o zero, isto é, tomemos a subsequencia (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) Qual o limite desta sequencia? Sabemos que lim a^n = +infinito, logo o lim 1/a^n = 0 Falta mostrar que este é o inf desta subsequencia. Seja o a = inf x_n (infimo desta subsequencia) Dado e 0, tem se a+ e a e portanto a + e não é cota inf, logo existe um elemento x_n desta subsequência tal que a+ e x_n a a -e logo a é o limite desta subsequencia. Bem, todos os elementos da sequência maiores que 1 não podem ser inf, pois não são cota inferior. Basta considerar esta subsequência mesmo. 2009/12/22 Luiz Neto Neto uizn...@yahoo.com.br Questão de número 26 do assunto número reais curso de análise livro de Elon Larges. 26) Seja a1 num corpo arquimediano K. Considere a função f : Z--K, definida por f(n)=a^n. Prove as seguintes afirmações: (i) f(Z) não é limitado superiormente; (ii) inf f(Z)=0. (Z conjunto dos números inteiros); Gostaria de que alguém me ajudasse a fazer essa questão de preferência a (ii)! Agradeço! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- Julio Cesar Conegundes da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Julio Cesar Conegundes da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Entendi. Tentei refazer o item 1. Como a 1, a = 1 + b para algum b 0. Para qualquer A que se candidate a cota superior, basta tomar n = (A - 1)/b, isto é, 1+bn = A. Posso fazer isso pois em um corpo arquimediano K, N contido em K é ilimitado. Da relação (1+b)^n 1+ bn (*) segue que a^n A. Logo a^n é ilimitada superiormente. Prova da relação (*), Fazendo n = 1, vemos que a igualdade é válida. Suponha que a relação vale para n = k (1+b)^k 1+bk Vemos que (1+b)^(k+1) = (1+b)*(1+b)^k (1+b)(1+bk) = (1+bk) + b*(1+bk) (1+bk) + b = 1+ b(k+1) Segue que (1+b)^(k+1) 1+ b(k+1) isto é se a relação * vale para n = k então vale para n = k+1. Por indução, segue que * vale para todo n = 1 2009/12/23 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Oi, Francisco. Cuidado -- a esta altura da teoria, nao sabemos se a^n eh divergente!!! Alias, eh o contrario, depois que fizermos este item (i), CONCLUIREMOS que a^n eh divergente. Acho que o jeito mais logicamente solido de fazer o item (i) eh escrever a=1+b, com b0. Depois, use (ou prove por inducao) que (1+b)^n1+bn para n natural e b0. A partir daqui, fica mais facil mostrar que a^n eh divergente, isto eh, que o conjunto f(Z) eh ilimitado superiormente. Abraco, Ralph. 2009/12/22 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com Oi. Vamos ver se eu consigo fazer o primeiro item. Repare que a sequência definida por x_n = a^n é divergente para a 1. Isto é, ilimitada. Para restrição de f a N, o caso reduz-se ao acima, afinal, uma sequência é uma função de índices em N. Este caso na verdade é uma subsequência de f, que é ilimitada. Portanto, f é ilimitada. 2009/12/22 Luiz Neto Neto uizn...@yahoo.com.br Questão de número 26 do assunto número reais curso de análise livro de Elon Larges. 26) Seja a1 num corpo arquimediano K. Considere a função f : Z--K, definida por f(n)=a^n. Prove as seguintes afirmações: (i) f(Z) não é limitado superiormente; (ii) inf f(Z)=0. (Z conjunto dos números inteiros); Gostaria de que alguém me ajudasse a fazer essa questão de preferência a (ii)! Agradeço! -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
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Mais ou menos isso? ii) Este conjunto considerado (f(Z)) tem cota inferior igual a 0. Então se eu mostrar que qualquer outro número maior do que zero não pode ser o ínfimo, zero deve ser o ínfimo. Como eu mostrei na mensagem anterior para qualquer A 0, encontro n tal que a^n A Logo dado x 0, e supondo que x seja o infimo de f(Z), posso encontrar, a^n 1/x 0 isto é, 0 1/a^n x. Logo x não é o ínfimo. 2009/12/23 Julio Cesar jcconegun...@gmail.com Isso é verdade. Sua intuição está certa. Mas, o ponto é que vc está tentando usar resultados de seqüencias válidos em corpos completos quando vc não precisa disto. Quando vc diz sabemos que lim a^n = +infinito vc tem razão. Mas, vc está criando a placenta e jogando fora o bebê. Na realidade, o espírito do exercício é provar que lim a^n = +infinito para n-\infty e que lim a^n = 0 quando n- -\infty. Mas, vc não precisa falar em sequências para isto. Basta usar as definições de conjunto ilimitado superiormente e ínfimo de um conjunto. Definição: Um corpo K é arquimediano se (*) para todo x e y 0 em K, existe n natural tal que nx y equivalentemente (isto se eu não me engano, está provado no livro do Elon) (**) para todo x 0 em K existe n natural não nulo tal que 1/n x. Daí resultado estará provado se (i) para todo n natural existir algum elemento de f(Z) maior que n (ii) para todo n natural existir algum elemento de f(Z) menor que 1/n para provar estas afirmações vc vai precisar da desigualdade (e + 1)^n e.n quando e 0 (perceba que o nosso a é da forma e + 1). 2009/12/23 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com: Se eu mostrar que existe inf, a minha justificativa fica válida? Porque isso me parece verdade. A sequência (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) é limitada inferiormente, e portanto deve ter um ínfimo, já que o conjunto de seus elementos é um subconjunto do conjunto dos números reais. Ou não? 2009/12/23 Julio Cesar jcconegun...@gmail.com Bom, Francisco. Estamos falando de um corpo arquimediano K. Para tirar ínfimos de conjutos devemos ter que K é completo. A sua idéia está certa. Mas, o argumento nem tanto. Vc precisa justificar usando a arquimedianeidade (nossa, será que eu escrevi certo?) do corpo. 2009/12/22 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com: Quanto ao item 2, pensei no seguinte, consideremos apenas a restrição de f aos inteiros negativos e o zero, isto é, tomemos a subsequencia (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) Qual o limite desta sequencia? Sabemos que lim a^n = +infinito, logo o lim 1/a^n = 0 Falta mostrar que este é o inf desta subsequencia. Seja o a = inf x_n (infimo desta subsequencia) Dado e 0, tem se a+ e a e portanto a + e não é cota inf, logo existe um elemento x_n desta subsequência tal que a+ e x_n a a -e logo a é o limite desta subsequencia. Bem, todos os elementos da sequência maiores que 1 não podem ser inf, pois não são cota inferior. Basta considerar esta subsequência mesmo. 2009/12/22 Luiz Neto Neto uizn...@yahoo.com.br Questão de número 26 do assunto número reais curso de análise livro de Elon Larges. 26) Seja a1 num corpo arquimediano K. Considere a função f : Z--K, definida por f(n)=a^n. Prove as seguintes afirmações: (i) f(Z) não é limitado superiormente; (ii) inf f(Z)=0. (Z conjunto dos números inteiros); Gostaria de que alguém me ajudasse a fazer essa questão de preferência a (ii)! Agradeço! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- Julio Cesar Conegundes da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Julio Cesar Conegundes da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
