[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
Oi, Artur: Fiz alguns comentários (abaixo) sobre os 3 problemas que você mencionou. []s, Claudio. 2018-08-01 15:48 GMT-03:00 Artur Steiner : > Pelo que já vi, a esmagadora maioria dos alunos do ensino médio teria > muita dificuldade e nenhum interesse nesses problemas mais elaborados. O > fato é que pouquíssimas pessoas apreciam matemática. A maioria odeia. > > É difícil apreciar algo que você nunca aprendeu direito e o máximo que fez foi memorizar algumas fórmulas e alguns procedimentos que teve que regurgitar numa prova. A meu ver, um dos grandes problemas da matemática escolar é que os professores raramente explicam o porquê das coisas, não mencionam que problema prático as fórmulas e procedimentos foram criados pra resolver (o que seria, a meu ver, a forma correta de contextualizar a matemática) e nem como o criador da fórmula chegou até ela (muito provavelmente experimentando, analisando casos particulares, raciocinando por analogia, procurando invariantes, analisando situações extremas, etc - justamente as técnicas que são ensinadas em cursos preparatórios pra olimpíadas). Vou dar 3 problemas bem mais simples do que os que vc deu e que quase todo > mundo erra. Já vi bons engenheiros errando. E muitos teimam em suas > respostas erradas. > 1. Suponha que a Terra seja uma esfera perfeita e que ao redor dela seja > passado um fio de espessura desprezível formando um círculo concêntrico com > a Terra. Se o comprimento do fio exceder de 1 m a circunferência da Terra, > dê exemplo de um animal que passaria sob o fio sem tocá- lo. Muitos dizem, > ora talvez um micróbio. Um pardal certamente não passaria. O fio está > praticamente colado no solo. > > No entanto, acho que boa parte dos alunos de EM e certamente dos engenheiros conhece a fórmula do comprimento da circunferência em função do raio (C = 2*Pi*r). O que falta é conseguir raciocinar com base nesta fórmula a fim de resolver este problema. > 2., Um ônibus percorreu a1a metade de seu trajeto com velocidade média de > 80 km/h. Na segunda metade, o trânsito estava ruim e a velocidade média foi > de apenas 20 km/h. Pode-se então afirmar que a velocidade média ao longo de > todo o trajeto foi de .. > > A maioria diz 50 km/h. > > Mais uma vez estamos diante de um caso de falta de raciocínio. Quem responde 50 km/h simplesmente olha pros números 80 e 20, pra palavra "média" e daí, automaticamente calcula a média aritmética de 80 e 20. Pode ser um caso de "resposta automática indevida" (um fenômeno bastante estudado pelo Daniel Kahneman). No entanto, se a pessoa pensar um pouco sobre o significado de "velocidade" (ok, a pessoa tem que memorizar algumas definições) vai conseguir entender porque 50 km/h não é a resposta correta. Também é interessante que muita gente sabe que velocidade = distância/tempo, mas a maioria acha estranho (e, de fato, nem pensa em) escrever tempo = distância/velocidade, que é a mesma coisa. > 3. 99% da massa de uma melancia de 1 kg é composta por água. A melancia é > exposta ao sol e, devido à evaporação, a água passa a representar 98% da > massa total. Qual a nova massa da melancia? Muitos dão um valor muito > próximo de 1kg e teimam. > > Outro problema que as pessoas erram por preguiça de raciocinar. Se 99% da massa é água, então a massa seca é de 1% de 1kg ou 10 g. Este é o INVARIANTE do problema. Depois da evaporação, a massa seca (que permanece em 10g) passa a ser 2% da massa total. Logo, a nova massa total é 10/0,02 = 500 g. Os 3 problemas que você mencionou envolvem, de uma forma ou outra, a importante noção de proporcionalidade, que é muito enfatizada no currículo do Ensino Fundamental e também na prova do Enem. Obviamente não está sendo bem ensinada. E tem aquilo que se fazia quando eu era garoto e impressionava muitos, como > mágica: Pense um número e não o diga. Multiplique por 2. Some 10. Divida a > soma por 2. Desta soma, deduza o número que vc pensou. Pronto? Sim! Deu 5. > É mesmo! Vc adivinhou meu número? > > > Artur Costa Steiner > > Em qua, 1 de ago de 2018 12:38, Claudio Buffara > escreveu: > >> Um dos atrativos da matemática (pelo menos pra mim) é a existência de >> problemas que estão em aberto há décadas (ou séculos) mas cujos enunciados >> podem ser facilmente compreendidos por alunos de ensino fundamental. Três >> exemplos são a conjectura de Goldbach, a conjectura de que existe uma >> infinidade de primos gêmeos, e a conjectura de Collatz. >> >> É interessante que existem 3 problemas elementares cujos enunciados são >> parecidos com os das conjecturas acima: >> 1) Prove que todo número natural maior do que 11 pode ser escrito como a >> soma de dois números compostos; >> 2) Encontre todos os “primos trigêmeos” (trios de números primos que >> diferem por 2, tais como 3, 5 e 7); >> 3) O primeiro termo de uma sequência é 10. Cada termo seguinte é igual à >> metade do termo anterior, se este for par, ou 7 unidades maior do que o >> termo anterior, se este for ímpar. Qual o 2018º termo da
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
É que você só analisou os primeiros termos da sequência. No seu argumento não tem nada que garante que a partir do vigésimo termo ela não passe a ter ciclo diferente de 5 (ou mesmo que ela não deixe de ser cíclica). Teria que ter algo tipo: Dados 6 termos consecutivos quaisquer dessa sequência a1, a2, a3, a4, a5, a6; provar que a1 = a6. On Wed, Aug 1, 2018 at 2:13 PM Olson wrote: > Não basta afirmar que a sequência se repete? > > Em qua, 1 de ago de 2018 15:25, Claudio Buffara > escreveu: > >> A solução do 3 está correta mas também incompleta. Como você observou, a >> sequência é periódica de período 5. Mas esta afirmação precisa ser >> justificada. Repare que você concluiu algo sobre todos os termos da >> sequência (ou pelo menos sobre os primeiros 2018 termos) mediante a >> observação de somente 11 termos. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 1 de ago de 2018, à(s) 14:57, Arthur Vieira >> escreveu: >> >> Problema 3: >> Ao analisar os primeiros termos da sequência temos >> 10-5-12-6-3-10-5-12-6-3-10-... >> A sequência se repete a cada 5 números. >> Assim podemos dividir a sequência em "bloquinhos" de 5 números cada >> (10,5,12,6,3, nessa ordem) >> Como queremos o 2018o termo da sequência basta dividir 2018 por 5 e >> observar o resto, que é 3. isso significa que o número é o 3o dentro do >> "bloquinho" >> Resposta: 12 >> >> Em 1 de agosto de 2018 14:33, Arthur Vieira >> escreveu: >> >>> Acho que consegui uma solução para o ultimo problema: >>> Somar esses dois primos consecutivos e dividir por dois é o mesmo que >>> fazer a média aritmética entre eles. >>> Essa média aritmética é maior que o primeiro primo e menor que o >>> segundo primo. >>> Por definição, só existem compostos entre eles, ou seja, é >>> impossÃvel que o resultado seja um número primo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
Não. Esta é uma constatação (correta, é claro) mas baseada apenas na observação de uns poucos termos da sequência. Pode ser que falhe mais adiante. Por exemplo, f(n) = n^2 - n + 41 é primo para todo natural n de 0 a 40. Mas f(41) é composto. Pra justificar a periodicidade da sequência do problema, vc poderia dizer, por exemplo, que como cada termo é expresso como função apenas do termo anterior, assim que um determinado termo se repetir (no caso, o 10), todos os seguintes se repetirão, na mesma ordem e com a mesma periodicidade. Enviado do meu iPhone Em 1 de ago de 2018, à(s) 16:02, Olson escreveu: > Não basta afirmar que a sequência se repete? > > Em qua, 1 de ago de 2018 15:25, Claudio Buffara > escreveu: >> A solução do 3 está correta mas também incompleta. Como você observou, >> a sequência é periódica de perÃodo 5. Mas esta afirmação precisa ser >> justificada. Repare que você concluiu algo sobre todos os termos da >> sequência (ou pelo menos sobre os primeiros 2018 termos) mediante a >> observação de somente 11 termos. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 1 de ago de 2018, à (s) 14:57, Arthur Vieira >> escreveu: >> >>> Problema 3: >>> Ao analisar os primeiros termos da sequência temos >>> 10-5-12-6-3-10-5-12-6-3-10-... >>> A sequência se repete a cada 5 números. >>> Assim podemos dividir a sequência em "bloquinhos" de 5 números cada >>> (10,5,12,6,3, nessa ordem) >>> Como queremos o 2018o termo da sequência basta dividir 2018 por 5 e >>> observar o resto, que é 3. isso significa que o número é o 3o >>> dentro do "bloquinho" >>> Resposta: 12 >>> >>> Em 1 de agosto de 2018 14:33, Arthur Vieira escreveu: Acho que consegui uma solução para o ultimo problema: Somar esses dois primos consecutivos e dividir por dois é o mesmo que fazer a média aritmética entre eles. Essa média aritmética é maior que o primeiro primo e menor que o segundo primo. Por definição, só existem compostos entre eles, ou seja, é impossÃÂvel que o resultado seja um número primo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
Acho que consegui uma solução para o ultimo problema: Somar esses dois primos consecutivos e dividir por dois é o mesmo que fazer a média aritmética entre eles. Essa média aritmética é maior que o primeiro primo e menor que o segundo primo. Por definição, só existem compostos entre eles, ou seja, é impossível que o resultado seja um número primo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
Não basta afirmar que a sequência se repete? Em qua, 1 de ago de 2018 15:25, Claudio Buffara escreveu: > A solução do 3 está correta mas também incompleta. Como você observou, a > sequência é periódica de período 5. Mas esta afirmação precisa ser > justificada. Repare que você concluiu algo sobre todos os termos da > sequência (ou pelo menos sobre os primeiros 2018 termos) mediante a > observação de somente 11 termos. > > Enviado do meu iPhone > > Em 1 de ago de 2018, à(s) 14:57, Arthur Vieira > escreveu: > > Problema 3: > Ao analisar os primeiros termos da sequência temos > 10-5-12-6-3-10-5-12-6-3-10-... > A sequência se repete a cada 5 números. > Assim podemos dividir a sequência em "bloquinhos" de 5 números cada > (10,5,12,6,3, nessa ordem) > Como queremos o 2018o termo da sequência basta dividir 2018 por 5 e > observar o resto, que é 3. isso significa que o número é o 3o dentro do > "bloquinho" > Resposta: 12 > > Em 1 de agosto de 2018 14:33, Arthur Vieira > escreveu: > >> Acho que consegui uma solução para o ultimo problema: >> Somar esses dois primos consecutivos e dividir por dois é o mesmo que >> fazer a média aritmética entre eles. >> Essa média aritmética é maior que o primeiro primo e menor que o >> segundo primo. >> Por definição, só existem compostos entre eles, ou seja, é >> impossÃvel que o resultado seja um número primo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
A solução do 3 está correta mas também incompleta. Como você observou, a sequência é periódica de período 5. Mas esta afirmação precisa ser justificada. Repare que você concluiu algo sobre todos os termos da sequência (ou pelo menos sobre os primeiros 2018 termos) mediante a observação de somente 11 termos. Enviado do meu iPhone Em 1 de ago de 2018, à(s) 14:57, Arthur Vieira escreveu: > Problema 3: > Ao analisar os primeiros termos da sequência temos > 10-5-12-6-3-10-5-12-6-3-10-... > A sequência se repete a cada 5 números. > Assim podemos dividir a sequência em "bloquinhos" de 5 números cada > (10,5,12,6,3, nessa ordem) > Como queremos o 2018o termo da sequência basta dividir 2018 por 5 e observar > o resto, que é 3. isso significa que o número é o 3o dentro do "bloquinho" > Resposta: 12 > > Em 1 de agosto de 2018 14:33, Arthur Vieira escreveu: >> Acho que consegui uma solução para o ultimo problema: >> Somar esses dois primos consecutivos e dividir por dois é o mesmo que fazer >> a média aritmética entre eles. >> Essa média aritmética é maior que o primeiro primo e menor que o segundo >> primo. >> Por definição, só existem compostos entre eles, ou seja, é impossÃvel >> que o resultado seja um número primo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
Problema 3: Ao analisar os primeiros termos da sequência temos 10-5-12-6-3-10-5-12-6-3-10-... A sequência se repete a cada 5 números. Assim podemos dividir a sequência em "bloquinhos" de 5 números cada (10,5,12,6,3, nessa ordem) Como queremos o 2018o termo da sequência basta dividir 2018 por 5 e observar o resto, que é 3. isso significa que o número é o 3o dentro do "bloquinho" Resposta: 12 Em 1 de agosto de 2018 14:33, Arthur Vieira escreveu: > Acho que consegui uma solução para o ultimo problema: > Somar esses dois primos consecutivos e dividir por dois é o mesmo que > fazer a média aritmética entre eles. > Essa média aritmética é maior que o primeiro primo e menor que o segundo > primo. > Por definição, só existem compostos entre eles, ou seja, é impossível que > o resultado seja um número primo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
E, é claro, dois primos gêmeos, tais como 3 e 5, são também primos
consecutivos. Mas a recíproca nem sempre é verdadeira.
2018-08-01 14:03 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Não. Estes são os "primos gêmeos" ("twin primes").
>
> Primos consecutivos são os que só têm compostos entre eles. Por exemplo:
> 13 e 17 ou 31 e 37.
>
> 2018-08-01 13:51 GMT-03:00 Arthur Vieira :
>
>> Por primos consecutivos você quer dizer primos que tem diferença de duas
>> unidades?
>>
>> Em 1 de agosto de 2018 12:30, Claudio Buffara
>> escreveu:
>>
>>> Um dos atrativos da matemática (pelo menos pra mim) é a existência de
>>> problemas que estão em aberto há décadas (ou séculos) mas cujos enunciados
>>> podem ser facilmente compreendidos por alunos de ensino fundamental. Três
>>> exemplos são a conjectura de Goldbach, a conjectura de que existe uma
>>> infinidade de primos gêmeos, e a conjectura de Collatz.
>>>
>>> É interessante que existem 3 problemas elementares cujos enunciados são
>>> parecidos com os das conjecturas acima:
>>> 1) Prove que todo número natural maior do que 11 pode ser escrito como
>>> a soma de dois números compostos;
>>> 2) Encontre todos os “primos trigêmeos” (trios de números primos que
>>> diferem por 2, tais como 3, 5 e 7);
>>> 3) O primeiro termo de uma sequência é 10. Cada termo seguinte é igual
>>> à metade do termo anterior, se este for par, ou 7 unidades maior do que o
>>> termo anterior, se este for ímpar. Qual o 2018º termo da sequência?
>>>
>>> Como vocês podem verificar, os três problemas são fáceis, ainda que,
>>> pra resolvê-los, sejam necessários um mínimo de raciocínio e alguma
>>> experimentação.
>>>
>>> Mas o que eu quero saber é se um aluno normal de 7o ou 8o ano (de 12 a
>>> 14 anos de idade, em média) seria capaz de resolver tais problemas.
>>> O que vocês acham?
>>>
>>> E será que um aluno de 6o ano (11-12 anos) seria capaz de explicar
>>> porque a soma de dois números primos consecutivos não pode ser igual ao
>>> dobro de um número primo?
>>>
>>> OBS: Todos estes problemas envolvem apenas conceitos que são vistos
>>> antes do 6o ano: operações com números naturais e números pares, ímpares,
>>> primos e compostos.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
--
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acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] problemas fáceis pro ensino fundamental
Não. Estes são os "primos gêmeos" ("twin primes").
Primos consecutivos são os que só têm compostos entre eles. Por exemplo: 13
e 17 ou 31 e 37.
2018-08-01 13:51 GMT-03:00 Arthur Vieira :
> Por primos consecutivos você quer dizer primos que tem diferença de duas
> unidades?
>
> Em 1 de agosto de 2018 12:30, Claudio Buffara
> escreveu:
>
>> Um dos atrativos da matemática (pelo menos pra mim) é a existência de
>> problemas que estão em aberto há décadas (ou séculos) mas cujos enunciados
>> podem ser facilmente compreendidos por alunos de ensino fundamental. Três
>> exemplos são a conjectura de Goldbach, a conjectura de que existe uma
>> infinidade de primos gêmeos, e a conjectura de Collatz.
>>
>> É interessante que existem 3 problemas elementares cujos enunciados são
>> parecidos com os das conjecturas acima:
>> 1) Prove que todo número natural maior do que 11 pode ser escrito como a
>> soma de dois números compostos;
>> 2) Encontre todos os “primos trigêmeos” (trios de números primos que
>> diferem por 2, tais como 3, 5 e 7);
>> 3) O primeiro termo de uma sequência é 10. Cada termo seguinte é igual à
>> metade do termo anterior, se este for par, ou 7 unidades maior do que o
>> termo anterior, se este for ímpar. Qual o 2018º termo da sequência?
>>
>> Como vocês podem verificar, os três problemas são fáceis, ainda que, pra
>> resolvê-los, sejam necessários um mínimo de raciocínio e alguma
>> experimentação.
>>
>> Mas o que eu quero saber é se um aluno normal de 7o ou 8o ano (de 12 a 14
>> anos de idade, em média) seria capaz de resolver tais problemas.
>> O que vocês acham?
>>
>> E será que um aluno de 6o ano (11-12 anos) seria capaz de explicar porque
>> a soma de dois números primos consecutivos não pode ser igual ao dobro de
>> um número primo?
>>
>> OBS: Todos estes problemas envolvem apenas conceitos que são vistos antes
>> do 6o ano: operações com números naturais e números pares, ímpares, primos
>> e compostos.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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