[obm-l] Re: [obm-l] Séries
Me manda. Em qui, 25 de ago de 2022 17:36, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Olá pessoal, recentemente eu tive umas ideias sobre séries envolvendo o > número e (napier), o seno e o cosseno.Alguém por favor poderia me > corrigir?São ideias originais e séries infinitas nunca antes pensadas. > Alguém por favor me ajuda a corrigir.Ver se estou viajandoMeu desejo é > que vcs digam que esteja certo, sejam pacientes por favor.Quem se dispor, > por favor, chama inbox > > - > Somente a Deus Glória. > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries e somatórios
Boa noite, Agradeço a todos! Atenciosamente, Prof. Msc. Alexandre Antunes www alexandre antunes com br Em qui., 31 de out. de 2019 às 10:37, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Gosto muito do manual de sequências e séries do Luis Lopes. > > Douglas Oliveira. > > Em qua, 30 de out de 2019 20:19, Esdras Muniz > escreveu: > >> O livro concrete mathematics fala disso. >> >> Em qua, 30 de out de 2019 19:51, Alexandre Antunes < >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >> >>> >>> Boa noite, >>> >>> Alguém tem alguma referência de livro/apostila sobre operações e >>> propriedades "avançadas" sobre séries, somatórios, somatórios duplos, etc... >>> >>> Antecipadamente agradeço. >>> >>> Atenciosamente, >>> >>> Prof. Msc. Alexandre Antunes >>> www alexandre antunes com br >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries e somatórios
Gosto muito do manual de sequências e séries do Luis Lopes. Douglas Oliveira. Em qua, 30 de out de 2019 20:19, Esdras Muniz escreveu: > O livro concrete mathematics fala disso. > > Em qua, 30 de out de 2019 19:51, Alexandre Antunes < > prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > >> >> Boa noite, >> >> Alguém tem alguma referência de livro/apostila sobre operações e >> propriedades "avançadas" sobre séries, somatórios, somatórios duplos, etc... >> >> Antecipadamente agradeço. >> >> Atenciosamente, >> >> Prof. Msc. Alexandre Antunes >> www alexandre antunes com br >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Séries e somatórios
O livro concrete mathematics fala disso. Em qua, 30 de out de 2019 19:51, Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > > Boa noite, > > Alguém tem alguma referência de livro/apostila sobre operações e > propriedades "avançadas" sobre séries, somatórios, somatórios duplos, etc... > > Antecipadamente agradeço. > > Atenciosamente, > > Prof. Msc. Alexandre Antunes > www alexandre antunes com br > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries aparentemente complicadas
Artur Costa Steiner Em sex, 17 de ago de 2018 13:29, Claudio Buffara escreveu: > Ou seja, pra toda série divergente de termos positivos, existe uma série > de termos positivos que diverge mais devagar. > > É verdade. > > 2018-08-16 16:01 GMT-03:00 Artur Costa Steiner : > >> Excelente solução. >> >> Mas tem um resultado geral sim. Se (a_n) é uma sequência de reais >> positivos, então Soma (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, (s_n) converge. >> >> Se s_n ---> s em R, então s > 0 e uma simples comparação de limites >> mostra que Soma (a_n)/(s_n) converge. >> >> Se (s_n) divergir, uma possível prova é considerar t_m, a sequência das >> somas parciais de (a_n)/(s_n), e mostrar que t_m não é Cauchy. Para todo >> n, podemos achar m > n tal que t_,m - t_n > 1/2. >> >> Artur >> >> Em 16 de ago de 2018 14:43, "Claudio Buffara" >> escreveu: >> >> Sabemos que SOMA(p_n) e SOMA(1/p_n) divergem. >> >> Analisando exemplos mais simples: >> >> a_n = n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA(n/(n(n+1)/2)) = SOMA(2/(n+1)) -> diverge >> (~ 2 * série harmônica) >> (notação: x_n ~ y_n <==> lim(n->infinito) (x_n/y_n) = 1) >> >> a_n = 1/n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA((1/n)/(1+1/2+...+1/n)) ~ >> SOMA(1/(n*log(n))) -> diverge (por exemplo, pelo teste da integral). >> >> >> Sabemos também que p_n ~ n*log(n) e que SOMA(1/p_n) ~ log(log(n)). >> Assim, SOMA((1/p_n)/s_n) ~ SOMA((1/(n*log(n))) / log(log(n)) = SOMA( >> 1/(n*log(n)*log(log(n))) ) -> diverge (também pelo teste da integral) >> >> p_n ~ n*ln(n) ==> n*log(n)/(1*log(1) + 2*log(2) + ... + n*log(n)) >> Comparando com Integral(1...n) x*log(x)*dx, o denominador é assintótico a >> (1/2)*(n^2*log(n) - n^2/2) ==> >> SOMA(a_n/s_n) ~ (1/2)*SOMA(log(n)/(n*(log(n) - 1/2))) ~ (1/2)*SOMA(1/n) >> -> diverge >> >> >> Será que não tem um resultado mais geral por trás disso? >> Algo do tipo: se s_n diverge então SOMA(a_n/s_n) também diverge? >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> 2018-08-16 5:13 GMT-03:00 Artur Steiner : >> >>> Sejam (a_n) uma sequência, (s_n) a sequência das somas parciais de (a_n) >>> e (p_n) a sequência dos primos. Analise a convergência/divergência de Soma >>> (a_n)/(s_n) para os casos; >>> >>> 1) a_n = p_n >>> >>> 2) a_n = 1/p_n >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries aparentemente complicadas
Ou seja, pra toda série divergente de termos positivos, existe uma série de termos positivos que diverge mais devagar. 2018-08-16 16:01 GMT-03:00 Artur Costa Steiner : > Excelente solução. > > Mas tem um resultado geral sim. Se (a_n) é uma sequência de reais > positivos, então Soma (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, (s_n) converge. > > Se s_n ---> s em R, então s > 0 e uma simples comparação de limites mostra > que Soma (a_n)/(s_n) converge. > > Se (s_n) divergir, uma possível prova é considerar t_m, a sequência das > somas parciais de (a_n)/(s_n), e mostrar que t_m não é Cauchy. Para todo > n, podemos achar m > n tal que t_,m - t_n > 1/2. > > Artur > > Em 16 de ago de 2018 14:43, "Claudio Buffara" > escreveu: > > Sabemos que SOMA(p_n) e SOMA(1/p_n) divergem. > > Analisando exemplos mais simples: > > a_n = n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA(n/(n(n+1)/2)) = SOMA(2/(n+1)) -> diverge > (~ 2 * série harmônica) > (notação: x_n ~ y_n <==> lim(n->infinito) (x_n/y_n) = 1) > > a_n = 1/n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA((1/n)/(1+1/2+...+1/n)) ~ > SOMA(1/(n*log(n))) -> diverge (por exemplo, pelo teste da integral). > > > Sabemos também que p_n ~ n*log(n) e que SOMA(1/p_n) ~ log(log(n)). > Assim, SOMA((1/p_n)/s_n) ~ SOMA((1/(n*log(n))) / log(log(n)) = SOMA( > 1/(n*log(n)*log(log(n))) ) -> diverge (também pelo teste da integral) > > p_n ~ n*ln(n) ==> n*log(n)/(1*log(1) + 2*log(2) + ... + n*log(n)) > Comparando com Integral(1...n) x*log(x)*dx, o denominador é assintótico a > (1/2)*(n^2*log(n) - n^2/2) ==> > SOMA(a_n/s_n) ~ (1/2)*SOMA(log(n)/(n*(log(n) - 1/2))) ~ (1/2)*SOMA(1/n) -> > diverge > > > Será que não tem um resultado mais geral por trás disso? > Algo do tipo: se s_n diverge então SOMA(a_n/s_n) também diverge? > > []s, > Claudio. > > > > 2018-08-16 5:13 GMT-03:00 Artur Steiner : > >> Sejam (a_n) uma sequência, (s_n) a sequência das somas parciais de (a_n) >> e (p_n) a sequência dos primos. Analise a convergência/divergência de Soma >> (a_n)/(s_n) para os casos; >> >> 1) a_n = p_n >> >> 2) a_n = 1/p_n >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries aparentemente complicadas
Excelente solução. Mas tem um resultado geral sim. Se (a_n) é uma sequência de reais positivos, então Soma (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, (s_n) converge. Se s_n ---> s em R, então s > 0 e uma simples comparação de limites mostra que Soma (a_n)/(s_n) converge. Se (s_n) divergir, uma possível prova é considerar t_m, a sequência das somas parciais de (a_n)/(s_n), e mostrar que t_m não é Cauchy. Para todo n, podemos achar m > n tal que t_,m - t_n > 1/2. Artur Em 16 de ago de 2018 14:43, "Claudio Buffara" escreveu: Sabemos que SOMA(p_n) e SOMA(1/p_n) divergem. Analisando exemplos mais simples: a_n = n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA(n/(n(n+1)/2)) = SOMA(2/(n+1)) -> diverge (~ 2 * série harmônica) (notação: x_n ~ y_n <==> lim(n->infinito) (x_n/y_n) = 1) a_n = 1/n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA((1/n)/(1+1/2+...+1/n)) ~ SOMA(1/(n*log(n))) -> diverge (por exemplo, pelo teste da integral). Sabemos também que p_n ~ n*log(n) e que SOMA(1/p_n) ~ log(log(n)). Assim, SOMA((1/p_n)/s_n) ~ SOMA((1/(n*log(n))) / log(log(n)) = SOMA( 1/(n*log(n)*log(log(n))) ) -> diverge (também pelo teste da integral) p_n ~ n*ln(n) ==> n*log(n)/(1*log(1) + 2*log(2) + ... + n*log(n)) Comparando com Integral(1...n) x*log(x)*dx, o denominador é assintótico a (1/2)*(n^2*log(n) - n^2/2) ==> SOMA(a_n/s_n) ~ (1/2)*SOMA(log(n)/(n*(log(n) - 1/2))) ~ (1/2)*SOMA(1/n) -> diverge Será que não tem um resultado mais geral por trás disso? Algo do tipo: se s_n diverge então SOMA(a_n/s_n) também diverge? []s, Claudio. 2018-08-16 5:13 GMT-03:00 Artur Steiner : > Sejam (a_n) uma sequência, (s_n) a sequência das somas parciais de (a_n) e > (p_n) a sequência dos primos. Analise a convergência/divergência de Soma > (a_n)/(s_n) para os casos; > > 1) a_n = p_n > > 2) a_n = 1/p_n > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Séries aparentemente complicadas
Sabemos que SOMA(p_n) e SOMA(1/p_n) divergem. Analisando exemplos mais simples: a_n = n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA(n/(n(n+1)/2)) = SOMA(2/(n+1)) -> diverge (~ 2 * série harmônica) (notação: x_n ~ y_n <==> lim(n->infinito) (x_n/y_n) = 1) a_n = 1/n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA((1/n)/(1+1/2+...+1/n)) ~ SOMA(1/(n*log(n))) -> diverge (por exemplo, pelo teste da integral). Sabemos também que p_n ~ n*log(n) e que SOMA(1/p_n) ~ log(log(n)). Assim, SOMA((1/p_n)/s_n) ~ SOMA((1/(n*log(n))) / log(log(n)) = SOMA( 1/(n*log(n)*log(log(n))) ) -> diverge (também pelo teste da integral) p_n ~ n*ln(n) ==> n*log(n)/(1*log(1) + 2*log(2) + ... + n*log(n)) Comparando com Integral(1...n) x*log(x)*dx, o denominador é assintótico a (1/2)*(n^2*log(n) - n^2/2) ==> SOMA(a_n/s_n) ~ (1/2)*SOMA(log(n)/(n*(log(n) - 1/2))) ~ (1/2)*SOMA(1/n) -> diverge Será que não tem um resultado mais geral por trás disso? Algo do tipo: se s_n diverge então SOMA(a_n/s_n) também diverge? []s, Claudio. 2018-08-16 5:13 GMT-03:00 Artur Steiner : > Sejam (a_n) uma sequência, (s_n) a sequência das somas parciais de (a_n) e > (p_n) a sequência dos primos. Analise a convergência/divergência de Soma > (a_n)/(s_n) para os casos; > > 1) a_n = p_n > > 2) a_n = 1/p_n > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Séries convergentes (propriedade)
Seja (s_n) a sequência das somas parciais de (a_n). Se lim s_n = s, então lim s_(n -1) = s. Logo, lim a_n = lim(s_n - s_(n -1)) = s - s = 0 Artur Costa Steiner Em 13/01/2014 19:05, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Gostaria de obter uma demonstração, bem detalhada se possível, do teorema abaixo. Teorema: Se a série a_1 + a_2 + ... + a_n + ... é convergente, então lim a_n = 0 Desde já, muito obrigado. Ennius Lima -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
Bernardo, esta é uma análise muito interessante!
Artur Costa Steiner
Em 03/03/2013, às 00:48, Bernardo Freitas Paulo da Costa
bernardo...@gmail.com escreveu:
2013/3/2 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Acho que o critério da integral não se aplica aqui, certo?
Certo.
Não podemos afirmar que a sequência é decrescente.
Exatamente.
E qual a função que vamos integrar?
Ah, nenhuma. Mas é só pra ver o que vai acontecer... E ele só ajuda
pra primeira, a segunda eu fiz mais ou menos como você.
Vamos lá. Por um momento, suponha que a análise é sua amiga, e que
nenhum fenômeno feio, chato e com verrugas vai pegar você. Por isso
mesmo, suponha que a_n é decrescente, dada por f(n) onde f é uma
função infinitamente diferenciável, monótona, decrescente. Só pra
deixar fluir as idéias.
Primeira coisa. Se (Soma a_n) converge, é óbvio que (Soma a_n/s_n)
também converge, porque s_n é pelo menos = a_1 0, comparação e
acabou. O difícil é mostrar que se (Soma a_n) diverge, ocorre o mesmo
para (Soma a_n/s_n). Muito bem, vamos nos concentrar no que importa.
O critério da integral nos diz que temos que (Soma a_n) diverge se, e
somente se, (Integral f, de 0 a infinito) = infinito. Chame, como é de
praxe, F(x) = integral f, de 0 até x. Assim, F(infinito) = infinito.
Queremos ver que (Soma a_n/s_n) diverge, ou seja, que (Integral f/F)
diverge. Aqui há uma dose maior ainda de fé da nossa parte, afinal de
contas, sabemos muito bem que esse tipo de milagre coincidente (int f
= soma f(n), para poder trocar F(x) por soma a_n = s_n) nunca
acontece. Mas o que importa é que F(n) e s_n são realmente muito
próximas. Ah, sim. Eu também não disse nada quanto à monotonicidade de
f/F. Vamos na fé, como diziam meus colegas jogadores de futebol.
Porque o que importa é que f = F', logo
(Integral f/F) = (Integral F'/F) = log (F).
Assim, F(infinito) = infinito = log(F)(infinito) = infinito, afinal
de contas, log é log.
Pronto, provamos. Quer dizer, agora a gente acredita que vai dar
certo. E sabemos que a soma a_n/s_n tem a ver com log(s_n). Módulo uns
errinhos, umas aproximações e umas acochambrações, é isso.
Agora, vamos provar de verdade, mas, como é bem sabido, é muito mais
fácil de provar quando você já sabe por onde ir, e, principalmente,
aonde chegar.
Queremos achar um log(s_n), mas isso é muito estranho, não tem nada
que parece com log. Um exemplo simples nos diz que a intuição está
certa: escolha a_n = 1, s_n = n, as somas parciais são H_n = log(n) +
gamma + errinho. A idéia é que se a_n = f, e s_n = F, para escrever
F'/F temos que ter um F'. E claro que F' = s_n - s_{n-1} = a_n. Note
que a roubação está diminuindo.
De novo: a_n/s_n = (s_n - s_{n-1})/s_n = 1 - s_{n-1}/s_n.
Mas o problema é que, s_n - infinito, temos s_{n-1} também, e o que
acontece é que o termo da direita tende a zero, e ficamos sem saber
como estimar.
Foi aqui que o log da resposta me salvou definitivamente.
Nós queremos achar uma resposta que seja log(s_n). Eu sei fazer
aparecer a_n/s_n com logs, porque é basicamente log(1+a_n/s_n) +
errinho em (a_n/s_n)^2. O problema é que 1 + a_n/s_n não dá nada legal
pra simplificar. Por outro lado, como eu disse na minha mensagem
anterior, log(1 - x) = - (x + x^2/2 + x^3/3 + ...).
Assim, log(1 - a_n/s_n) = - (a_n/s_n + restos)
Note que todos os termos do resto são positivos. Note também que 1 -
a_n/s_n = s_{n-1}/s_n, como calculamos mais acima. Portanto, do lado
esquerdo temos
log(s_{n-1}/s_n) = - (a_n/s_n + restos)
Telescópica! Some a esquerda e a direita, você chega em
log(s_1/s_n) = - soma( a_k/s_k + restos , k = 1..n), ou, com termos
positivos, log(s_n/s_1) = soma(a_k/s_k + restos)
Se s_n - infinito, temos que a soma da esquerda é infinita. Portanto,
idem para a soma da direita. Ainda precisamos mostrar que os restos
são realmente muito menores do que a_n/s_n para concluir que
soma(a_n/s_n) diverge. Duas coisas podem acontecer. Ou a_n/s_n 1 -
eps para um certo eps, e para todo n grande, ou a_n/s_n 1 - eps
infinitas vezes. No segundo caso, é óbvio que a soma de (a_n/s_n)
diverge. No primeiro caso, o resto do logaritmo é menor do que R(eps)
(a_n/s_n)^2, R = soma da PG de razão 1-eps e primeiro termo 1/2, e
assim log(s_n/s_1) = soma(a_k/s_k + restos) soma(a_k/s_k * (1 +
R(eps)), k=1..n ), e a série derivada diverge. Se a_n/s_n for
estupidamente grande (algo tipo a_n = 2^2^n, que dá a_n/s_n - 1)
temos que a soma será algo como n. Se a_n/s_n for bem comportadinha,
temos que soma(a_k/s_k, k = 1..n) ~ log(s_n/s_1). Note que bem
comportadinha também vale para a_n somável, mas o problema é que
log(s_n/s_1) vai convergir, e daí é uma pena ter o erro. (O erro é
maior nesse caso para k pequeno, portanto até dá pra estimar a
velocidade de convergência comparativa de cada uma delas, mas vai dar
- obviamente - o que a gente espera e já provou na primeira parte:
1/s_n = d log/dx (s_n). Sempre é legal ver que dois
[obm-l] Re: [obm-l] Séries
2013/3/1 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Acho estes interessantes Seja a_n é uma sequencia de reais positivos e s_n a sequência de suas somas parciais. Mostre que as seguintes séries convergem se, e somente se, s_n converge. 1) Soma (a_n)/(s_n) Muito bom esse critério! Eu só conseguir fazer porque eu roubei e supus que a_n fosse monótona, daí você usa comparação integral-soma, e daí eu vi qual era a fórmula. Mais um pouquinho de esforço eu achei a transformação certa. Sem isso eu nunca teria acreditado que era (x ~ - log(1-x)) e não o mais habitual x ~ log(1+x). Mas talvez seja porque eu estou no século errado, há um tempo todo mundo faria x = - log(1-x) *antes* de pensar na log(1+x). Aliás, vendo tantos logs, faz pensar um pouco no critério de condensação de Cauchy também. 2) Soma (a_n)/(a_n + k), k 0 Essa eu achei mais fácil ;-) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
Acho que o critério da integral não se aplica aqui, certo? Não podemos afirmar que a sequência é decrescente. E qual a função que vamos integrar? Eu fiz assim: Se s_n convergir para algum real s, então Soma (a_n)/k converge para s/k. Para todo n, 0 (a_n)/(a_n + k) (a_n)/k, pois os a_n são positivos. Logo, por comparação, concluímos que Soma (a_n)/(a_n + k) converge para algum real s/k. Se Soma (a_n)/(a_n + k) convergir, então lim (a_n)/(a_n + k) = lim 1 - k/(a_n + k) = 0. Logo, lim k/(a_n + k) = 1 e, portanto, lim a_n + k = k, do que deduzimos que lim a_n = 0. Isto implica que lim (a_n)/((a_n)/(a_n + k))= lim a_n + k= k 0. Como Soma (a_n )/(a_n + k) converge, o critério da comparação do limite mostra Soma a_n converge. Para a série Soma (a_n)/(s_n), vou dar a mesma sugestão que me deram. Seja t_n a sequência das somas parciais de (a_n)/(s_n). Para m n, 0 t_m - t_n = (a_(n + 1)/(s_(n + 1)) ,..+ (a_m)/(s_m). s_n é estritamente crescente e positiva. Fazendo algumas estimativas, podemos mostrar que, se s_n convergir, t_n é Cauchy. E se s_n divergir, t_n não é Cauchy. Naquela da função f tal que f(f(x)) = ax^2 + bx + c, vou dar uma idéia de uma possível prova. Deve haver outras saídas. Seja f uma função qualquer definida num domínio D e com valores em D. Seja g = f o f. Consideremos os pares (x, y) de D^2, com x e y distintos, tais que g(x) = y e g(y) = x. Para nossos objetivos, vamos concordar que (x, y) = (y, x), o que interessa é o ciclo que sai de x e volta a x passando por y. Seja P o conjunto destes pares. Se P for finito, pode ter, por exemplo, 7 elementos? Pode ser vazio? Pode ter 12 elementos? Pensemos no sistema g(x) = y g(y) = x Que no nosso caso é ax^2 + bx + c = y ay^2 + by + c = x Abraços Artur Artur Costa Steiner Em 02/03/2013, às 21:51, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Eu comecei o segundo usando homogeneidade... Se provarmos para k=1, para provar pra k geral basta multiplicar a série por k. De outra forma, faça a_n=k*b_n... Assim, as séries a_n/(1+a_n) e a_n são 'equivalentes'. Mas nunca pensaria em usar transformações deste gênero: se int(f dx) então int(F dx)... Pensei em usar critério da integral, mas parecia difÃcil demais... Em 2 de março de 2013 17:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2013/3/1 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Acho estes interessantes Seja a_n é uma sequencia de reais positivos e s_n a sequência de suas somas parciais. Mostre que as seguintes séries convergem se, e somente se, s_n converge. 1) Soma (a_n)/(s_n) Muito bom esse critério! Eu só conseguir fazer porque eu roubei e supus que a_n fosse monótona, daà você usa comparação integral-soma, e daà eu vi qual era a fórmula. Mais um pouquinho de esforço eu achei a transformação certa. Sem isso eu nunca teria acreditado que era (x ~ - log(1-x)) e não o mais habitual x ~ log(1+x). Mas talvez seja porque eu estou no século errado, há um tempo todo mundo faria x = - log(1-x) *antes* de pensar na log(1+x). Aliás, vendo tantos logs, faz pensar um pouco no critério de condensação de Cauchy também. 2) Soma (a_n)/(a_n + k), k 0 Essa eu achei mais fácil ;-) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神ãŒç¥ç¦ Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] SÉRIES INFINITAS!
2009/7/25 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com: A propósito, como fazer essa série 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - dar outro resultado mudando a ordem dos termos? Ou quem sabe dar mesmo infinito? O Tio Euler iria adorar essa!! Só pelo detalhe histórico (que eu descobri este ano!!!), o Tio Euler ira mesmo é mudar os sinais da soma... E inclusive escreveu isto no livro dele, Introduction analysis infinitesimorum, pra gente saber a história fascinante das séries semi-convergentes. Foi um outro, o Tio Riemann que gostou da idéia de mudar a ordem dos termos, que também é bem legal !! Abraços! Abraços, diversão e cuidado com +\infty ;-) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] SÉRIES HARMÔNICAS!
Ola Jorge e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nao entendi bem o excerto abaixo ... Voce que uma prova para esta desigualdade ? A propósito, como valer a desiguldade para qualquer n natural maior que 1? 1/n-1 + 1/n + 1/n+1 3/n Existem muitas maneiras de fazer isso, vou usar a que me parece, no momento, mais produtiva. Seja A_1, A_2, ..., A_(2p-1) uma progressao aritmetica com um numero impar de termos. E claro que o termo central e o termo de ordem P. E igualmente claro que podemos exprimir todos os demais termos em funcao deste termo. Exemplo 1 A_1, A_2 e A_3. Aqui P=2 e A_2 e o termo central. Logo : A_1 = A_2 - r, A_3=A_2 + r ( r e a razao da PA ) Exemplo 2 A_1, A_2, A_3, A_4, A_5. Aqui P=3 e A_3 e o termo central. Logo : A_1=A_3 - 2r, A_2=A_3 - r, A_4=A_3 + r e A_5 = A_3 + 2r Considerando agora que a Media Harmonica (H) nunca e maior que a Media Aritmetica, teremos que : H = (2P-1) / ( (1/A_1) + (1/A_2) + ... + ( 1/A_(2p-1) ) ) = ( A_1 + A_2+...+ A_(2p-1) ) / (2P-1) = A Na media A, ao exprimir cada A_i # A_p em funcao de A_p e r, a soma subsequente fara com que os r desaparecam. Surgirao entao (2p-1) termos A_p. Donde : 1/(A_1) + 1/(A_2) + ... + 1/(A_(p-1)) = (2p-1) / A_p( resultado 1 ) No seu caso particular temos a PA N-1, N e N+1. Aqui, P=2 e A_2 = N. Logo 1/n-1 + 1/n + 1/n+13/n que e o que queriamos demonstrar. Agora, vou lhe mostrar porque tratei diretamente de um caso mais geral ( resultado 1 ) : Considere os 9 termos da serie harmonica 1 + (1/2) + ... + (1/9). Neste caso, aplicando diretamente o resultado acima, teremos : 1 + (1/2) + ... + (1/9) = (2*5-1) / A_5 = 9/5 =1.8 (resultado 2) Agora, ao inves de aplicar o resultado que obtivemos diretamente a soma toda vamos dividi-la em grupos de 3 e aplica-la separadamente a cada grupo. O que resultara ? 1 + (1/2) + (1/3) = 2/2 = 2/2=1 (1/4) + (1/5) + (1/6) = 2/5 (1/7) + (1/8) + (1/9) = 2/8 1 + (1/2) + ... + (1/9) = 1 + (2/5) + (2/8) = 66/40 = 33/20 = 1,65 Surpreso ? Portanto, a aplicacao em casos com menor numero de termos e com soma ulterior da uma cota inferior pior ... Com aperfeicoar isso ? Basta lembra que a media geometrica fica mais proxima da media harmonica que a media geometrica. Logo : H = N / ( (1/A_1) + (1/A_2) + ... + ( 1/A_n ) = (A_1*A_2*...*A_n)^(1/n) (1/A_1) + (1/A_2) + ... + ( 1/A_n ) = N/ (A_1*A_2*...*A_n)^(1/n) No caso em que A_1, A_2 ... e 1, 2, ..., teremos : 1 + (1/2) + ... + ( 1/n ) = N/( (N!)^(1/N) ) Aplicando no caso 1 + (1/2) + ... + (1/9) teremos :1 + (1/2) + ... + (1/9) = 2.17... Portanto, uma aproximacao melhor ! Uma outra de cotar a serie harmonica seria assim : 1/41/3 1/2 1/4 = 1/4 1/2 1/81/5 1/4 1/81/6 1/4 1/81/7 1/4 1/8 = 1/8 1/4 1/16 1/9 1/8 ... Ao somar tudo, do lado esquerdo teremos um multiplo de (1/2) + ( eventualmente ) pequena fracao e do lado direito teremos multiplo de 1 + pequena fracao. esta tecnica tambem nos fornece cotas para a soma da serie harmonica. Note que usamos potencias de (1/2) por uma mera questao de tradicao, poderiamos ter usado potencias de (1/3), (1/5) etc. Para um dado inteiro P 0, como determinar o menor N tal que 1+(1/2) + ... + (1/N) P. E uma boa pergunta, um belo problema. O que voce tem a dizer a respeito ? Afinal! Qual o número de parcelas necessárias para que a série harmônica atinja o número cem? 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4... Vou usar o seguinte : 1/3 1/4 1/4 = 1/4 De onde sai : 1/3 + 1/4 1/2 1/5 1/8 1/6 1/8 1/7 1/8 1/8 = 1/8 De onde sai : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 1/2 Estes exemplos evidenciam que ao somarmos 2^N parcelas a partir de 1/(2^N + 1) o resultado sera maior que 1/2. Portanto, fazemos : N/2 100 = N 200. logo : 2 + 4 + 8 + .. + 2^(201) = 2((2^201 - 1) Ou seja, precisamos somar 2 + 2(2^201 - 1) = 2^202 parcelas de 1+ (1/2) + ... + (1/N) + para obtermos uma soma superior a 100. Note que nao estabelecemos a precisao desta cota, vale dizer, pode ocorrer que com um numero menor ( e mesmo assim, muito grande ) de parcelas consigamos ultrapassar 100. Fica a questao que coloquei acima : Dado P inteiro positivo. Qual o menor N tal que 1 + (1/2) +...+ (1/N) P ? A existência de infinitos primos gêmeos ainda é um problema em aberto. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente, em contraste com a série dos inversos dos primos que é divergente. B2 = (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (1/17+1/19) + (1/29+1/31) +...~1,9021605823 Incrível, não! As séries harmônicas estão cheias de coisas incríveis, muitas já descobertas, mas certamente muitas outras ainda à espera de um novo Euler que as desvende... E verdade ! Ha algum tempo atras eu me ocupei da questao : Qual o menor r real tal que a serie dos inversos dos primos, 1 + (1/2)^r + (1/3)^r + (1/5)^r + (1/7)^r + ..., converge ? Infelizmente, eu so consigo manter a atencao centrada em uma grande questao quando consigo
[obm-l] RE: [obm-l] Séries
Sauda,c~oes,
Resumindo:
Achei
A = 1/3 + \frac{\sqrt3}{9}\ln(2+\sqrt3).
O Nicolau achou
Em particular, a série pedida originalmente é
z(1) = 1/3 + 2/(3 sqrt(3)) arcsenh(1/sqrt(2)) ~= .5867819986
===
Hum de repente
2/(3 sqrt(3)) arcsenh(1/sqrt(2)) = \frac{\sqrt3}{9} \ln(2+\sqrt3).
Deixo isso para ser mostrado verdade ou falso pra vocês.
Ou então
2 arcsenh(1/sqrt(2)) = \ln(2+\sqrt3).
Como arcsenh(u) = \ln(u+\sqrt{u^2+1}), a igualdade é verdadeira.
Troquei algumas mensagens com o prof. Rousseau
sobre esta série e seu último email segue. Vale a pena ler
o paper ali citado.
Cito este paper no Manual de SS2. Uma amostra deste livro,
com a bibliografia, pode ser vista em
www.escolademestres.com/qedtexte
[]'s
Luís
Dear Luis:
Good. This series and many similar
ones are discussed in a 1985 article in
the American Mathematical Monthly by
D. H. Lehmer. I have attached the
pdf file.
Cecil
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
http://messenger.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Séries
Nicolau, fiquei muito curioso pela resolução da questão abaixo, que foi proposta essa semana pelo Cleber aqui ma lista...mas ninguem respondeu...vc tem alguma dica para ela? achei o termo geral...a(n)=(-1)^n.2^n/binomial(2n,n) , acho que é isso...mas não consegui estabelecer a soma... Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série: 1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me ajudar? Obrigado Cleber valew, Cgomes - Original Message - From: cleber vieira To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 25, 2007 7:14 PM Subject: [obm-l] Séries Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série: 1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me ajudar? Obrigado Cleber __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/649 - Release Date: 23/1/2007
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
Sauda,c~oes,
Oi Carlos Gomes,
Não escrevi pois não achei a forma fechada.
Mostro o que fiz.
Seja A := 1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7)
Eu achei que A =\sum_{n\geq1}) = (-1)^{n+1} 2^n/binomial(2n,n).
Seja então S(x) = \sum_{n\geq1}) = x^n 2^n/binomial(2n,n) =
\sum_{n\geq1}) = [1/binomial(2n,n)] (2x)^n .
Assim A = -S(-1).
Escrevendo 1/binomial(2n,n) usando a função Beta, vem:
S(x) = \sum_{n\geq1} = n B(n+1,n) (2x)^n.
Não sei seguir daqui pra frente mas acho que faríamos
progressos se pudéssemos calcular
U(x) = \sum_{n\geq1} B(n+1,n) (2x)^n = \int_0^1
dt/(1-t) \sum_{n\geq1} [2xt(1-t)]^n = 2\int_0^1 \frac{t}{2t^2-2t+1/x} dt .
Dá pra calcular a integral? O que os programas dizem?
[]'s
Luís
From: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
Date: Sun, 28 Jan 2007 13:21:32 -0200
Nicolau, fiquei muito curioso pela resolução da questão abaixo, que foi
proposta essa semana pelo Cleber aqui ma lista...mas ninguem respondeu...vc
tem alguma dica para ela? achei o termo
geral...a(n)=(-1)^n.2^n/binomial(2n,n) , acho que é isso...mas não consegui
estabelecer a soma...
Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série:
1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me
ajudar?
Obrigado
Cleber
valew, Cgomes
- Original Message -
From: cleber vieira
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, January 25, 2007 7:14 PM
Subject: [obm-l] Séries
Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série:
1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me
ajudar?
Obrigado
Cleber
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/
--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/649 - Release Date:
23/1/2007
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
obrigado Luís...
Cgomes
- Original Message -
From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, January 29, 2007 4:12 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
Sauda,c~oes,
Oi Carlos Gomes,
Não escrevi pois não achei a forma fechada.
Mostro o que fiz.
Seja A := 1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7)
Eu achei que A =\sum_{n\geq1}) = (-1)^{n+1} 2^n/binomial(2n,n).
Seja então S(x) = \sum_{n\geq1}) = x^n 2^n/binomial(2n,n) =
\sum_{n\geq1}) = [1/binomial(2n,n)] (2x)^n .
Assim A = -S(-1).
Escrevendo 1/binomial(2n,n) usando a função Beta, vem:
S(x) = \sum_{n\geq1} = n B(n+1,n) (2x)^n.
Não sei seguir daqui pra frente mas acho que faríamos
progressos se pudéssemos calcular
U(x) = \sum_{n\geq1} B(n+1,n) (2x)^n = \int_0^1
dt/(1-t) \sum_{n\geq1} [2xt(1-t)]^n = 2\int_0^1 \frac{t}{2t^2-2t+1/x} dt .
Dá pra calcular a integral? O que os programas dizem?
[]'s
Luís
From: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
Date: Sun, 28 Jan 2007 13:21:32 -0200
Nicolau, fiquei muito curioso pela resolução da questão abaixo, que foi
proposta essa semana pelo Cleber aqui ma lista...mas ninguem
respondeu...vc tem alguma dica para ela? achei o termo
geral...a(n)=(-1)^n.2^n/binomial(2n,n) , acho que é isso...mas não
consegui estabelecer a soma...
Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série:
1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me
ajudar?
Obrigado
Cleber
valew, Cgomes
- Original Message -
From: cleber vieira
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, January 25, 2007 7:14 PM
Subject: [obm-l] Séries
Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte
série:
1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me
ajudar?
Obrigado
Cleber
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/
--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/649 - Release Date:
23/1/2007
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.14/658 - Release Date: 29/1/2007
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re:[obm-l] Séries
Olá,
vamos tentar generalizar um somatório..
primeiramente, 1*3*5 = 1*2*3*4*5/(2*4) = 5!/[2(1*2)] = 5!/[2*2!]
entao: 1*3*5*7*..*(2n+1) = (2n+1)!/[2*n!]
assim: Somatório (0..inf) { (-1)^n (n+1)! / [ 1*3*5*..*(2n+1) ] }
substituindo, ficamos com:
Somatório (0..inf) { (-1)^n (n+1)! / [ (2n+1)! / [2*n!] ] }
Somatório (0..inf) { (-1)^n 2*n!*(n+1)! / (2n+1)! }
Somatório (0..inf) { (-1)^n 2/C(2n+1, n) }
C(2n+1, n) = combinacao de 2n+1 tomados n a n
Vamos tentar encontrar alguma funcao que tenha esta serie de Taylor:
f(x) = Somatório (0..inf) { df(a)/dx^n * (x-a)^n / n! }
bom.. nao tive mtas ideias.. mas acho que o caminho deve ser este
abracos,
Salhab
Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série:
1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me ajudar?
Obrigado
Cleber
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Séries Infinitas - Soma
Oi Felipe... No meu browser não consegui ler a mensagem...
Com a formatação correta. O que vc fez exatamente?
Subtraiu S_{n+1} de S_n?
[]s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries Infinitas - Soma
Olhando novamente acho que entendi. Vc enxergou os denominadores como produto da soma pela diferença de números complexos, fatorou transformando esses termos em frações parciais. Foi isso não? []s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Séries de Fourier
Carissimo colega, a
jogada toda esta em voce usar a definicao dos coeficientes da Serie de Fourier,
pois uma soma dentro da integral se transforma em duas somas de integrais. Veja
so, (considerando que f,g possam ser expressas como serie de Fourier e estejam
definidas em (-T,T))
Seja h(x)=X.f(x) + W.g(x),
X e W, numeros inteiros, e ainda seja S(f(x)) e S(g(x)) dadas por:
SF(f(x)) = a(0)/2 +
sum(n=1,inf) [a(n).cos(n.pi.x/T) + b(n).sin(n.pi.x/T) ], onde
a(0) = 1/T. Int(-T,T)
f(x)dx,
a(n)=1/T int(-T,T)(f(x)cos(n.pi.x/T))dx
e
b(n)= a(n)=1/T int(-T,T)(f(x).sin(n.pi.x/T))dx.
SF(g(x)) = c(0)/2 +
sum(n=1,inf) [c(n).cos(n.pi.x/T) + d(n).sin(n.pi.x/T) ], onde
c(0) = 1/T. Int(-T,T) g(x)dx,
c(n)=1/T int(-T,T)(g(x)cos(n.pi.x/T))dx
e
d(n)= 1/T int(-T,T)(g(x).sin(n.pi.x/T))dx.
PORTANTO, a serie de
Fourier de h(x) e dada por:
SF(h(x)) = A(0)/2 +
sum(n=1,inf) [A(n).cos(n.pi.x/T) + B(n).sin(n.pi.x/T) ], onde
A(0) = 1/T. Int(-T,T) h(x)dx = 1/T. Int(-T,T)
(X(f(x)+W.g(x)) = X(a(0)) + W(c(0))
A(n)=1/T int(-T,T)(h(x)cos(n.pi.x/T))dx
= 1/T int(-T,T)(Xf(x)+W(g(x)))cos(n.pi.x/T))dx = X(a(n))+ W(c(n))
B(n)= a(n)=1/T int(-T,T)(h(x).sin(n.pi.x/T))dx
= 1/T int(-T,T)((X.f(x)+W.g(x)).sin(n.pi.x/T))dx = X(b(n))+W(d(n))
Substituindo A(0),A(n) e
B(n) em SF(h(x)) encontraremos,
SF(h(x)) = SF(X.f(x)+W.g(x))
= ½ (X.a(0) + W(c(0)) + sum(n=1,inf).{[X.a(n)+W.b(n)]cos(n.pi.x/T)] + [X.b(n)+W(d(n)]sin(n.pi.x/T)]}
=
= X.( a(0)/2
+ sum(n=1,inf) [a(n).cos(n.pi.x/T) + b(n).sin(n.pi.x/T) ) + W.( (0)/2 +
sum(n=1,inf) [c(n).cos(n.pi.x/T) + d(n).sin(n.pi.x/T) )
= X.SF(f(x))
+ W.SF(g(x)).
c.q.d.
Se voce for estudar de
Teoria de Comunicacoes (modulacoes, etc),eletromagnetismo, isso sera uma
ferramenta basica !
Regards
Leandro.
-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Marcus Alexandre Nunes
Sent: Saturday, October 11, 2003
4:14 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] Séries de Fourier
Eunao consigo provar a linearidade das series de
Fourier. Alguem me dah uma ideia?
SF{ a.f(x) + b.g(x) } = a.SF{ f(x) } + b.SF{g(x) }
-
Marcus Alexandre Nunes
[EMAIL PROTECTED]
http://darwingauss.blogspot.com
UIN 114153703
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Séries de Fourier
Eu pensei nisso, mas fiquei com preguiça de fazer.. :-P . Já tinha resolvido umas 10 questões sobre determinar as séries e analisar a convergência e pensei q tinha uma maneira mais fácil... Eu faço Matemática Aplicada. -Marcus Alexandre Nunes[EMAIL PROTECTED]http://darwingauss.blogspot.comUIN 114153703
[obm-l] Re: [obm-l] séries
Caros Bruno Lima e Ghaeser! Se o exemplo do Bruno é x[k] = k a[k] = 1/(ck) então ele não está bom pois não satisfaz a condição 0=x[k],a[k]=1. Mas o resultado está certo, o teorema é falso. Um contra exemplo é o seguinte. x[k] = 1/k se k é PAR e 0 se k é ímpar a[k] = 0 se k é PAR e 1 se k é ímpar sum x[k] diverge sum x[k]a[k] = 0 converge lim a[k]não existe Abraço, Eduardo. From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 PM Subject: Re: [obm-l] séries Nao, contra exemplo: tome x[k]=k a[k]=1/(ck) [EMAIL PROTECTED] wrote: seja 0=x[k],a[k]=1 sequencias.se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.é possível afirmar que lim ak = 0 ?"Mathematicus nascitur, non fit"Matemáticos não são feitos, eles nascem---Gabriel Haeserwww.gabas.cjb.net--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] séries
Caros Bruno e Gabriel: x(k) = k 1, para k 1, enquanto que uma das premissas é 0 = x(k) = 1. Logo, o contra-exemplo não vale. ** Suponha que as premissas sejam válidas e que lim a(k) = L, com L 0. Como 0 = a(k) = 1, teremos que L 0. Em particular, existirá um número real positivoA (tome, por exemplo, A = L/2) tal que para todo k suficientemente grande, a(k) A. Mas, nesse caso, para todo k suficientemente grande, a(k)*x(k) A*x(k) == SOMA a(k)*x(k) diverge == contradição. Logo, se a(k) converge, tem de ser para 0. ** Por outro lado é possívelque as premissas sejam válidas e que a(k) seja divergente. Tome a(k) = 0 se (k+1) não for quadrado perfeito e a(k) = 1 se (k+1) for um quadrado perfeito. Claramente, a(k) diverge. Tome x(k) = 1/(k+1) Então: 0 = a(k),x(k) =1 infinito infinito SOMA x(k) = SOMA 1/(k+1) diverge k = 0 k = 0 infinito infinito SOMA a(k)*x(k) = SOMA 1/n^2 = Pi^2/6 k = 0 n = 1 (a(k)*x(k) é a subsequência de x(k) que contém os recíprocos dos quadrados perfeitos) Logo, a conclusão deve ser que, dadas as premissas, se a(k) converge, então lim a(k) = 0, mas pode ser que a(k) seja divergente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 07, 2003 1:18 PM Subject: Re: [obm-l] séries Nao, contra exemplo: tome x[k]=k a[k]=1/(ck) [EMAIL PROTECTED] wrote: seja 0=x[k],a[k]=1 sequencias.se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.é possível afirmar que lim ak = 0 ?"Mathematicus nascitur, non fit"Matemáticos não são feitos, eles nascem---Gabriel Haeserwww.gabas.cjb.net---Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
