[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de funções periódicas

2013-01-19 Por tôpico Jeferson Almir 
Ok eu tentei assim.  .

Suponha que $f(0) = g(0) = 0$, que o período de $f$ é $1$ e que o período
de $g$ é um numero $a$ irracional. Seja $b$ o período de $f+g$. Tome um $x$
real qualquer. Voce consegue provar que existe um n inteiro tal que $x +
nb$ está perto de um inteiro e simultaneamente perto de $ma$ para algum $m$
inteiro (tome um $n_0$ tal que x + n_0b dista $epsilon$ de um inteiro,
depois tome o conjuntos dos $n$ inteiros tais que $nb$ dista no maximo
epsilon de um inteiro, dentre estes $n$ voce usa um principio da casa e dos
pombos dividindo a reta em $a/epsilon$ partes para mostrar que há dois
deles que estão na mesma parte (modulo a)...subtraindo você encontra n_1
tal que $n_1b dista no máximo $\epsilon$ (modulo a). Agora voce considera
os multiplos de $n_1b$, da forma $k n_1 b$ até chegar no $k$ conveniente
que te dê $x + k n_1b$ perto (digamos por 2epsilon) modulo $a$.

Ao final você acabará provando que f+g(x) = 0 (usando a continuidade...) e
isso te dará o absurdo.



Em 18 de janeiro de 2013 21:22, Artur Costa Steiner
steinerar...@gmail.comescreveu:

 Obrigado Pedro. Eu me perdi naquela parte da sequência ser densa. Mas, com
 base, na sua idéia, acho que podemos também seguir o seguinte raciocínio.

 No caso de r ser múltiplo racional de p. Conforme mostrado, para todo x,
 g(x + T) = g(x). Isto implica que T = mp seja período de g. Logo, mp é
 múltiplo inteiro de seu período fundamental q. Assim, mp = kq para algum
 inteiro positivo k, do que deduzimos que p/q = k/m é racional. Logo, temos
 uma contradição.

 No caso de r/p e r/q serem irracionais. Aqui eu me perdi, vou analisar
 mais.

 Abraços

 Artur Costa Steiner

 Em 18/01/2013, às 19:26, Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com escreveu:

  Vamos lá..
 
  Imagine que f é periódica de período fundamental p, e g é periódica
 de
  período fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que
  h=f+g é periódica de período r. Então r não pode ser ao mesmo tempo
  múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro
  de q, ou seja, r/q é irracional.
 
  Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números
  inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x)
  para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a
  mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar
  quantos períodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo
  x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num
  conjunto denso, e por ser contínua, é constante, o que é absurdo pela
  suposição que você fez.
 
  Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos
  h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) =
  f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a
  sequência x+kr por uma sequência a_k contida num período de f, de
  maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo
  g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do
  período de f onde a_k é denso, e b dentro do período de g onde b_k é
  denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é
  subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência
  b'_k de b_k usando somente os índices usados em a'_k. (temos que
  corrigir a'_k para usar somente os índices usados na construção de
  b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de
  f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo
  k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já
  que f e g são contínuas). Portanto, para quaisquer a e b,
  f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo!
 
  Foi difícil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra
  entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver.
 
  2013/1/18 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
  Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não.
 
  Sejam f e g funções de R em R contínuas, periódicas e não
 constantes. Então, f + g é periódica se, e somente se, a relação entre
 os períodos mínimos de f e de g for racional.
 
  A parte se é fácil de mostrar. Para a recíproca, observei que, sendo
 p e q os períodos mínimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e
 n inteiros positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A
 que converge para x, e isso acaba nos mostrando que
 
  lim k -- oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x)
 
  Mas disto não se conclui que f + g não é periódica.
 
  Abraços
 
  Artur Costa Steiner
 
 =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 
  =

[obm-l] Re: [obm-l] Soma de funções periódicas

2013-01-18 Por tôpico Pedro Angelo 
Vamos lá..

Imagine que f é periódica de período fundamental p, e g é periódica de
período fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que
h=f+g é periódica de período r. Então r não pode ser ao mesmo tempo
múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro
de q, ou seja, r/q é irracional.

Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números
inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x)
para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a
mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar
quantos períodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo
x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num
conjunto denso, e por ser contínua, é constante, o que é absurdo pela
suposição que você fez.

Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos
h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) =
f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a
sequência x+kr por uma sequência a_k contida num período de f, de
maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo
g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do
período de f onde a_k é denso, e b dentro do período de g onde b_k é
denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é
subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência
b'_k de b_k usando somente os índices usados em a'_k. (temos que
corrigir a'_k para usar somente os índices usados na construção de
b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de
f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo
k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já
que f e g são contínuas). Portanto, para quaisquer a e b,
f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo!

Foi difícil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra
entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver.

2013/1/18 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não.

 Sejam f e g funções de R em R contínuas, periódicas e não constantes. Então, 
 f + g é periódica se, e somente se, a relação entre os períodos mínimos de f 
 e de g for racional.

 A parte se é fácil de mostrar. Para a recíproca, observei que, sendo p e q os 
 períodos mínimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e n inteiros 
 positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A que converge 
 para x, e isso acaba nos mostrando que

 lim k -- oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x)

 Mas disto não se conclui que f + g não é periódica.

 Abraços

 Artur Costa Steiner
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de funções periódicas

2013-01-18 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Obrigado Pedro. Eu me perdi naquela parte da sequência ser densa. Mas, com 
base, na sua idéia, acho que podemos também seguir o seguinte raciocínio.

No caso de r ser múltiplo racional de p. Conforme mostrado, para todo x, g(x + 
T) = g(x). Isto implica que T = mp seja período de g. Logo, mp é múltiplo 
inteiro de seu período fundamental q. Assim, mp = kq para algum inteiro 
positivo k, do que deduzimos que p/q = k/m é racional. Logo, temos uma 
contradição. 

No caso de r/p e r/q serem irracionais. Aqui eu me perdi, vou analisar mais.

Abraços

Artur Costa Steiner

Em 18/01/2013, às 19:26, Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com escreveu:

 Vamos lá..
 
 Imagine que f é periódica de período fundamental p, e g é periódica de
 período fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que
 h=f+g é periódica de período r. Então r não pode ser ao mesmo tempo
 múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro
 de q, ou seja, r/q é irracional.
 
 Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números
 inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x)
 para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a
 mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar
 quantos períodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo
 x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num
 conjunto denso, e por ser contínua, é constante, o que é absurdo pela
 suposição que você fez.
 
 Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos
 h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) =
 f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a
 sequência x+kr por uma sequência a_k contida num período de f, de
 maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo
 g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do
 período de f onde a_k é denso, e b dentro do período de g onde b_k é
 denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é
 subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência
 b'_k de b_k usando somente os índices usados em a'_k. (temos que
 corrigir a'_k para usar somente os índices usados na construção de
 b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de
 f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo
 k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já
 que f e g são contínuas). Portanto, para quaisquer a e b,
 f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo!
 
 Foi difícil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra
 entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver.
 
 2013/1/18 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não.
 
 Sejam f e g funções de R em R contínuas, periódicas e não constantes. 
 Então, f + g é periódica se, e somente se, a relação entre os períodos 
 mínimos de f e de g for racional.
 
 A parte se é fácil de mostrar. Para a recíproca, observei que, sendo p e 
 q os períodos mínimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e n 
 inteiros positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A 
 que converge para x, e isso acaba nos mostrando que
 
 lim k -- oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x)
 
 Mas disto não se conclui que f + g não é periódica.
 
 Abraços
 
 Artur Costa Steiner
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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