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2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano. Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos (três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos h(A,B), h(B,C) e h(A,C). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito de distância. Só para conferir Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a distância entre eles seria: 5, isso é correto? Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 1. Agradeço sua explicação Abraços Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 4 Apr 2011 14:28:00 +0200 Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil 2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano. Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos (três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos h(A,B), h(B,C) e h(A,C). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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2011/4/4 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito de distância. Oi Julio, Só para conferir Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a distância entre eles seria: 5, isso é correto? Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 1. Vamos lá, com calma. A definição, pra começar: h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e para cada y em B, existe x em A tq d(x,y) r} Ou seja, para todo ponto a de A, você tem um ponto b_a (ou seja, que pode mudar em função de a) em B a distância menor ou igual a h(A,B) (o problema do inf é que muda os quantificadores), e o mesmo com b em B, e um ponto a_b em A. (Aqui, você usa que os conjuntos são compactos para garantir a desigualdade no limite). O melhor é separar a definição em distância de A até B e distância de B até A, cada uma sendo uma das metades, e ver que como a gente exige que o r valha para os dois, então temos que h(A,B) é o máximo dessas duas distâncias (que não são simétricas, por isso que a gente não as usa) Se você tem o seu círculo em (0,0) de raio 1 (ele é o meu A), o ponto mais longe do outro círculo (o B) é (-1,0), mas para todo r 3 existe um ponto (o (2,0) para ser mais exato) que está a uma distância menor do que r de (-1,0). Os outros pontos (a,b) têm pontos (a+3,b) correspondentes no outro círculo também, de forma que a distância de A até B é 3. Como a figura é simétrica, a distância (tal como definida pelo Samuel) é 3. Para dar um exemplo um pouco mais interessante, veja que se A = segmento [0,1] e B = segmento [2,20], a distância de A até B como eu defini é 2 porque todo ponto em A está a uma distância = a 2 do [2,20]. Por outro lado, a distância de B até A é 19, porque o ponto 20 está a uma distância de 19 do 1, que é o ponto mais próximo do A. Agora, de volta ao problema: Uma forma interessante de ver essa definição da h(A,B) é a seguinte: defina a distância entre x e A (um conjunto) como a menor distância entre x e um ponto de A, ou seja, d(x, A) = inf{ d(x,a) / a pertence a A}. Note que essa distância é sempre realizada quando A é um conjunto fechado, porque você pode pegar uma seqüência decrescente de distâncias, e os pontos que as realizam formam uma seqüência em A, logo qualquer limite está em A, e porque elas estão a uma distância constante, isso dá um compacto, donde você pode extrair uma subseqüência. Agora, defina d(A - B) = sup{ d(a,B) / a pertence a A} = distância de A até B, e h(A,B) = max{d(A - B), d(B - A)}. Isso quer dizer que B inter {vizinhança de espessura r h(A,B) em volta de A} é não vazio para todo r, e reciprocamente em A e B. Repare que não é o mesmo que pedir que B esteja contido na bola em volta de A de raio r. (bola em volta de A = vizinhança de espessura r = conjunto dos pontos cuja distância a A é menor do que r). Agora, para concluir o problema, vai uma dica: use a desigualdade triangular original, mais o fato que h(A,B) r te dá um ponto em B para cada ponto de A, e o mesmo para h(B,C) s para fazer pontos em C. E depois dê uma jogada de epsilon/2 e pode partir pro abraço. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Sat, 2 Apr 2011 00:58:01 + Asunto : [obm-l] conjuntos, difícil Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj. Compactos de M e defina a distância por: h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e para cada y em B, existe x em A tq d(x,y) r} Provar que (K(M) é espaço métrico). i) h(A,B) = h(B,A) (consegui fazer). ii) h(A,B) 0 se A B e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.) esse item também consegui fazer. Agora vem o problemático (para mim) iii) h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) para todos A,B,C pertencenta à K(M). Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer. Obrigado. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =