Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Acho que eu não soube me expressar.
Vejamos:
1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião de
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso recai
no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo montar uma
BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por exemplo. Assim,
posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO termo, e assim por
diante. Lembre-se que as funções são definidas de CONJUNTO para CONJUNTO.
3) A questão de ordem, como colocou o Marcelo é explicada da seguinte forma:
Para que dois conjuntos sejam iguais, é necessário que todos os elementos de A
estejam em B e que todos os elementos de B estejam em A. Para o caso dos
conjuntos ordenados, além da lei acima, devemos ter que a ordem deve permanecer
a mesma.
4) Eu não quis dizer que está correto escrever sequencias entre chaves. Eu só
perguntei se por acaso, o indivíduo que escreveu o problema original não se
confundiu com este fato, da existencia de conjuntos e conjuntos ordenados.
Assim, claramente teremos:
i) { a , b , c } = { b , a , c } , pois para os conjuntos escrito
entre chaves, a ordem não é importante.
ii) (a , b , c ) (b , c , a ), pois apesar de possuírem os
mesmos elementos, a ORDEM não é a mesma.
Bem, eu também não sei muito sobre matemática, inclusive, acho até que
minha interpretação de conjunto possa estar errada. Mas segundo o que eu ví até
hoje sobre conjuntos, acho que seria isso mesmo.
Abraços !
Celso
Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Celso,
vejamos por exemplo o conjunto { a, b } e o par ordenado (a, b)
{ a, b } = { b, a }, mas (a, b) != (b, a)
nao conheco conjuntos ordenados... mas, um modo de representar um par
ordenado por conjuntos
seria (a, b) = { a, { a, b } } , neste caso, (a, b) = (c, d) sss a = c e b =
d (usando a igualdade de conjuntos).
uma n-upla ordenada seria: (a1, a2, ... , an) = { a1, { a1, a2 }, {a1, a2,
a3}, ..., {a1, a2, ... , an } } na notacao
de conjuntos!
entendeu?
entao, a notacao de chaves nao seria correta para sequencias, mas sim a
notacao de n-uplas ordenadas.
(1, 2, 3, ..., n)
um abraço,
Salhab
- Original Message -
From: Celso Souza
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 8:25 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: Comentários menores: eu
não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de
ser conjuntos, não ?
Celso
__
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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Thu, Feb 15, 2007 at 08:25:07PM -0300, Celso Souza wrote:
Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: Comentários
menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado para uma seqüência,
chaves para mim são para conjuntos.
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS.
Uma seqüência é uma função com domínio N = {0,1,2,3,...}
ou outro conjunto parecido, como Z ou N-{0}.
Uma função pode ser identificada com um conjunto de pares ordenados.
Será que é isso que você quer dizer?
Tal como ocorre com pares ordenados, que são
conjuntos ordenados.
Não. Um conjunto ordenado é um conjunto no qual está definida uma relação
de ordem. Um par ordenado não é nada disso. O que se pode fazer é definir
(a,b) = {{a},{a,b}}. A razão para fazer isso é que em teoria dos conjuntos
qualquer coisa é um conjunto. Mas em outras áreas da matemática é melhor
pensar que existem vários tipos de objetos: números, conjuntos,
pares ordenados, funções, ...
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam
de ser conjuntos, não ?
Só são conjuntos no sentido técnico acima. O que você certamente não pode
é identificar a seqüência (a_0, a_1, a_2, ...) com o conjunto
{a_0, a_1, a_2, ...} pois o conjunto não percebe repetições nem ordem.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Fri, Feb 16, 2007 at 07:58:19AM -0300, Celso Souza wrote:
Acho que eu não soube me expressar.
Vejamos:
1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião de
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
Como já foi dito, não. Uma seqüência pode ser identificada com um conjunto
de pares ordenados mas não com um conjunto de números.
2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso
recai no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo
montar uma BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por
exemplo. Assim, posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO
termo, e assim por diante. Lembre-se que as funções são definidas de
CONJUNTO para CONJUNTO.
Isto não reflete corretamente o conceito de seqüência.
Uma seqüência pode ter elementos repetidos, como
(1,0,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,9,10,0,11,12,0,13,14,15,16,0,17,18,0,19,20,21,...)
A imagem da seqüência (ou seja, o conjunto dos valores que ela assume)
é {0,1,2,3,4,5,...} mas nenhuma ordem neste conjunto traduz o fato de
que 0 aparece nas posições acima.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Ai, essa doeu ate em mim :)
Melhoras
Abracos
Ricardo
- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, February 16, 2007 2:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Fri, Feb 16, 2007 at 07:58:19AM -0300, Celso Souza wrote:
Acho que eu não soube me expressar.
Vejamos:
1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião
de
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
Como já foi dito, não. Uma seqüência pode ser identificada com um conjunto
de pares ordenados mas não com um conjunto de números.
2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso
recai no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo
montar uma BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por
exemplo. Assim, posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO
termo, e assim por diante. Lembre-se que as funções são definidas de
CONJUNTO para CONJUNTO.
Isto não reflete corretamente o conceito de seqüência.
Uma seqüência pode ter elementos repetidos, como
(1,0,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,9,10,0,11,12,0,13,14,15,16,0,17,18,0,19,20,21,...)
A imagem da seqüência (ou seja, o conjunto dos valores que ela assume)
é {0,1,2,3,4,5,...} mas nenhuma ordem neste conjunto traduz o fato de
que 0 aparece nas posições acima.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Thu, Feb 15, 2007 at 11:57:18AM -0200, Marcus Aurélio wrote:
Alguem poderia me ajudar nessa questão?
Determine o termo geral da seqüência {3, 0, 5, 34, 135, 452, ...} e calcule
em seguida a soma dos seus n primeiros termos.
Outros já responderam mas eu queria fazer uns comentários.
Dar meia dúzia de termos não determina uma seqüência.
Por exemplo, tome
p(t) = (8 t^5 - 60 t^4 + 200 t^3 - 240 t^2 + 47 t + 45)/15.
A sua seqüência começa com (p(0), p(1), p(2), p(3), p(4), p(5), ...)
e ela pode muito bem ter termo geral p(n). Uma fórmula mais simples
foi obtida (implicitamente) pelo Nehab:
g(t) = 2*3^t - 7*t + 1
A seqüência começa com (g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5), ...)
e ela pode muito bem ter termo geral g(n).
De forma mais idiota, ela também pode ser
(3, 0, 5, 34, 135, 452, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...).
É impossível saber qual a resposta certa. No máximo podemos dizer
que a resposta do Nehab é mais simples que as outras e que provavelmente
era o que o autor do problema tinha em mente. Note que eu não acho que
este seja um problema bem enunciado e que eu não aceitaria um problema
assim numa prova se eu estivesse na banca.
Por outro lado, conheçam a Online Encyclopaedia of Integer Sequences:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
Ela tem um sistema muito bom de tentar adivinhar uma seqüência
a partir de alguns termos. Experimentem!
Comentários menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos. E tente
usar subjects mais informativos.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: Comentários menores: eu
não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de
ser conjuntos, não ?
Celso
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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Olá Celso,
vejamos por exemplo o conjunto { a, b } e o par ordenado (a, b)
{ a, b } = { b, a }, mas (a, b) != (b, a)
nao conheco conjuntos ordenados... mas, um modo de representar um par ordenado
por conjuntos
seria (a, b) = { a, { a, b } } , neste caso, (a, b) = (c, d) sss a = c e b = d
(usando a igualdade de conjuntos).
uma n-upla ordenada seria: (a1, a2, ... , an) = { a1, { a1, a2 }, {a1, a2, a3},
..., {a1, a2, ... , an } } na notacao
de conjuntos!
entendeu?
entao, a notacao de chaves nao seria correta para sequencias, mas sim a notacao
de n-uplas ordenadas.
(1, 2, 3, ..., n)
um abraço,
Salhab
- Original Message -
From: Celso Souza
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 8:25 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Comentários menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de
ser conjuntos, não ?
Celso
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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
A definicao de seqüência não é um conjunto de números. A definição de
seqüência em um cjto X é uma função f: N - X, onde N é o conjunto dos
números naturais. (cf http://planetmath.org/encyclopedia/Sequence.html)
Se agora vc quiser entender uma função f: N - X como sendo um subconjunto
de N x X (N cartesiano X) (definido assim: a1 , a2 elemento N, b1, b2
elemento X; se a1 = a2 entao b1 = b2), aí beleza, a seqüência vc pode chamar
de conjunto, mas não um conjunto de números, mas sim um subconjunto de N
x X.
Falei bobagem?
Abraço!
Bruno
ps:
Procurando no google, vemos em diversas fontes (dentre elas o Mathworld do
Wolfram), dizendo que o termo conjunto ordenado é um termo ambíguo
querendo se referir ora a conjunto totalmente ordenado ora a conjunto
parcialmente ordenado, que não tem nada a ver com este tema.
Uma ordem parcial em um conjunto X é uma relação = com as seguintes
propriedades:
1) Reflexividade: a = a, para todo a em X
2) Transitividade: a = b, b = c implica a = c.
3) Anti-simetria: a = b e b = a implica a = b.
Um conjunto parcialmente ordenado é um par ordenado (X, =).
Um conjunto é dito totalmente ordenado quando podemos comparar quaisquer
seus 2 elementos, isto é: para todo x, y em X, temos que: x = y ou y = x.
On 2/15/07, Celso Souza [EMAIL PROTECTED] wrote:
*Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]* escreveu:
Comentários menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam
de ser conjuntos, não ?
Celso
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Bruno França dos Reis
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