Re: [obm-l] Transformada inversa de laplace.

[Roger]

Srs, muito obrigado.
Conforme disse era uma dúvida básica, mas que ficou muito bem esclarecida.
Achei a solução do Marcelo Salhab elegante.
Saudações,
Um [ ].


Em 3 de março de 2016 17:38, Marcelo Salhab Brogliato 
escreveu:

> Oi, Roger,
>
> Acho que dá pra usar decomposição em frações parciais usando as raízes
> complexas.
>
> As raízes do polinômio (1+s^2)^2 são: i e -i, ambas com cardinalidade 2.
> Logo, podemos escrever:
>
> 1/(1+s^2)^2 = A/(s-i) + B/(s-i)^2 + C/(s+i) + D/(s+i)^2
>
> Multiplicando ambos os lados por (s-i)^2(s+i)^2, temos: 1 = A(s-i)(s+i)^2
> + B(s+i)^2 + C(s+i)(s-i)^2 + D(s-i)^2
>
> Fazendo s=i, temos: 1 = B(2i)^2 => B = -1/4
> Fazendo s=-i, temos: 1 = D(-2i)^2 => D = -1/4
>
> Derivando em relação a s, temos:
> 0 = A(s+i)^2 + A(s-i)2(s+i) + 2B(s+i) + C(s-i)^2 + 2C(s+i)(s-i) + 2D(s-i)
>
> Fazendo s=i, temos: 0 = A(2i)^2 + 2B(2i) => 0 = -4A + 4Bi => 0 = -4A - i
> => A = -i/4
> Fazendo s=-i, temos: 0 = C(-2i)^2 + 2D(-2i) => 0 = -4C - 4Di => C = -Di =>
> C = i/4
>
> Portanto: 1/(1+s^2)^2 = (-1/4) * [ i/(s-i) + 1/(s-i)^2 - i/(s+i) +
> 1/(s+i)^2 ]
>
> L[exp(it) u(t)] = 1/(s-i)
> L[exp(-it) u(t)] = 1/(s+i)
> L[exp(it) t u(t)] = 1/(s-i)^2
> L[exp(-it) t u(t)] = 1/(s+i)^2
>
> Portanto:
>
> L^{-1} [1/(1+s^2)^2] = (-u(t)/4) * [ i exp(it) + exp(it)*t - i exp(-it) +
> exp(-it)*t ]
>
> Note que 2cos(t) = exp(it) + exp(-it) e que 2isen(t) = exp(it) - exp(-it).
>
> Portanto:
> L^{-1} [1/(1+s^2)^2] = (-u(t)/4) * [ i 2isen(t) + 2tcos(t) ] = u(t)/2 * [
> sen(t) - tcos(t) ]
>
> Assim, a inversa que você busca é: u(t)/2 * [ sen(t) - tcos(t) ]
>
> Abraços,
> Salhab
>
>
> 2016-03-03 16:24 GMT-03:00 Roger :
>
>> Pessoal, boa tarde.
>>
>> Pode ser uma dúvida básica, mas se alguém puder indicar a resposta.
>>
>> Qual a transformada inversa de laplace de:
>>
>>  1/(1+s^2)^2
>>
>> [ ]'s
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Transformada inversa de laplace.

[Marcelo Salhab Brogliato]

Oi, Roger,

Acho que dá pra usar decomposição em frações parciais usando as raízes
complexas.

As raízes do polinômio (1+s^2)^2 são: i e -i, ambas com cardinalidade 2.
Logo, podemos escrever:

1/(1+s^2)^2 = A/(s-i) + B/(s-i)^2 + C/(s+i) + D/(s+i)^2

Multiplicando ambos os lados por (s-i)^2(s+i)^2, temos: 1 = A(s-i)(s+i)^2 +
B(s+i)^2 + C(s+i)(s-i)^2 + D(s-i)^2

Fazendo s=i, temos: 1 = B(2i)^2 => B = -1/4
Fazendo s=-i, temos: 1 = D(-2i)^2 => D = -1/4

Derivando em relação a s, temos:
0 = A(s+i)^2 + A(s-i)2(s+i) + 2B(s+i) + C(s-i)^2 + 2C(s+i)(s-i) + 2D(s-i)

Fazendo s=i, temos: 0 = A(2i)^2 + 2B(2i) => 0 = -4A + 4Bi => 0 = -4A - i =>
A = -i/4
Fazendo s=-i, temos: 0 = C(-2i)^2 + 2D(-2i) => 0 = -4C - 4Di => C = -Di =>
C = i/4

Portanto: 1/(1+s^2)^2 = (-1/4) * [ i/(s-i) + 1/(s-i)^2 - i/(s+i) +
1/(s+i)^2 ]

L[exp(it) u(t)] = 1/(s-i)
L[exp(-it) u(t)] = 1/(s+i)
L[exp(it) t u(t)] = 1/(s-i)^2
L[exp(-it) t u(t)] = 1/(s+i)^2

Portanto:

L^{-1} [1/(1+s^2)^2] = (-u(t)/4) * [ i exp(it) + exp(it)*t - i exp(-it) +
exp(-it)*t ]

Note que 2cos(t) = exp(it) + exp(-it) e que 2isen(t) = exp(it) - exp(-it).

Portanto:
L^{-1} [1/(1+s^2)^2] = (-u(t)/4) * [ i 2isen(t) + 2tcos(t) ] = u(t)/2 * [
sen(t) - tcos(t) ]

Assim, a inversa que você busca é: u(t)/2 * [ sen(t) - tcos(t) ]

Abraços,
Salhab


2016-03-03 16:24 GMT-03:00 Roger :

> Pessoal, boa tarde.
>
> Pode ser uma dúvida básica, mas se alguém puder indicar a resposta.
>
> Qual a transformada inversa de laplace de:
>
>  1/(1+s^2)^2
>
> [ ]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Transformada inversa de laplace.

[Pedro José]

Boa tarde!

F(s) = 2as/(s^2+a^2)^2 ==> f(t) = t*sen(at),

L[k*f(t)] =k*F(s)

L^-1 [F(s)/s] = Int f(x)dx de 0 a t.


Portanto a =1, k = 1/2 e L^-1 [1/2 * 1/s * 2s/(s^2+1)^2 = 1/2 Integral de 0
a t de t*sint = 1/2 * (sent-tcost)

Ou consultando diretamente uma tabela de transformadas:

f(t) = 1/(2*w^3) * (sen(wt) - t cos(wt) ==> F(s) = 1/ (s^2+w^2)^2

Saudações,
PJMS



Em 3 de março de 2016 16:24, Roger  escreveu:

> Pessoal, boa tarde.
>
> Pode ser uma dúvida básica, mas se alguém puder indicar a resposta.
>
> Qual a transformada inversa de laplace de:
>
>  1/(1+s^2)^2
>
> [ ]'s
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Transformada inversa de laplace.

[Leonardo Maia]

Estude o teorema de convolução. Você deve achar facilmente a função
original cuja Laplace é 1/(1+s^2) e o que vc quer é o produto dela por ela
mesma. A função cuja Laplace é o produto de outras duas Laplaces é dada
pela integral de convolução das "originais" (iguais, neste seu caso).

[], Leo.

2016-03-03 16:24 GMT-03:00 Roger :

> Pessoal, boa tarde.
>
> Pode ser uma dúvida básica, mas se alguém puder indicar a resposta.
>
> Qual a transformada inversa de laplace de:
>
>  1/(1+s^2)^2
>
> [ ]'s
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Transformada inversa de laplace.

[Roger]

Pessoal, boa tarde.

Pode ser uma dúvida básica, mas se alguém puder indicar a resposta.

Qual a transformada inversa de laplace de:

 1/(1+s^2)^2

[ ]'s

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.