Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Alexandre Antunes]

Em Qua, 28 de ago de 2019 07:00, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 às 13:03, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Bom dia,
>>
>> Vejam se podem melhorar essa ideia que tive (caso seja coerente)!
>>
>> Sejam x, y, z e w números naturais.
>>
>> queremos provar que vale
>>
>> x^2 + y^2 = z^2
>> x^2  - y^2 = w^2
>>
>> (+) somando o sistema, temos:
>>
>> 2x^2 = z^2 + w^2   (1)
>>  z^2 - 2x^2 + w^2 = 0 (2)
>>
>> 1°) suponha que x^2 = z.w
>>  z^2 - 2.z.w+w^2 = 0
>>  (z - w)^2 = 0
>>   z - w = 0
>>   z = w
>> Substituindo em (1): 2x^2 = 2z^2
>> x^2 =   z^2
>> Retornando ao sistema concluímos, nesse caso, y = 0
>> Ou seja, valerá sempre que um dos valores x ou y sejam iguais a 0.
>>
>> 2°) suponha que x^2 <> z.w
>>   Dessa forma, considere x^2 = (z+z1).(w+w1), com z1,w1 pertencentes
>> ao Conjunto N, não identicamente nulos. (3)
>>   Substituindo (3) em (2), segue que
>> z^2 - 2 (z+z1).(w+w1) + w^2 = 0
>> z^2 - 2zw - 2zw1 - 2z1w - 2z1w1 + w^2 = 0
>> z^2 - 2zw + w^2 =  2zw1 + 2z1w + 2z1w1
>> (z - w)^2 =  2(zw1 + z1w + z1w1)
>>  z - w =  raiz[2(zw1 + z1w + z1w1)]
>>z = w + raiz(2).raiz[(zw1 + z1w + z1w1)]
>>
>> Sendo assim, nesse caso, z não é um número Natural (nem Inteiro) devido
>> ao fator raiz(2)
>>
>
> Não. Você não sabe se raiz[(zw1 + z1w + z1w1)]  é inteiro.
>

R: a parte raiz[(zw1 + z1w + z1w1)] pode ser inteira, pois está
multiplicando a raiz(2)

z = w + raiz(2).raiz[(z.w1 + z1.w + z1.w1)]  ou de outra forma z = w +
raiz[(z.w1 + z1.w + z1.w1)].*raiz(2)*

O problema seria quando
(z.w1 + z1.w + z1.w1) = 2=2^1, pois raiz[(z.w1 + z1.w + z1.w1)].*raiz(**2)*
= 2
(z.w1 + z1.w + z1.w1) = 8=2^3, pois raiz[(z.w1 + z1.w + z1.w1)].*raiz(**2)* =
4
(z.w1 + z1.w + z1.w1) = 32=2^5, pois raiz[(z.w1 + z1.w + z1.w1)].*raiz(**2)* =
8
(z.w1 + z1.w + z1.w1) = 32=2^7, pois raiz[(z.w1 + z1.w + z1.w1)].*raiz(**2)* =
16

Sendo isso, existe algum(uns) valor(es) que atende(m) ao sistema
Será?!!?


>
>
>> .
>>
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_4393246234964310562_m_1943450022789036991_m_5303780290673142748_m_-7909292563809362498_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em Dom, 25 de ago de 2019 11:15, Alexandre Antunes <
>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia,
>>>
>>> Existe um caso "trivial", com infinitas possibilidades: Sejam a,b
>>> números do conjunto N (natural)
>>>
>>> Se b = 0
>>>
>>> a^2 + b^2 = a^2
>>> a^2  - b^2 = a^2
>>>
>>> Em Ter, 13 de ago de 2019 19:29, Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
 quadrados sejam quadrados ?

 Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 =
 z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo
 mas obtive sucesso.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Anderson Torres]

Em ter, 27 de ago de 2019 às 13:03, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Bom dia,
>
> Vejam se podem melhorar essa ideia que tive (caso seja coerente)!
>
> Sejam x, y, z e w números naturais.
>
> queremos provar que vale
>
> x^2 + y^2 = z^2
> x^2  - y^2 = w^2
>
> (+) somando o sistema, temos:
>
> 2x^2 = z^2 + w^2   (1)
>  z^2 - 2x^2 + w^2 = 0 (2)
>
> 1°) suponha que x^2 = z.w
>  z^2 - 2.z.w+w^2 = 0
>  (z - w)^2 = 0
>   z - w = 0
>   z = w
> Substituindo em (1): 2x^2 = 2z^2
> x^2 =   z^2
> Retornando ao sistema concluímos, nesse caso, y = 0
> Ou seja, valerá sempre que um dos valores x ou y sejam iguais a 0.
>
> 2°) suponha que x^2 <> z.w
>   Dessa forma, considere x^2 = (z+z1).(w+w1), com z1,w1 pertencentes
> ao Conjunto N, não identicamente nulos. (3)
>   Substituindo (3) em (2), segue que
> z^2 - 2 (z+z1).(w+w1) + w^2 = 0
> z^2 - 2zw - 2zw1 - 2z1w - 2z1w1 + w^2 = 0
> z^2 - 2zw + w^2 =  2zw1 + 2z1w + 2z1w1
> (z - w)^2 =  2(zw1 + z1w + z1w1)
>  z - w =  raiz[2(zw1 + z1w + z1w1)]
>z = w + raiz(2).raiz[(zw1 + z1w + z1w1)]
>
> Sendo assim, nesse caso, z não é um número Natural (nem Inteiro) devido ao
> fator raiz(2)
>

Não. Você não sabe se raiz[(zw1 + z1w + z1w1)]  é inteiro.



> .
>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_-7909292563809362498_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em Dom, 25 de ago de 2019 11:15, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia,
>>
>> Existe um caso "trivial", com infinitas possibilidades: Sejam a,b números
>> do conjunto N (natural)
>>
>> Se b = 0
>>
>> a^2 + b^2 = a^2
>> a^2  - b^2 = a^2
>>
>> Em Ter, 13 de ago de 2019 19:29, Jeferson Almir 
>> escreveu:
>>
>>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>>> quadrados sejam quadrados ?
>>>
>>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 =
>>> z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo
>>> mas obtive sucesso.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Alexandre Antunes]

Bom dia,

Vejam se podem melhorar essa ideia que tive (caso seja coerente)!

Sejam x, y, z e w números naturais.

queremos provar que vale

x^2 + y^2 = z^2
x^2  - y^2 = w^2

(+) somando o sistema, temos:

2x^2 = z^2 + w^2   (1)
 z^2 - 2x^2 + w^2 = 0 (2)

1°) suponha que x^2 = z.w
 z^2 - 2.z.w+w^2 = 0
 (z - w)^2 = 0
  z - w = 0
  z = w
Substituindo em (1): 2x^2 = 2z^2
x^2 =   z^2
Retornando ao sistema concluímos, nesse caso, y = 0
Ou seja, valerá sempre que um dos valores x ou y sejam iguais a 0.

2°) suponha que x^2 <> z.w
  Dessa forma, considere x^2 = (z+z1).(w+w1), com z1,w1 pertencentes ao
Conjunto N, não identicamente nulos. (3)
  Substituindo (3) em (2), segue que
z^2 - 2 (z+z1).(w+w1) + w^2 = 0
z^2 - 2zw - 2zw1 - 2z1w - 2z1w1 + w^2 = 0
z^2 - 2zw + w^2 =  2zw1 + 2z1w + 2z1w1
(z - w)^2 =  2(zw1 + z1w + z1w1)
 z - w =  raiz[2(zw1 + z1w + z1w1)]
   z = w + raiz(2).raiz[(zw1 + z1w + z1w1)]

Sendo assim, nesse caso, z não é um número Natural (nem Inteiro) devido ao
fator raiz(2).



Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em Dom, 25 de ago de 2019 11:15, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia,
>
> Existe um caso "trivial", com infinitas possibilidades: Sejam a,b números
> do conjunto N (natural)
>
> Se b = 0
>
> a^2 + b^2 = a^2
> a^2  - b^2 = a^2
>
> Em Ter, 13 de ago de 2019 19:29, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>> quadrados sejam quadrados ?
>>
>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 = z^2
>> e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo mas
>> obtive sucesso.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Pedro José]

Bom dia!
Faltou que st=ab, também.

desculpem-me

Saudações,
PJMS

Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:29, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
>
> Para haver solução, tem de haver s,t,a,b estritamente naturais. Com
> (s,t)=1 s ímpar e t par. (a,b)=1 , paridade de a <> paridade de b e
> a^2+b^2=s^2-t^2.
>
> Tentei achar uma restrição que impossibilitasse, mas não consegui.
>
> Talvez ajude.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
> Em dom, 25 de ago de 2019 às 21:41, Joao Breno 
> escreveu:
>
>> Eu tô achando que o enunciado dessa questão está mal formulado.
>> Nessa questão é pra considerar o zero ou não?
>> Obs.: Alguns autores consideram o zero como sendo um natural e outros não.
>>
>> Att, Breno.
>>
>> Em ter, 13 de ago de 2019 19:29, Jeferson Almir 
>> escreveu:
>>
>>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>>> quadrados sejam quadrados ?
>>>
>>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 =
>>> z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo
>>> mas obtive sucesso.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Pedro José]

Bom dia!

Para haver solução, tem de haver s,t,a,b estritamente naturais. Com (s,t)=1
s ímpar e t par. (a,b)=1 , paridade de a <> paridade de b e a^2+b^2=s^2-t^2.

Tentei achar uma restrição que impossibilitasse, mas não consegui.

Talvez ajude.

Saudações,
PJMS




Em dom, 25 de ago de 2019 às 21:41, Joao Breno 
escreveu:

> Eu tô achando que o enunciado dessa questão está mal formulado.
> Nessa questão é pra considerar o zero ou não?
> Obs.: Alguns autores consideram o zero como sendo um natural e outros não.
>
> Att, Breno.
>
> Em ter, 13 de ago de 2019 19:29, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>> quadrados sejam quadrados ?
>>
>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 = z^2
>> e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo mas
>> obtive sucesso.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Joao Breno]

Eu tô achando que o enunciado dessa questão está mal formulado.
Nessa questão é pra considerar o zero ou não?
Obs.: Alguns autores consideram o zero como sendo um natural e outros não.

Att, Breno.

Em ter, 13 de ago de 2019 19:29, Jeferson Almir 
escreveu:

> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
> quadrados sejam quadrados ?
>
> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 = z^2
> e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo mas
> obtive sucesso.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Jeferson Almir]

O problema melhor formulado é:

“ prove que não existem inteiros positivos x,y,z,w tais que x^2 + y^2 = z^2
e x^2 - y^2 = w^2 “

Em dom, 25 de ago de 2019 às 11:23, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia,
>
> Existe um caso "trivial", com infinitas possibilidades: Sejam a,b números
> do conjunto N (natural)
>
> Se b = 0
>
> a^2 + b^2 = a^2
> a^2  - b^2 = a^2
>
> Em Ter, 13 de ago de 2019 19:29, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>> quadrados sejam quadrados ?
>>
>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 = z^2
>> e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo mas
>> obtive sucesso.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Alexandre Antunes]

Bom dia,

Existe um caso "trivial", com infinitas possibilidades: Sejam a,b números
do conjunto N (natural)

Se b = 0

a^2 + b^2 = a^2
a^2  - b^2 = a^2

Em Ter, 13 de ago de 2019 19:29, Jeferson Almir 
escreveu:

> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
> quadrados sejam quadrados ?
>
> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 = z^2
> e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo mas
> obtive sucesso.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Anderson Torres]

Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir
 escreveu:
>
> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus 
> quadrados sejam quadrados ?
>

x^2+y^2=A^2
x^2-y^2=B^2

Soma: A^2+B^2=2x^2

A e B devem ter a mesma paridade. Se ambos forem pares, caímos em algo
como 2(a^2+b^2)=x^2, o que implica x par, e daí a^2+b^2=2X^2, caindo
no caso anterior. Portanto, podemos supor que ambos são ímpares.
Também podemos supor que MDC(A,B)=1.

Pois bem, sendo ambos ímpares, podemos escrever a=P+Q e b=P-Q. Desta forma,
(P+Q)^2+(P-Q)^2=2X^2, ou P^2+Q^2=X^2, uma trinca pitagórica!


> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Jeferson Almir]

Arthur nessa passagem tem um erro de sinal =>
 “ portanto d=g e e^2+f^2=u^2+v^2 “
E na verdade é
 e^2+f^2=u^2- v^2 quando vc iguala o x de um com o x da outra equação. Não
implicando z = x .

Em ter, 13 de ago de 2019 às 22:00, arthurquimu 
escreveu:

> Queremos provar que não existem soluções inteiras não nulas para:
>
> x^2+y^2=z^2 (1)
> x^2-y^2=w^2 (2)
>
> Rearranjando (2), teremos x^2=y^2+w^2
>
> Só que é um fato matemático conhecido de que ternas pitagóricas possuem a
> forma
> x = (u^2 - v^2)d
> y = 2uvd
> z = (u^2+v^2)d
> Para inteiros u, v e d com mdc(u, v)=1. (Fica como exercício para o leitor
> provar que y é par)
>
> Fazendo o mesmo em (2), teremos:
>
> y= 2efg
> w = (e^2-f^2)g
> x = (e^2+f^2)g
>
> Daí vem que 2efg = 2uvd implicando que g=(uvd)/(ef)
>
> Vem também que (e^2+f^2)g = (u^2+v^2)d e, assim, (e^2+f^2)uv = ef(u^2+v^2)
>
> Só que daí
> uv | ef(u^2+v^2)
> uv | ef(u^2+v^2) + ef * 2uv
> uv | ef (u+v)^2
> u | uv | ef(u+v)^2
> u | efv^2
> u | ef
> Analogamente v | ef, só que como mdc(u, v) = 1, então uv | ef
> Analogamente ef | uv, logo ef=uv, portanto d=g e e^2+f^2=u^2+v^2 de sorte
> que z = (u^2+v^2)d = (e^2+f^2)g = x;
> Só que de z=x, vem da equação (1) que y=0, absurdo.
>
>
>
> Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy.
>
>  Mensagem original 
> De : Jeferson Almir 
> Data: 13/08/2019 20:06 (GMT-03:00)
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Triplas pitagoricas
>
> Tem que ser algo do tipo Israel
> x^2 + y^2 = A^2
> x^2 - y^2 = B^2
>
> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:56, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> opa me desculpe ju errei aqui desculpe -me
>>
>>
>> <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>
>>  Livre
>> de vírus. www.avg.com
>> <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>.
>>
>> <#m_5837217687322342588_m_-7862083770974194334_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:46, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Suponha sem perda de generalidade que x,y,z são positivos. Vc tem x^2 +
>>> y^2 = z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas equações temos x^2=z^2 e então
>>> x=z por outro lado subtraindo as duas igualdades y^2=z^2 o que implica que
>>> y=z isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um absurdo
>>>
>>>
>>> <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avg.com
>>> <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>.
>>>
>>> <#m_5837217687322342588_m_-7862083770974194334_m_-315779286925050189_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>>>> quadrados sejam quadrados ?
>>>>
>>>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 =
>>>> z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo
>>>> mas obtive sucesso.
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Jeferson Almir]

Obrigado a todos pelas ideias apresentadas.

Em qua, 14 de ago de 2019 às 17:13, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>
> Sejam x²+y²=z² e x²-y²=z'² subtraindo as duas igualdades temos:
> 2y²=z²-z'²
> Suponha sem perda de generalidade que z'= z-c daí então teremos:
>
> 2y²=z²-(z-c)²=2cz-c²
>
> Daí então segue que:
>
> 2y²=c(2z-c)
> Temos duas possibilidades ou c=2m e daí então
> y²=m(2z-c) o que implica que m=2z-c-> 2m=4z-2c->c=z.
> Por outro lado se 2z-c=2m daí então y²=mc-> m=c->2m=2c
> 2z-c=2c->z=3c/2 substituindo os valores nota-se que não há como ser
> satisfeito
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
>
> <#m_1622006173523811363_m_-8139557032871042333_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:48, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> opa me desculpe ju errei aqui desculpe -me
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avg.com
>> .
>>
>> <#m_1622006173523811363_m_-8139557032871042333_m_9119343842984229474_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:46, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Suponha sem perda de generalidade que x,y,z são positivos. Vc tem x^2 +
>>> y^2 = z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas equações temos x^2=z^2 e então
>>> x=z por outro lado subtraindo as duas igualdades y^2=z^2 o que implica que
>>> y=z isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um absurdo
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avg.com
>>> .
>>>
>>> <#m_1622006173523811363_m_-8139557032871042333_m_9119343842984229474_m_-315779286925050189_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
 quadrados sejam quadrados ?

 Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 =
 z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo
 mas obtive sucesso.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
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>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>
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>> Israel Meireles Chrisostomo
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> Israel Meireles Chrisostomo
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

{Disarmed} Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Israel Meireles Chrisostomo]

Corrigindo:

Sejam x²+y²=z² e x²-y²=z'² subtraindo as duas igualdades temos:
2y²=z²-z'²
Suponha sem perda de generalidade que z'= z-c daí então teremos:

2y²=z²-(z-c)²=2cz-c²

Daí então segue que:

2y²=c(2z-c)
Temos duas possibilidades ou c=2m e daí então
y²=m(2z-c) o que implica que m=2z-c-> 2m=4z-2c->3c/2=z.
Por outro lado se 2z-c=2m daí então y²=mc-> m=c->2m=2c
2z-c=2c->z=3c/2 substituindo os valores nota-se que não há como ser
satisfeito




Livre
de vírus. www.avg.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em qua, 14 de ago de 2019 às 17:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>
> Sejam x²+y²=z² e x²-y²=z'² subtraindo as duas igualdades temos:
> 2y²=z²-z'²
> Suponha sem perda de generalidade que z'= z-c daí então teremos:
>
> 2y²=z²-(z-c)²=2cz-c²
>
> Daí então segue que:
>
> 2y²=c(2z-c)
> Temos duas possibilidades ou c=2m e daí então
> y²=m(2z-c) o que implica que m=2z-c-> 2m=4z-2c->c=z.
> Por outro lado se 2z-c=2m daí então y²=mc-> m=c->2m=2c
> 2z-c=2c->z=3c/2 substituindo os valores nota-se que não há como ser
> satisfeito
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
>
> <#m_7201735758298053189_m_-8139557032871042333_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:48, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> opa me desculpe ju errei aqui desculpe -me
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avg.com
>> .
>>
>> <#m_7201735758298053189_m_-8139557032871042333_m_9119343842984229474_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:46, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Suponha sem perda de generalidade que x,y,z são positivos. Vc tem x^2 +
>>> y^2 = z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas equações temos x^2=z^2 e então
>>> x=z por outro lado subtraindo as duas igualdades y^2=z^2 o que implica que
>>> y=z isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um absurdo
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avg.com
>>> .
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>>> <#m_7201735758298053189_m_-8139557032871042333_m_9119343842984229474_m_-315779286925050189_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
 quadrados sejam quadrados ?

 Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 =
 z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo
 mas obtive sucesso.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> Israel Meireles Chrisostomo
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Israel Meireles Chrisostomo

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Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Israel Meireles Chrisostomo]

Sejam x²+y²=z² e x²-y²=z'² subtraindo as duas igualdades temos:
2y²=z²-z'²
Suponha sem perda de generalidade que z'= z-c daí então teremos:

2y²=z²-(z-c)²=2cz-c²

Daí então segue que:

2y²=c(2z-c)
Temos duas possibilidades ou c=2m e daí então
y²=m(2z-c) o que implica que m=2z-c-> 2m=4z-2c->c=z.
Por outro lado se 2z-c=2m daí então y²=mc-> m=c->2m=2c
2z-c=2c->z=3c/2 substituindo os valores nota-se que não há como ser
satisfeito

Livre
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<#m_-8139557032871042333_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:48, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> opa me desculpe ju errei aqui desculpe -me
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
>
> <#m_-8139557032871042333_m_9119343842984229474_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:46, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Suponha sem perda de generalidade que x,y,z são positivos. Vc tem x^2 +
>> y^2 = z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas equações temos x^2=z^2 e então
>> x=z por outro lado subtraindo as duas igualdades y^2=z^2 o que implica que
>> y=z isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um absurdo
>>
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>>
>> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>>> quadrados sejam quadrados ?
>>>
>>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 =
>>> z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo
>>> mas obtive sucesso.
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[arthurquimu]

Queremos provar que não existem soluções inteiras não nulas para:x^2+y^2=z^2 
(1)x^2-y^2=w^2 (2)Rearranjando (2), teremos x^2=y^2+w^2Só que é um fato 
matemático conhecido de que ternas pitagóricas possuem a formax = (u^2 - v^2)dy 
= 2uvdz = (u^2+v^2)dPara inteiros u, v e d com mdc(u, v)=1. (Fica como 
exercício para o leitor provar que y é par)Fazendo o mesmo em (2), teremos:y= 
2efgw = (e^2-f^2)gx = (e^2+f^2)gDaí vem que 2efg = 2uvd implicando que 
g=(uvd)/(ef)Vem também que (e^2+f^2)g = (u^2+v^2)d e, assim, (e^2+f^2)uv = 
ef(u^2+v^2)Só que daí uv | ef(u^2+v^2)uv | ef(u^2+v^2) + ef * 2uvuv | ef 
(u+v)^2u | uv | ef(u+v)^2u | efv^2u | efAnalogamente v | ef, só que como mdc(u, 
v) = 1, então uv | efAnalogamente ef | uv, logo ef=uv, portanto d=g e 
e^2+f^2=u^2+v^2 de sorte que z = (u^2+v^2)d = (e^2+f^2)g = x;Só que de z=x, vem 
da equação (1) que y=0, absurdo.Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy.
 Mensagem original De : Jeferson Almir 
 Data: 13/08/2019  20:06  (GMT-03:00) Para: 
obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Triplas pitagoricas Tem que ser algo 
do tipo Israel x^2 + y^2 = A^2x^2 - y^2 = B^2Em ter, 13 de ago de 2019 às 
19:56, Israel Meireles Chrisostomo  escreveu:opa 
me desculpe ju errei aqui desculpe -me 

  
Livre de vírus. www.avg.com.


Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:46, Israel Meireles Chrisostomo 
 escreveu:Suponha sem perda de generalidade que 
x,y,z são positivos. Vc tem x^2 + y^2 = z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas 
equações temos x^2=z^2 e então x=z por outro lado subtraindo as duas igualdades 
y^2=z^2 o que implica que y=z isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um 
absurdo  

  
Livre de vírus. www.avg.com.


Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir  
escreveu:Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus 
quadrados sejam quadrados ?Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da 
soma x^2 + y^2 = z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em 
algum módulo mas obtive sucesso. 
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-- Israel Meireles Chrisostomo
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Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Jeferson Almir]

Tem que ser algo do tipo Israel
x^2 + y^2 = A^2
x^2 - y^2 = B^2

Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:56, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> opa me desculpe ju errei aqui desculpe -me
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_-7862083770974194334_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:46, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Suponha sem perda de generalidade que x,y,z são positivos. Vc tem x^2 +
>> y^2 = z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas equações temos x^2=z^2 e então
>> x=z por outro lado subtraindo as duas igualdades y^2=z^2 o que implica que
>> y=z isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um absurdo
>>
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>> 
>>  Livre
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>> <#m_-7862083770974194334_m_-315779286925050189_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>>> quadrados sejam quadrados ?
>>>
>>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 =
>>> z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo
>>> mas obtive sucesso.
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Israel Meireles Chrisostomo
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Israel Meireles Chrisostomo]

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Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:46, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Suponha sem perda de generalidade que x,y,z são positivos. Vc tem x^2 +
> y^2 = z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas equações temos x^2=z^2 e então
> x=z por outro lado subtraindo as duas igualdades y^2=z^2 o que implica que
> y=z isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um absurdo
>
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>  Livre
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> <#m_-315779286925050189_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
>> quadrados sejam quadrados ?
>>
>> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 = z^2
>> e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo mas
>> obtive sucesso.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Triplas pitagoricas

[Israel Meireles Chrisostomo]

Suponha sem perda de generalidade que x,y,z são positivos. Vc tem x^2 + y^2
= z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas equações temos x^2=z^2 e então x=z
por outro lado subtraindo as duas igualdades y^2=z^2 o que implica que y=z
isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um absurdo


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Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir 
escreveu:

> Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
> quadrados sejam quadrados ?
>
> Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 = z^2
> e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo mas
> obtive sucesso.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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[Jeferson Almir]

Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
quadrados sejam quadrados ?

Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da soma x^2 + y^2 = z^2 e
tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em algum módulo mas
obtive sucesso.

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